Полный репертенд премьер

Класс простых чисел

В теории чисел полное повторное простое число , полное повторное простое число , собственное простое число ^{[1] : 166} или длинное простое число в системе счисления с основанием b — это нечетное простое число p, такое что частное Ферма

${\displaystyle q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}}$

(где p не делит b ) дает циклическое число . Следовательно, расширение основания b повторяет цифры соответствующего циклического числа бесконечно, как и расширение с поворотом цифр для любого a между 1 и p  − 1. Циклическое число, соответствующее простому числу p, будет иметь p  − 1 цифр тогда и только тогда, когда p является полным обратным простым числом. То есть, мультипликативный порядок ord _p b = p  − 1, что эквивалентно тому, что b является примитивным корнем по модулю p . ${\displaystyle 1/p}$ ${\displaystyle a/p}$  

Термин «длинное простое число» был использован Джоном Конвеем и Ричардом Гаем в их Книге чисел . По странному стечению обстоятельств, OEIS Слоана называет эти простые числа «циклическими числами».

База 10

Основание 10 может предполагаться, если основание не указано, в этом случае расширение числа называется периодической десятичной дробью . В основании 10, если полное простое число заканчивается цифрой 1, то каждая цифра 0, 1, ..., 9 появляется в повторении такое же количество раз, как и каждая другая цифра. ^{[1] : 166} (О таких простых числах в основании 10 см. OEIS : A073761 .) Фактически, в основании b , если полное простое число заканчивается цифрой 1, то каждая цифра 0, 1, ..., b  − 1 появляется в повторении такое же количество раз, как и каждая другая цифра, но такого простого числа не существует, когда b = 12, поскольку каждое полное простое число в основании 12 заканчивается цифрой 5 или 7 в том же основании. Обычно такого простого числа не существует, если b сравнимо с 0 или 1 по модулю 4.

Значения p, для которых эта формула выдает циклические числа в десятичных дробях, следующие:

7 , 17 , 19 , 23 , 29 , 47 , 59 , 61 , 97 , 109 , 113 , 131 , 149 , 167 , 179 , 181 , 193 , 223 , 229 , 233 , 257 , 263 , 269 , 313 , 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, 1019, 1021, 1033, 1051... (последовательность A001913 в OEIS )

Эта последовательность представляет собой множество простых чисел p, таких, что 10 является примитивным корнем по модулю p . Гипотеза Артина о примитивных корнях заключается в том, что эта последовательность содержит 37,395...% простых чисел.

Двоичные полные повторные простые числа

В двоичной системе счисления полные простые числа следующие: (менее 1000)

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 1, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ... (последовательность A001122 в OEIS )

Для этих простых чисел 2 является примитивным корнем по модулю p , поэтому 2 ⁿ по модулю p может быть любым натуральным числом от 1 до p  − 1.

${\displaystyle a(i)=2^{i}{\bmod {p}}{\bmod {2}}.}$

Эти последовательности периода p − 1 имеют функцию автокорреляции, которая имеет отрицательный пик −1 для сдвига . Случайность этих последовательностей была проверена жесткими тестами . ^[2] ${\displaystyle (p-1)/2}$

Двоичные полные повторяющиеся простые последовательности (также называемые десятичными последовательностями максимальной длины) нашли применение в криптографическом кодировании и кодировании с исправлением ошибок . ^[3] В этих приложениях обычно используются повторяющиеся десятичные дроби с основанием 2, что приводит к появлению двоичных последовательностей. Двоичная последовательность максимальной длины для (когда 2 является примитивным корнем p ) дается Каком. ^[4] ${\displaystyle 1/p}$

Смотрите также

• Повторяющаяся десятичная дробь

Ссылки

1. Dickson, Leonard E., 1952, История теории чисел, том 1 , Chelsea Public. Co.
2. Беллами, Дж. «Случайность последовательностей D с помощью жесткого тестирования». 2013. arXiv :1312.3618.
3. Как, Субхаш, Чаттерджи, А. «О десятичных последовательностях». Труды IEEE по теории информации, т. IT-27, стр. 647–652, сентябрь 1981 г.
4. Как, Субхаш, «Шифрование и исправление ошибок с использованием d-последовательностей». IEEE Trans. On Computers, т. C-34, стр. 803–809, 1985.

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Артина». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. "Полный повторный простой". MathWorld .
• Конвей, Дж. Х. и Гай, Р. К. Книга чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996.
• Фрэнсис, Ричард Л.; «Математические стога сена: еще один взгляд на числа репунитов»; в журнале College Mathematics Journal , том 19, № 3. (май 1988 г.), стр. 240–246.