Основная стоимость

Значения вдоль одной ветви многозначной функции, так что она является однозначной

В математике , в частности, в комплексном анализе , главные значения многозначной функции — это значения вдоль одной выбранной ветви этой функции , так что она является однозначной . Простой случай возникает при извлечении квадратного корня из положительного действительного числа . Например, 4 имеет два квадратных корня: 2 и −2; из них положительный корень, 2, считается главным корнем и обозначается как ${\displaystyle {\sqrt {4}}.}$

Мотивация

Рассмотрим функцию комплексного логарифма log z . Она определяется как комплексное число w такое, что

${\displaystyle e^{w}=z.}$

Теперь, например, скажем, мы хотим найти log i . Это означает, что мы хотим решить

${\displaystyle e^{w}=i}$

для . Значение — это решение. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle i\pi /2}$

Однако существуют и другие решения, что подтверждается рассмотрением положения i в комплексной плоскости и, в частности, его аргумента . Мы можем вращать против часовой стрелки радианы от 1, чтобы изначально достичь i , но если мы вращаем дальше еще один, мы снова достигнем i . Таким образом, мы можем заключить, что также является решением для log i . Становится ясно, что мы можем добавить любое кратное к нашему исходному решению, чтобы получить все значения для log i . ${\displaystyle \arg i}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle i(\pi /2+2\pi )}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Но это имеет следствие, которое может быть удивительным в сравнении с функциями действительных значений: log i не имеет одного определенного значения. Для log z мы имеем

${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right)=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \ z+2\pi k\right)}$

для целого числа k , где Arg z — (главный) аргумент z , определенный как лежащий в интервале . Каждое значение k определяет то, что известно как ветвь (или лист ), однозначный компонент многозначной логарифмической функции. Когда фокус находится на одной ветви, иногда используется разрез ветвей ; в этом случае удаляются неположительные действительные числа из области определения функции и исключается как возможное значение для Arg z . С этим разрезом ветвей функция с одной ветвью непрерывна и аналитична всюду в своей области определения. ${\displaystyle (-\pi ,\ \pi ]}$ ${\displaystyle \pi }$

Ветвь, соответствующая k = 0, называется главной ветвью , а значения, принимаемые функцией вдоль этой ветви, называются главными значениями .

Общий случай

В общем случае, если f ( z ) является многозначной, главная ветвь f обозначается

${\displaystyle \mathrm {pv} \,f(z)}$

такой , что для z в области f , pv f ( z ) является однозначным.

Главные значения стандартных функций

Комплекснозначные элементарные функции могут быть многозначными в некоторых областях. Главное значение некоторых из этих функций может быть получено путем разложения функции на более простые, при этом главное значение простых функций легко получить.

Логарифмическая функция

Мы рассмотрели функцию логарифма выше, т.е.

${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right).}$

Теперь arg z по своей сути многозначен. Часто определяют аргумент некоторого комплексного числа как находящийся между (исключая) и (включая), поэтому мы принимаем это за главное значение аргумента и записываем функцию аргумента на этой ветви Arg z (с заглавной буквой A). Используя Arg z вместо arg z , мы получаем главное значение логарифма и записываем ^[1] ${\displaystyle -\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \mathrm {pv} \log {z}=\mathrm {Log} \,z=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \,z\right).}$

Квадратный корень

Для комплексного числа главное значение квадратного корня равно: ${\displaystyle z=re^{i\phi }\,}$

${\displaystyle \mathrm {pv} {\sqrt {z}}=\exp \left({\frac {\mathrm {pv} \log z}{2}}\right)={\sqrt {r}}\,e^{i\phi /2}}$

с аргументом Иногда вводится отсечение ветви, чтобы отрицательные действительные числа не попадали в область действия функции квадратного корня и исключалась возможность того, что ${\displaystyle -\pi <\phi \leq \pi .}$ ${\displaystyle \phi =\pi .}$

Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции

Обратные тригонометрические функции ( arcsin , arccos , arctan и т. д.) и обратные гиперболические функции ( arsinh , arcosh , artanh и т. д.) могут быть определены через логарифмы, а их главные значения могут быть определены через главные значения логарифма.

Сложный аргумент

сравнение функций atan и atan2

Главное значение аргумента комплексного числа, измеренное в радианах, можно определить как:

• значения в диапазоне ${\displaystyle [0,2\pi )}$
• значения в диапазоне ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Например, многие вычислительные системы включают функцию atan2( y , x ) . Значение atan2(imaginary_part( z ), real_part( z )) будет находиться в интервале Для сравнения, atan y / x обычно находится в ${\displaystyle (-\pi ,\pi ].}$ ${\displaystyle ({\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}].}$

Смотрите также

• Главное отделение
• Точка разветвления

Ссылки

1. Зилл, Деннис; Шанахан, Патрик (2009). Первый курс комплексного анализа с приложениями. Jones & Bartlett Learning. стр. 166. ISBN 978-0-7637-5772-4.