Формула непрерывной дроби Эйлера

Connects a very general infinite series with an infinite continued fraction.

В аналитической теории цепных дробей формула цепной дроби Эйлера представляет собой тождество, связывающее определенный очень общий бесконечный ряд с бесконечной цепной дробью . Впервые опубликованная в 1748 году, она сначала рассматривалась как простое тождество, связывающее конечную сумму с конечной цепной дробью таким образом, что расширение на бесконечный случай было сразу очевидно. [ ^1] Сегодня она более полно оценена как полезный инструмент в аналитических атаках на общую проблему сходимости для бесконечных цепных дробей с комплексными элементами.

Оригинальная формула

Эйлер вывел формулу, связывающую конечную сумму произведений с конечной цепной дробью .

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}\left(1+a_{1}\left(1+a_{2}\left(\cdots +a_{n}\right)\cdots \right)\right)&=a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\&={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {\ddots }{\ddots {\cfrac {a_{n-1}}{1+a_{n-1}-{\cfrac {a_{n}}{1+a_{n}}}}}}}}}}}}}\,\end{aligned}}}$

Тождество легко устанавливается индукцией по n и, следовательно, применимо в пределе: если выражение слева расширено так, чтобы оно представляло сходящийся бесконечный ряд , то выражение справа также можно расширить так, чтобы оно представляло сходящуюся бесконечную цепную дробь .

Это можно записать более компактно, используя обобщенную запись цепной дроби:

${\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\frac {a_{0}}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}+}}\,{\cfrac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\cdots {\frac {-a_{n}}{1+a_{n}}}.}$

Формула Эйлера

Если r _i — комплексные числа, а x определяется как

${\displaystyle x=1+\sum _{i=1}^{\infty }r_{1}r_{2}\cdots r_{i}=1+\sum _{i=1}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{i}r_{j}\right)\,,}$

то это равенство можно доказать по индукции

${\displaystyle x={\cfrac {1}{1-{\cfrac {r_{1}}{1+r_{1}-{\cfrac {r_{2}}{1+r_{2}-{\cfrac {r_{3}}{1+r_{3}-\ddots }}}}}}}}\,}$.

Здесь равенство следует понимать как эквивалентность, в том смысле, что n -я подходящая дробь каждой непрерывной дроби равна n -й частичной сумме ряда, показанного выше. Таким образом, если показанный ряд сходится – или равномерно сходится, когда r _i являются функциями некоторой комплексной переменной z – то непрерывные дроби также сходятся или сходятся равномерно. ^[2]

Доказательство по индукции

Теорема: Пусть — натуральное число. Для комплексных значений , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\prod _{j=0}^{k}a_{j}={\frac {a_{0}}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}+}}\cdots {\frac {-a_{n}}{1+a_{n}}}}$

и для комплексных значений , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+}}\,{\frac {-b_{2}}{1+b_{2}+}}\cdots {\frac {-b_{n}}{1+b_{n}}}\neq -1.}$

Доказательство: Проводим двойную индукцию. Для имеем ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}}}={\frac {a_{0}}{1+{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}}}}}={\frac {a_{0}(1+a_{1})}{1}}=a_{0}+a_{0}a_{1}=\sum _{k=0}^{1}\prod _{j=0}^{k}a_{j}}$

и

${\displaystyle {\frac {-b_{1}}{1+b_{1}}}\neq -1.}$

Теперь предположим, что оба утверждения верны для некоторых . ${\displaystyle n\geq 1}$

У нас есть где ${\displaystyle {\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+}}\,{\frac {-b_{2}}{1+b_{2}+}}\cdots {\frac {-b_{n+1}}{1+b_{n+1}}}={\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+x}}}$ ${\displaystyle x={\frac {-b_{2}}{1+b_{2}+}}\cdots {\frac {-b_{n+1}}{1+b_{n+1}}}\neq -1}$

применяя гипотезу индукции к . ${\displaystyle b_{2},\ldots ,b_{n+1}}$

Но если подразумевает , подразумевает , противоречие. Следовательно ${\displaystyle {\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+x}}=-1}$ ${\displaystyle b_{1}=1+b_{1}+x}$ ${\displaystyle x=-1}$

${\displaystyle {\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+}}\,{\frac {-b_{2}}{1+b_{2}+}}\cdots {\frac {-b_{n+1}}{1+b_{n+1}}}\neq -1,}$

завершение этого введения.

Обратите внимание, что для , ${\displaystyle x\neq -1}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+}}\,{\frac {-a}{1+a+x}}={\frac {1}{1-{\frac {a}{1+a+x}}}}={\frac {1+a+x}{1+x}}=1+{\frac {a}{1+x}};}$

если , то обе стороны равны нулю. ${\displaystyle x=-1-a}$

Используя и , и применяя гипотезу индукции к значениям , ${\displaystyle a=a_{1}}$ ${\displaystyle x={\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}}\neq -1}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n+1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}+&a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n+1}\\&=a_{0}+a_{0}(a_{1}+a_{1}a_{2}+\cdots +a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n+1})\\&=a_{0}+a_{0}{\big (}{\frac {a_{1}}{1+}}\,{\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}}{\big )}\\&=a_{0}{\big (}1+{\frac {a_{1}}{1+}}\,{\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}}{\big )}\\&=a_{0}{\big (}{\frac {1}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}+}}\,{\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}}{\big )}\\&={\frac {a_{0}}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}+}}\,{\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}},\end{aligned}}}$

завершение другой индукции.

Например, выражение можно преобразовать в цепную дробь. ${\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}\\[8pt]={}&a_{0}(a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1)\\[8pt]={}&{\cfrac {a_{0}}{\cfrac {1}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}}\\[8pt]={}&{\cfrac {a_{0}}{{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}-{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}}}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}}}\\[8pt]={}&{\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}}}}\\[8pt]={}&{\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}+{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)+1}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}-{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}}}}}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}}}}}\\[8pt]={}&{\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)+1}{a_{3}+1}}}}}}}\\[8pt]={}&{\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)}{a_{3}+1}}+{\cfrac {a_{3}+1}{a_{3}+1}}-{\cfrac {a_{3}}{a_{3}+1}}}}}}}}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{3}}{1+a_{3}}}}}}}}}\end{aligned}}}$

Это можно применить к последовательности любой длины, а значит, применимо и в бесконечном случае.

Примеры

Экспоненциальная функция

Экспоненциальная функция e ^x представляет собой целую функцию с разложением в степенной ряд, которая сходится равномерно на каждой ограниченной области комплексной плоскости.

${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {x}{i}}\right)\,}$

Применение формулы цепной дроби Эйлера простое:

${\displaystyle e^{x}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x}{1+x-{\cfrac {{\frac {1}{2}}x}{1+{\frac {1}{2}}x-{\cfrac {{\frac {1}{3}}x}{1+{\frac {1}{3}}x-{\cfrac {{\frac {1}{4}}x}{1+{\frac {1}{4}}x-\ddots }}}}}}}}}}.\,}$

Применяя преобразование эквивалентности , которое заключается в очистке дробей, этот пример упрощается до

${\displaystyle e^{x}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x}{1+x-{\cfrac {x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}}}\,}$

и мы можем быть уверены, что эта непрерывная дробь сходится равномерно на каждой ограниченной области в комплексной плоскости, поскольку она эквивалентна степенному ряду для e ^x .

Натуральный логарифм

Ряд Тейлора для главной ветви натурального логарифма в окрестности 1 хорошо известен:

${\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}z^{n}}{n}}.\,}$

Этот ряд сходится, когда | x | < 1, и его также можно выразить в виде суммы произведений: ^[3]

${\displaystyle \log(1+x)=x+(x)\left({\frac {-x}{2}}\right)+(x)\left({\frac {-x}{2}}\right)\left({\frac {-2x}{3}}\right)+(x)\left({\frac {-x}{2}}\right)\left({\frac {-2x}{3}}\right)\left({\frac {-3x}{4}}\right)+\cdots }$

Применение формулы цепной дроби Эйлера к этому выражению показывает, что

${\displaystyle \log(1+x)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {\frac {-x}{2}}{1+{\frac {-x}{2}}-{\cfrac {\frac {-2x}{3}}{1+{\frac {-2x}{3}}-{\cfrac {\frac {-3x}{4}}{1+{\frac {-3x}{4}}-\ddots }}}}}}}}}$

и использование преобразования эквивалентности для очистки всех дробей приводит к

${\displaystyle \log(1+x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2-x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}$

Эта непрерывная дробь сходится, когда | x | < 1, поскольку она эквивалентна ряду, из которого она была получена. ^[3]

Тригонометрические функции

Ряд Тейлора синусоидальной функции сходится на всей комплексной плоскости и может быть выражен как сумма произведений.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots \\[8pt]&=x+(x)\left({\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}\right)+(x)\left({\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{4\cdot 5}}\right)+(x)\left({\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{4\cdot 5}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{6\cdot 7}}\right)+\cdots \end{aligned}}}$

Затем можно применить формулу непрерывной дроби Эйлера.

${\displaystyle {\cfrac {x}{1-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}{1+{\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{4\cdot 5}}{1+{\frac {-x^{2}}{4\cdot 5}}-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{6\cdot 7}}{1+{\frac {-x^{2}}{6\cdot 7}}-\ddots }}}}}}}}}$

Для очистки знаменателей используется преобразование эквивалентности:

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.}$

Тот же аргумент можно применить к функции косинуса :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \\[8pt]&=1+{\frac {-x^{2}}{2}}+\left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{3\cdot 4}}\right)+\left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{3\cdot 4}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{5\cdot 6}}\right)+\cdots \\[8pt]&={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{2}}{1+{\frac {-x^{2}}{2}}-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{3\cdot 4}}{1+{\frac {-x^{2}}{3\cdot 4}}-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{5\cdot 6}}{1+{\frac {-x^{2}}{5\cdot 6}}-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \therefore \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{2-x^{2}+{\cfrac {2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.}$

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции можно представить в виде цепных дробей.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&=x+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\[8pt]&=x+x\left({\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}\right)+x\left({\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}\right)\left({\frac {(3x)^{2}}{4\cdot 5}}\right)+x\left({\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}\right)\left({\frac {(3x)^{2}}{4\cdot 5}}\right)\left({\frac {(5x)^{2}}{6\cdot 7}}\right)+\cdots \\[8pt]&={\cfrac {x}{1-{\cfrac {\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}{1+{\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}-{\cfrac {\frac {(3x)^{2}}{4\cdot 5}}{1+{\frac {(3x)^{2}}{4\cdot 5}}-{\cfrac {\frac {(5x)^{2}}{6\cdot 7}}{1+{\frac {(5x)^{2}}{6\cdot 7}}-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$

Преобразование эквивалентности дает

${\displaystyle \sin ^{-1}x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3(3x)^{2}}{4\cdot 5+(3x)^{2}-{\cfrac {4\cdot 5(5x^{2})}{6\cdot 7+(5x^{2})-\ddots }}}}}}}}.}$

Непрерывная дробь для арктангенса проста:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\[8pt]&=x+x\left({\frac {-x^{2}}{3}}\right)+x\left({\frac {-x^{2}}{3}}\right)\left({\frac {-3x^{2}}{5}}\right)+x\left({\frac {-x^{2}}{3}}\right)\left({\frac {-3x^{2}}{5}}\right)\left({\frac {-5x^{2}}{7}}\right)+\cdots \\[8pt]&={\cfrac {x}{1-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{3}}{1+{\frac {-x^{2}}{3}}-{\cfrac {\frac {-3x^{2}}{5}}{1+{\frac {-3x^{2}}{5}}-{\cfrac {\frac {-5x^{2}}{7}}{1+{\frac {-5x^{2}}{7}}-\ddots }}}}}}}}\\[8pt]&={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{3-x^{2}+{\cfrac {(3x)^{2}}{5-3x^{2}+{\cfrac {(5x)^{2}}{7-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$

Цепная дробь дляπ

Мы можем использовать предыдущий пример с арктангенсом для построения представления цепной дроби числа π . Заметим, что

${\displaystyle \tan ^{-1}(1)={\frac {\pi }{4}},}$

И установив x = 1 в предыдущем результате, мы сразу получаем

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}.\,}$

Гиперболические функции

Вспоминая связь между гиперболическими функциями и тригонометрическими функциями,

${\displaystyle \sin ix=i\sinh x}$

${\displaystyle \cos ix=\cosh x,}$

И что следующие цепные дроби легко выводятся из приведенных выше: ${\displaystyle i^{2}=-1,}$

${\displaystyle \sinh x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cosh x={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{2+x^{2}-{\cfrac {2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}.}$

Обратные гиперболические функции

Обратные гиперболические функции связаны с обратными тригонометрическими функциями аналогично тому, как гиперболические функции связаны с тригонометрическими функциями,

${\displaystyle \sin ^{-1}ix=i\sinh ^{-1}x}$

${\displaystyle \tan ^{-1}ix=i\tanh ^{-1}x,}$

И эти непрерывные дроби легко выводятся:

${\displaystyle \sinh ^{-1}x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3(3x)^{2}}{4\cdot 5-(3x)^{2}+{\cfrac {4\cdot 5(5x^{2})}{6\cdot 7-(5x^{2})+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tanh ^{-1}x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3+x^{2}-{\cfrac {(3x)^{2}}{5+3x^{2}-{\cfrac {(5x)^{2}}{7+5x^{2}-\ddots }}}}}}}}.}$

Смотрите также

• непрерывная дробь Гаусса
• расширение Энгеля
• Список тем, названных в честь Леонарда Эйлера

Ссылки

1. Леонард Эйлер (1748), «18», Introductio in analysin infinitorum , vol. я
2. HS Wall, Analytic Theory of Continuous Fractions , D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; переиздано (1973) Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8 , стр. 17. 
3. Этот ряд сходится при | x | < 1 по тесту Абеля (примененному к ряду для log(1 −  x )).