Примеры, раскрашенные по количеству сторон на каждой грани. Желтые треугольники , красные квадраты и зеленые пятиугольники .Тессеракт , спроецированный в 3-мерное пространство как диаграмма Шлегеля. Видны 8 кубических ячеек : внешняя ячейка, в которую проецируются остальные, по одной под каждой из шести внешних граней и одна в центре.
В геометрии диаграмма Шлегеля — это проекция многогранника из в через точку , находящуюся сразу за одной из его граней . Результирующая сущность — это многогранное подразделение грани , которое вместе с исходной гранью комбинаторно эквивалентно исходному многограннику. Диаграмма названа в честь Виктора Шлегеля , который в 1886 году представил этот инструмент для изучения комбинаторных и топологических свойств многогранников. В размерности 3 диаграмма Шлегеля — это проекция многогранника на плоскую фигуру ; в размерности 4 это проекция 4-многогранника на 3-пространство . Таким образом, диаграммы Шлегеля обычно используются как средство визуализации четырехмерных многогранников.
Строительство
Самая элементарная диаграмма Шлегеля, диаграмма многогранника, была описана Дунканом Соммервиллем следующим образом: [1]
Очень полезным методом представления выпуклого многогранника является проекция на плоскость. Если он проецируется из любой внешней точки, то, поскольку каждый луч пересекает его дважды, он будет представлен многоугольной областью, дважды разделенной на многоугольники. Всегда возможно путем подходящего выбора центра проекции сделать так, чтобы проекция одной грани полностью содержала проекции всех других граней. Это называется диаграммой Шлегеля многогранника. Диаграмма Шлегеля полностью представляет морфологию многогранника. Иногда удобно проецировать многогранник из вершины; эта вершина проецируется в бесконечность и не отображается на диаграмме, ребра, проходящие через нее, представлены линиями, проведенными наружу.
Соммервилл также рассматривает случай симплекса в четырех измерениях: [2] «Диаграмма Шлегеля симплекса в S 4 представляет собой тетраэдр, разделенный на четыре тетраэдра». В более общем смысле, многогранник в n-мерном пространстве имеет диаграмму Шлегеля, построенную с помощью перспективной проекции, рассматриваемой из точки вне многогранника, над центром грани. Все вершины и ребра многогранника проецируются на гиперплоскость этой грани. Если многогранник выпуклый, то будет существовать точка вблизи грани, которая отображает грань снаружи, а все остальные грани внутри, поэтому никакие ребра не должны пересекаться в проекции.
Примеры
Смотрите также
Сетка (многогранник) – Другой подход к визуализации путем понижения размерности многогранника заключается в построении сетки, разъединении граней и развертывании до тех пор, пока грани не смогут существовать на одной гиперплоскости. Это сохраняет геометрический масштаб и форму, но затрудняет наблюдение топологических связей.
Виктор Шлегель (1883) Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde , Nova Acta, Ksl. Леоп.-Кэрол. Немецкая академия природы, Band XLIV, Nr. 4, Друк фон Э. Блохманн и Зон в Дрездене. [1]
Виктор Шлегель (1886) Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionen Körper , Варен.
