Радиус Бора

Единица длины размером с атом водорода.

Радиус Бора ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{0}}$ ) — физическая константа , приблизительно равная наиболее вероятному расстоянию между ядром и электроном в атоме водорода в его основном состоянии . Он назван в честь Нильса Бора из-за его роли в модели атома Бора . Его значение равно5,291 772 105 44 (82) × 10 ⁻¹¹  м . ^{[1] [2]}

Определение и значение

Радиус Бора определяется как ^[3], где $${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{e^{2}m_{\text{e}}}}={\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c\alpha }},}$$

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$- диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,
• ${\displaystyle \hbar }$- это приведенная постоянная Планка ,
• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$это масса электрона ,
• ${\displaystyle e}$это элементарный заряд ,
• ${\displaystyle c}$это скорость света в вакууме, и
• ${\displaystyle \alpha }$постоянная тонкой структуры .

Значение CODATA радиуса Бора (в единицах СИ ) равно5,291 772 105 44 (82) × 10 ⁻¹¹  м . ^[1]

История

Изображение атома водорода с использованием модели Бора

В модели Бора для атомной структуры, предложенной Нильсом Бором в 1913 году, электроны вращаются вокруг центрального ядра под действием электростатического притяжения. Первоначальный вывод постулировал, что электроны имеют орбитальный угловой момент в целых кратных приведенной постоянной Планка, что успешно соответствовало наблюдению за дискретными уровнями энергии в спектрах излучения, а также предсказывало фиксированный радиус для каждого из этих уровней. В простейшем атоме, водороде , один электрон вращается вокруг ядра, и его наименьшая возможная орбита с наименьшей энергией имеет орбитальный радиус, почти равный радиусу Бора. (Это не совсем радиус Бора из-за эффекта приведенной массы . Они отличаются примерно на 0,05%.)

Модель атома Бора была заменена облаком вероятности электрона, привязанным к уравнению Шредингера , опубликованному в 1926 году. Это еще больше усложняется эффектами спина и квантового вакуума, которые создают тонкую структуру и сверхтонкую структуру . Тем не менее, формула радиуса Бора остается центральной в расчетах атомной физики из-за ее простой связи с фундаментальными константами (именно поэтому она определяется с использованием истинной массы электрона, а не приведенной массы, как упоминалось выше). Таким образом, она стала единицей длины в атомных единицах .

В квантово-механической теории атома водорода Шредингера радиус Бора — это значение радиальной координаты, для которой радиальная плотность вероятности положения электрона является наивысшей. Ожидаемое значение радиального расстояния электрона, напротив, равно  ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}a_{0}}$ . ^[4]

Связанные константы

Радиус Бора является одной из трех взаимосвязанных единиц длины, две другие — это приведенная комптоновская длина волны электрона ( ) и классический радиус электрона ( ). Любая из этих констант может быть записана через любую из других с использованием постоянной тонкой структуры : ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {e} }/2\pi }$ ${\displaystyle r_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle r_{\mathrm {e} }=\alpha {\frac {\lambda _{\mathrm {e} }}{2\pi }}=\alpha ^{2}a_{0}.}$

Атом водорода и подобные системы

Радиус Бора, включающий эффект уменьшенной массы в атоме водорода, определяется выражением

${\displaystyle \ a_{0}^{*}\ ={\frac {m_{\text{e}}}{\mu }}a_{0},}$

где - приведенная масса системы электрон-протон (при этом - масса протона). Использование приведенной массы является обобщением задачи двух тел из классической физики за пределы случая, в котором приближение, что масса вращающегося тела пренебрежимо мала по сравнению с массой вращающегося тела, немного меньше массы электрона, "приведенный" радиус Бора немного больше радиуса Бора ( метров). ${\textstyle \mu =m_{\text{e}}m_{\text{p}}/(m_{\text{e}}+m_{\text{p}})}$ ${\displaystyle m_{\text{p}}}$ ${\displaystyle a_{0}^{*}\approx 1.00054\,a_{0}\approx 5.2946541\times 10^{-11}}$

Этот результат можно обобщить на другие системы, такие как позитроний (электрон, вращающийся вокруг позитрона ) и мюоний (электрон, вращающийся вокруг антимюона ), используя приведенную массу системы и учитывая возможное изменение заряда. Обычно соотношения модели Бора (радиус, энергия и т. д.) можно легко модифицировать для этих экзотических систем (вплоть до низшего порядка), просто заменив массу электрона приведенной массой для системы (а также скорректировав заряд, когда это необходимо). Например, радиус позитрония приблизительно равен , поскольку приведенная масса системы позитрония составляет половину массы электрона ( ). ${\displaystyle 2\,a_{0}}$ ${\displaystyle \mu _{{\text{e}}^{-},{\text{e}}^{+}}=m_{\text{e}}/2}$

Водородоподобный атом будет иметь радиус Бора, который в первую очередь масштабируется как , с числом протонов в ядре. Между тем, приведенная масса ( ) становится только лучше аппроксимируемой в пределе увеличения ядерной массы. Эти результаты суммированы в уравнении ${\displaystyle r_{Z}=a_{0}/Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle m_{\text{e}}}$

${\displaystyle r_{Z,\mu }\ ={\frac {m_{\text{e}}}{\mu }}{\frac {a_{0}}{Z}}.}$

Ниже приведена таблица приблизительных соотношений.

Смотрите также

• магнетон Бора
• энергия Ридберга

Ссылки

1. "2022 CODATA Value: Bohr radius". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .
2. Число в скобках обозначает неопределенность последних цифр.
3. Дэвид Дж. Гриффитс , Введение в квантовую механику , Prentice-Hall, 1995, стр. 137. ISBN 0-13-124405-1 
4. Nave, Rod. «Наиболее вероятный радиус: основное состояние водорода». HyperPhysics . Кафедра физики и астрономии, Университет штата Джорджия . Получено 2 октября 2021 г. Уравнение Шредингера подтверждает, что первый радиус Бора является наиболее вероятным радиусом.

Внешние ссылки

• Масштабы длин в физике: радиус Бора