В математике знакопеременная группа — это группа четных перестановок конечного множества . Знакопеременная группа на множестве из n элементов называется знакопеременной группой степени n или знакопеременной группой на n буквах и обозначается A n или Alt( n ).
Для n > 1 группа A n является коммутантом симметрической группы S n с индексом 2 и, следовательно, имеет n ! /2 элементов. Это ядро гомоморфизма группы сигнатур sgn : S n → {1, −1}, объясненного в симметрической группе .
Группа A n является абелевой тогда и только тогда, когда n ≤ 3 , и простой тогда и только тогда, когда n = 3 или n ≥ 5. A 5 является наименьшей неабелевой простой группой , имеющей порядок 60, и, следовательно, наименьшей неразрешимой группой .
Группа A 4 имеет четверную группу Клейна V в качестве собственной нормальной подгруппы , а именно тождество и двойные транспозиции { (), (12)(34), (13)(24), (14)(23) } , то есть ядро сюръекции A 4 на A 3 ≅ Z 3 . Мы имеем точную последовательность V → A 4 → A 3 = Z 3 . В теории Галуа это отображение, или, скорее, соответствующее отображение S 4 → S 3 , соответствует сопоставлению кубики резольвенты Лагранжа с квартикой, что позволяет решать полином квартики с помощью радикалов, как установил Лодовико Феррари .
Как и в симметричной группе , любые два элемента из A n , сопряженные элементом из A n , должны иметь одинаковую форму цикла . Однако обратное не обязательно верно. Если форма цикла состоит только из циклов нечетной длины и нет двух циклов одинаковой длины, где циклы длины один включены в тип цикла, то для этой формы цикла существует ровно два класса сопряженности (Scott 1987, §11.1, p299).
Примеры:
Поскольку конечные симметрические группы являются группами всех перестановок множества с конечными элементами, а знакопеременные группы являются группами четных перестановок, знакопеременные группы являются подгруппами конечных симметрических групп.
Для n ≥ 3 A n генерируется 3-циклами, поскольку 3-циклы могут быть получены путем объединения пар транспозиций. Этот набор генераторов часто используется для доказательства того, что A n является простым для n ≥ 5 .
Для n > 3 , за исключением n = 6 , группа автоморфизмов An является симметрической группой S n с внутренней группой автоморфизмов An и внешней группой автоморфизмов Z 2 ; внешний автоморфизм возникает из-за сопряжения нечетной перестановкой.
Для n = 1 и 2 группа автоморфизмов тривиальна. Для n = 3 группа автоморфизмов — это Z 2 , с тривиальной внутренней группой автоморфизмов и внешней группой автоморфизмов Z 2 .
Группа внешних автоморфизмов A 6 — это четверная группа Клейна V = Z 2 × Z 2 , связанная с внешним автоморфизмом S 6 . Дополнительный внешний автоморфизм в A 6 меняет местами 3-циклы (типа (123)) с элементами формы 3 2 (типа (123)(456) ).
Существуют некоторые исключительные изоморфизмы между некоторыми малыми знакопеременными группами и малыми группами типа Ли , в частности проективными специальными линейными группами . Это:
Более очевидно, что A 3 изоморфна циклической группе Z 3 , а A 0 , A 1 и A 2 изоморфны тривиальной группе (которая также равна SL 1 ( q ) = PSL 1 ( q ) для любого q ).
.gif/1280px-A5_in_SO(3).gif)
A 5 — это группа изометрий додекаэдра в 3-мерном пространстве, поэтому существует представление A 5 → SO 3 ( R ) .
На этой картинке вершины многогранников представляют элементы группы, а центр сферы представляет единичный элемент. Каждая вершина представляет поворот вокруг оси, направленной из центра в эту вершину, на угол, равный расстоянию от начала координат в радианах. Вершины в одном многограннике находятся в одном классе сопряженности. Поскольку уравнение класса сопряженности для A 5 равно 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60 , мы получаем четыре различных (нетривиальных) многогранника.
Вершины каждого многогранника находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами его класса сопряженности, за исключением класса сопряженности (2,2)-циклов, который представлен икосододекаэдром на внешней поверхности, с его антиподальными вершинами, отождествленными друг с другом. Причина этой избыточности в том, что соответствующие вращения происходят на π радиан, и поэтому могут быть представлены вектором длины π в любом из двух направлений. Таким образом, класс (2,2)-циклов содержит 15 элементов, в то время как икосододекаэдр имеет 30 вершин.
Два класса сопряженности двенадцати 5-циклов в A 5 представлены двумя икосаэдрами с радиусами 2 π /5 и 4 π /5 соответственно. Нетривиальный внешний автоморфизм в Out(A 5 ) ≃ Z 2 меняет местами эти два класса и соответствующие икосаэдры.
Можно доказать, что головоломка 15 , известный пример скользящей головоломки , может быть представлена чередующейся группой A 15 , [2] поскольку комбинации головоломки 15 могут быть сгенерированы 3-циклами . Фактически, любая 2 k − 1 скользящая головоломка с квадратными плитками одинакового размера может быть представлена как A 2 k −1 .
A 4 — наименьшая группа, демонстрирующая, что обратная теорема Лагранжа в общем случае неверна: если задана конечная группа G и делитель d числа | G |, то не обязательно существует подгруппа G с порядком d : группа G = A 4 порядка 12 не имеет подгруппы порядка 6. Подгруппа из трех элементов (порожденная циклическим вращением трех объектов) с любым отличным нетривиальным элементом порождает всю группу.
Для всех n > 4 , A n не имеет нетривиальных (то есть собственных) нормальных подгрупп . Таким образом, A n является простой группой для всех n > 4. A 5 является наименьшей неразрешимой группой .
Групповая гомология чередующихся групп демонстрирует стабилизацию, как в стабильной гомотопической теории : для достаточно больших n она постоянна. Однако существуют некоторые маломерные исключительные гомологии. Обратите внимание, что гомология симметрической группы демонстрирует похожую стабилизацию, но без маломерных исключений (дополнительных элементов гомологии).
Первая группа гомологии совпадает с абелианизацией и (поскольку An совершенен , за исключением указанных исключений) имеет вид:
Это легко увидеть напрямую, следующим образом. A n порождается 3-циклами – поэтому единственными нетривиальными отображениями абелианизации являются A n → Z 3 , поскольку элементы порядка 3 должны отображаться в элементы порядка 3 – и для n ≥ 5 все 3-циклы сопряжены, поэтому они должны отображаться в один и тот же элемент в абелианизации, поскольку сопряжение тривиально в абелевых группах. Таким образом, 3-цикл, такой как (123), должен отображаться в тот же элемент, что и его обратный (321), но, таким образом, должен отображаться в единицу, поскольку тогда он должен иметь порядок, делящий 2 и 3, поэтому абелианизация тривиальна.
Для n < 3 A n тривиален и, таким образом, имеет тривиальную абелианизацию. Для A 3 и A 4 можно вычислить абелианизацию напрямую, заметив, что 3-циклы образуют два класса сопряженности (а не все сопряжены) и существуют нетривиальные отображения A 3 ↠ Z 3 (фактически изоморфизм) и A 4 ↠ Z 3 .
Множители Шура знакопеременных групп A n (в случае, когда n не менее 5) являются циклическими группами порядка 2, за исключением случая, когда n равно либо 6, либо 7, в этом случае также имеется тройное покрытие. В этих случаях, следовательно, множитель Шура (циклической группы) имеет порядок 6. [3] Впервые они были вычислены в (Schur 1911).
{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)