Фиктивная сила

Сила, действующая на объекты, движущиеся в системе отсчета, которая вращается относительно инерциальной системы отсчета.

Фиктивная сила — это сила , которая, по-видимому, действует на массу, движение которой описывается с использованием неинерциальной системы отсчета , такой как линейно ускоряющаяся или вращающаяся система отсчета . ^[1] Фиктивные силы привлекаются для поддержания справедливости и, следовательно, использования второго закона движения Ньютона в системах отсчета, которые не являются инерциальными. ^[2]

Измеримые примеры фиктивных сил

Пассажиры в транспортном средстве, ускоряющемся в прямом направлении, могут ощущать, что на них действует сила, которая перемещает их, например, в направлении спинки их сидений. Примером во вращающейся системе отсчета может быть впечатление, что это сила, которая, как кажется, перемещает объекты наружу к ободу центрифуги или карусели.

Фиктивная сила, называемая псевдосилой, может также называться телесной силой . Она возникает из-за инерции объекта , когда система отсчета больше не движется по инерции, а начинает ускоряться относительно свободного объекта. В терминах примера с пассажирским транспортным средством псевдосила, по-видимому, действует непосредственно перед тем, как тело касается спинки сиденья автомобиля. Человек в автомобиле, наклонившийся вперед, сначала немного отодвигается назад по отношению к уже ускоряющемуся автомобилю, прежде чем коснуться спинки. Движение в этот короткий период времени просто кажется результатом силы, действующей на человека; т. е. это псевдосила. Псевдосила не возникает из-за какого-либо физического взаимодействия между двумя объектами, такого как электромагнетизм или контактные силы. Это просто следствие ускорения a физического объекта, с которым связана неинерциальная система отсчета , т. е. транспортного средства в данном случае. С точки зрения соответствующей ускоряющейся системы, ускорение инертного объекта, по-видимому, присутствует, по-видимому, требуя «силы» для того, чтобы это произошло.

Как заявил Иро: ^[3]

Такая дополнительная сила, обусловленная неравномерным относительным движением двух систем отсчета, называется псевдосилой .

—  Харальд Иро в «Современном подходе к классической механике», стр. 180

Псевдосила на объекте возникает как воображаемое влияние, когда система отсчета, используемая для описания движения объекта, ускоряется по сравнению с неускоряющейся системой. Псевдосила «объясняет», используя механику второго закона Ньютона, почему объект не следует второму закону Ньютона и «плавает свободно», как будто невесомый. Как система может ускоряться любым произвольным образом, так и псевдосилы могут быть столь же произвольными (но только в прямой реакции на ускорение системы). Примером псевдосилы, как ее определил Айро, является сила Кориолиса , возможно, лучше ее назвать: эффект Кориолиса. ^{[4] [5] [6]} Гравитационная сила также была бы фиктивной силой (псевдосилой) в полевой модели, в которой частицы искажают пространство-время из-за своей массы, например, в общей теории относительности .

Принимая второй закон Ньютона в форме F  =  m a , фиктивные силы всегда пропорциональны массе m .

Фиктивная сила, которая была названа силой инерции ^{[7] [8] [9],} также называется силой Даламбера , ^{[10] [11]} или иногда псевдосилой. ^[12] Принцип Даламбера — это просто другой способ сформулировать второй закон движения Ньютона. Он определяет силу инерции как отрицательное произведение массы на ускорение, просто для упрощения вычислений.

(Силу Даламбера не следует путать с контактной силой, возникающей при физическом взаимодействии двух объектов, которое является предметом третьего закона Ньютона – «действие есть противодействие ». ^{[13] [14]} В приведенном выше примере с легковым автомобилем контактная сила возникает, когда тело пассажира касается спинки сиденья автомобиля. Она присутствует до тех пор, пока автомобиль ускоряется.)

Для систем, ускоряемых обычными способами, определены четыре фиктивные силы:

• вызванное любым ускорением относительно начала координат по прямой линии (прямолинейное ускорение ); ^[15]
• два, связанные с вращением: центробежная сила и эффект Кориолиса
• и четвертая, называемая силой Эйлера , вызванная переменной скоростью вращения, если это произойдет.

Фон

Роль фиктивных сил в механике Ньютона описана Тоннелатом : [ ^16]

Для Ньютона появление ускорения всегда указывает на существование абсолютного движения — абсолютного движения материи, когда речь идет о реальных силах; абсолютного движения системы отсчета, когда речь идет о так называемых фиктивных силах, таких как силы инерции или силы Кориолиса.

—  Мария-Антуанетта Тоннела в «Принципах электромагнитной теории и теории относительности» , стр. 113

Фиктивные силы возникают в классической механике и специальной теории относительности во всех неинерциальных системах отсчета. Инерциальные системы отсчета имеют преимущество перед неинерциальными, поскольку у них нет физики, причины которой находятся вне системы, в то время как у неинерциальных систем она есть. Фиктивные силы или физика, причина которой находится вне системы, больше не нужны в общей теории относительности , поскольку эта физика объясняется геодезическими линиями пространства -времени : «Поле всех возможных нулевых геодезических линий пространства-времени или траекторий фотонов объединяет абсолютный локальный стандарт невращения во всем пространстве-времени». ^[17]

На Земле

Поверхность Земли представляет собой вращающуюся систему отсчета . Для точного решения задач классической механики в земной системе отсчета необходимо ввести три фиктивные силы: силу Кориолиса , центробежную силу (описанную ниже) и силу Эйлера . Сила Эйлера обычно игнорируется, поскольку изменения угловой скорости вращающейся поверхности Земли обычно незначительны. Обе другие фиктивные силы слабы по сравнению с большинством типичных сил в повседневной жизни, но их можно обнаружить при соблюдении определенных условий.

Например, Леон Фуко использовал свой маятник Фуко , чтобы показать, что сила Кориолиса возникает из-за вращения Земли. Если бы Земля вращалась в двадцать раз быстрее (чтобы каждый день длился всего ~72 минуты), у людей могло бы легко сложиться впечатление, что такие фиктивные силы тянут их, как на вращающейся карусели. Людям в умеренных и тропических широтах, на самом деле, пришлось бы держаться, чтобы не быть выброшенными на орбиту центробежной силой.

При движении вдоль экватора на корабле, идущем в восточном направлении, предметы кажутся немного светлее, чем на обратном пути. Это явление было замечено и называется эффектом Этвеша .

Обнаружение неинерциальной системы отсчета

Наблюдатели внутри закрытого ящика, движущегося с постоянной скоростью, не могут обнаружить свое собственное движение; однако наблюдатели внутри ускоряющейся системы отсчета могут обнаружить, что они находятся в неинерциальной системе отсчета, по возникающим фиктивным силам. Например, для прямолинейного ускорения Владимир Арнольд представляет следующую теорему: ^[18]

В системе координат K , которая движется поступательно относительно инерциальной системы k , движение механической системы происходит так, как если бы система координат была инерциальной, но на каждую точку массы m действовала дополнительная «сила инерции»: F  = − m a , где a — ускорение системы K .

Другие ускорения также приводят к появлению фиктивных сил, как математически описано ниже. Физическое объяснение движений в инерциальной системе отсчета является самым простым из возможных, не требующим фиктивных сил: фиктивные силы равны нулю, что дает возможность отличать инерциальные системы от других. ^[19]

Примером обнаружения неинерциальной вращающейся системы отсчета является прецессия маятника Фуко . В неинерциальной системе отсчета Земли фиктивная сила Кориолиса необходима для объяснения наблюдений. В инерциальной системе отсчета вне Земли такая фиктивная сила не нужна.

Пример, касающийся кругового движения

В инерциальной системе отсчета (верхняя часть рисунка) черный шар движется по прямой линии. Однако наблюдатель (коричневая точка), стоящий во вращающейся/неинерциальной системе отсчета (нижняя часть рисунка), видит объект движущимся по криволинейной траектории из-за кориолисовых или центробежных сил, присутствующих в этой системе.

Эффект фиктивной силы также возникает, когда автомобиль поворачивает . При наблюдении из неинерциальной системы отсчета, прикрепленной к автомобилю, появляется фиктивная сила, называемая центробежной силой . Когда автомобиль входит в левый поворот, чемодан сначала с левого заднего сиденья скользит на правое заднее сиденье, а затем продолжает движение, пока не соприкоснется с закрытой дверью справа. Это движение отмечает фазу фиктивной центробежной силы, поскольку именно инерция чемодана играет роль в этом движении. Может показаться, что должна быть сила, ответственная за это движение, но на самом деле это движение возникает из-за инерции чемодана, который (все еще) является «свободным объектом» в уже ускоряющейся системе отсчета. После того, как чемодан соприкоснулся с закрытой дверью автомобиля, ситуация с возникновением контактных сил становится актуальной. Центростремительная сила, действующая на автомобиль, теперь также передается чемодану, и вступает в действие ситуация третьего закона Ньютона, с центростремительной силой как частью действия и с так называемой реактивной центробежной силой как частью реакции. Реактивная центробежная сила также обусловлена ​​инерцией чемодана . Однако теперь инерция проявляется в форме проявляющегося сопротивления изменению его состояния движения. ^[20]

Предположим, что через несколько миль автомобиль движется с постоянной скоростью, снова и снова проезжая кольцевую развязку, и тогда пассажиры почувствуют, как будто их выталкивает наружу автомобиля (реактивная) центробежная сила, от центра поворота.

Ситуацию можно рассматривать как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчета.

• С точки зрения инерциальной системы отсчета, неподвижной относительно дороги, автомобиль ускоряется по направлению к центру окружности. Он ускоряется, потому что направление скорости меняется, несмотря на то, что автомобиль имеет постоянную скорость. Это внутреннее ускорение называется центростремительным ускорением , оно требует центростремительной силы для поддержания кругового движения. Эта сила прикладывается землей к колесам, в данном случае, от трения между колесами и дорогой. ^[21] Автомобиль ускоряется из-за неуравновешенной силы, которая заставляет его двигаться по окружности. (См. также поворот с наклоном .)
• С точки зрения вращающейся системы отсчета, движущейся вместе с автомобилем, кажется, что присутствует фиктивная центробежная сила, толкающая автомобиль к внешней стороне дороги (и толкающая пассажиров к внешней стороне автомобиля). Центробежная сила уравновешивает трение между колесами и дорогой, делая автомобиль неподвижным в этой неинерциальной системе отсчета.

Классический пример фиктивной силы в круговом движении — эксперимент с вращающимися сферами, связанными шнуром и вращающимися вокруг своего центра масс. В этом случае идентификация вращающейся неинерциальной системы отсчета может быть основана на исчезновении фиктивных сил. В инерциальной системе отсчета фиктивные силы не нужны для объяснения натяжения струны, соединяющей сферы. Во вращающейся системе отсчета для предсказания наблюдаемого натяжения необходимо ввести силы Кориолиса и центробежные силы.

Во вращающейся системе отсчета, воспринимаемой на поверхности Земли, центробежная сила уменьшает кажущуюся силу тяжести примерно на одну тысячную часть, в зависимости от широты. Это уменьшение равно нулю на полюсах, максимально на экваторе .

Фиктивная сила Кориолиса , которая наблюдается во вращающихся системах отсчета, обычно видна только в очень крупномасштабном движении, таком как движение снаряда дальнобойных орудий или циркуляция атмосферы Земли (см. число Россби ). Пренебрегая сопротивлением воздуха, объект, сброшенный с 50-метровой башни на экваторе, упадет на 7,7 миллиметра к востоку от точки, ниже которой он упал, из-за силы Кориолиса. ^[22]

Фиктивные силы и работа

Фиктивные силы можно считать совершающими работу , при условии, что они перемещают объект по траектории , которая изменяет его энергию с потенциальной на кинетическую . Например, рассмотрим несколько человек во вращающихся креслах, держащих груз в вытянутых руках. Если они потянут руку внутрь к своему телу, с точки зрения вращающейся системы отсчета, они совершат работу против центробежной силы. Когда груз отпускают, он самопроизвольно вылетает наружу относительно вращающейся системы отсчета, потому что центробежная сила совершает работу над объектом, преобразуя его потенциальную энергию в кинетическую. С инерциальной точки зрения, конечно, объект улетает от них, потому что ему внезапно позволяют двигаться по прямой линии. Это иллюстрирует, что выполненная работа, как и полная потенциальная и кинетическая энергия объекта, может отличаться в неинерциальной системе отсчета, чем в инерциальной.

Гравитация как фиктивная сила

Понятие «фиктивной силы» также возникает в общей теории относительности Эйнштейна . ^{[23] [24]} Все фиктивные силы пропорциональны массе объекта, на который они действуют, что также верно для гравитации . ^{[25] [26]} Это заставило Альберта Эйнштейна задуматься, можно ли смоделировать гравитацию как фиктивную силу. Он отметил, что свободно падающий наблюдатель в закрытом ящике не сможет обнаружить силу гравитации; следовательно, свободно падающие системы отсчета эквивалентны инерциальным системам отсчета ( принцип эквивалентности ). Развивая это понимание, Эйнштейн сформулировал теорию, в которой гравитация была фиктивной силой, и приписал кажущееся ускорение, вызванное гравитацией, кривизне пространства - времени . Эта идея лежит в основе общей теории относительности Эйнштейна . См. эксперимент Этвеша .

Математический вывод фиктивных сил

Рисунок 2: Объект, расположенный в точке x _A в инерциальной системе отсчета A, находится в точке x _B в ускоряющейся системе отсчета B. Начало системы отсчета B находится в точке X _AB в системе отсчета A. Ориентация системы отсчета B определяется единичными векторами вдоль ее координатных направлений, u _j с j = 1, 2, 3. Используя эти оси, координаты объекта относительно системы отсчета B равны x _B = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ).

Общий вывод

Многие проблемы требуют использования неинерциальных систем отсчета, например, тех, которые включают спутники ^{[28] [29]} и ускорители частиц. ^[30] На рисунке 2 показана частица с массой m и вектором положения x _A ( t ) в конкретной инерциальной системе отсчета A. Рассмотрим неинерциальную систему отсчета B, начало которой относительно инерциальной задано как X _AB ( t ). Пусть положение частицы в системе отсчета B будет x _B ( t ). Какова сила, действующая на частицу, выраженная в системе координат системы отсчета B? ^{[31] [32]}

Чтобы ответить на этот вопрос, пусть ось координат в B будет представлена ​​единичными векторами u _j с j любым из { 1, 2, 3 } для трех осей координат. Тогда

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$

Интерпретация этого уравнения заключается в том, что x _B — это векторное смещение частицы, выраженное через координаты в системе отсчета B в момент времени t . Из системы отсчета A частица находится в:

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$

Кстати, единичные векторы {  u _j  } не могут изменять величину, поэтому производные этих векторов выражают только вращение системы координат B. С другой стороны, вектор X _AB просто определяет положение начала координат системы B относительно системы A и поэтому не может включать в себя вращение системы B.

Взяв производную по времени, скорость частицы равна:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}\,.}$

Второе слагаемое суммы — это скорость частицы, скажем, v _B, измеренная в системе B. То есть:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$

Интерпретация этого уравнения заключается в том, что скорость частицы, видимая наблюдателями в системе A, состоит из того, что наблюдатели в системе B называют скоростью, а именно v _B , плюс два дополнительных члена, связанных со скоростью изменения осей координат системы B. Один из них — это просто скорость движущегося начала координат v _AB . Другой — это вклад в скорость, обусловленный тем, что различные местоположения в неинерциальной системе имеют разные видимые скорости из-за вращения системы; точка, видимая из вращающейся системы, имеет вращательную составляющую скорости, которая тем больше, чем дальше точка находится от начала координат.

Чтобы найти ускорение, еще одно дифференцирование по времени дает:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.}$

Используя ту же формулу, которая уже использовалась для производной по времени от x _B , производная скорости справа равна:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$

Следовательно,

Интерпретация этого уравнения следующая: ускорение частицы в системе отсчета A состоит из того, что наблюдатели в системе отсчета B называют ускорением частицы a _B , но, кроме того, есть три члена ускорения, связанных с движением осей координат системы отсчета B: один член, связанный с ускорением начала системы отсчета B, а именно a _AB , и два члена, связанных с вращением системы отсчета B. Следовательно, наблюдатели в B будут видеть движение частицы как обладающее «дополнительным» ускорением, которое они припишут «силам», действующим на частицу, но которые наблюдатели в A назовут «фиктивными» силами, возникающими просто потому, что наблюдатели в B не распознают неинерциальную природу системы отсчета B.

Коэффициент два в силе Кориолиса возникает из двух равных вкладов: (i) кажущегося изменения инерциально постоянной скорости со временем, поскольку вращение заставляет направление скорости казаться изменяющимся ( член d v _B /d t ), и (ii) кажущегося изменения скорости объекта, когда его положение изменяется, приближая или удаляя его от оси вращения (изменение из- за изменения x _j ). ${\textstyle \sum x_{j}\,d\mathbf {u} _{j}/dt}$

Если выразить это в терминах сил, то ускорения умножаются на массу частицы:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {A} }=\mathbf {F} _{\mathrm {B} }+m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .}$

Сила, наблюдаемая в кадре B, F _B = m a _B, связана с фактической силой, действующей на частицу, F _A , соотношением

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} },}$

где:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} }=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\,.}$

Таким образом, проблемы можно решить в системе B, предположив, что второй закон Ньютона справедлив (по отношению к величинам в этой системе) и рассматривая F как _{фиктивную} дополнительную силу. ^{[18] [33] [34]}

Ниже приведен ряд примеров применения этого результата для фиктивных сил. Больше примеров можно найти в статье о центробежной силе .

Вращающиеся системы координат

Распространенная ситуация, в которой неинерциальные системы отсчета полезны, — это когда система отсчета вращается. Поскольку такое вращательное движение неинерциально, из-за ускорения, присутствующего в любом вращательном движении, фиктивная сила всегда может быть вызвана с использованием вращательной системы отсчета. Несмотря на это усложнение, использование фиктивных сил часто упрощает необходимые вычисления.

Для вывода выражений для фиктивных сил необходимы производные для кажущейся скорости изменения векторов во времени, которые учитывают изменение осей координат во времени. Если вращение рамки 'B' представлено вектором Ω, направленным вдоль оси вращения с ориентацией, заданной правилом правой руки , и с величиной, заданной

${\displaystyle |{\boldsymbol {\Omega }}|={\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t),}$

тогда производная по времени любого из трех единичных векторов, описывающих кадр B, равна ^{[33] [35]}

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t),}$

и

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right],}$

как проверяется с использованием свойств векторного перекрестного произведения . Эти производные формулы теперь применяются к соотношению между ускорением в инерциальной системе отсчета и ускорением в системе координат, вращающейся с изменяющейся во времени угловой скоростью ω( t ). Из предыдущего раздела, где нижний индекс A относится к инерциальной системе отсчета, а B — к вращающейся системе отсчета, устанавливая a _AB = 0, чтобы удалить любое поступательное ускорение, и сосредоточившись только на вращательных свойствах (см. уравнение 1):

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} _{\mathrm {A} }&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right]\\&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {u} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}(t)\right].\end{aligned}}}$

Собирая члены, получаем так называемую формулу преобразования ускорения : ^[36]

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\right)\,.}$

Физическое ускорение a _A, обусловленное тем, что наблюдатели в инерциальной системе отсчета A называют реальными внешними силами, действующими на объект, является, таким образом, не просто ускорением a _B, воспринимаемым наблюдателями во вращательной системе отсчета B, но имеет несколько дополнительных геометрических членов ускорения, связанных с вращением B. Как видно во вращательной системе отсчета, ускорение a _B частицы определяется путем перестановки приведенного выше уравнения следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {B} }=\mathbf {a} _{\mathrm {A} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

Чистая сила, действующая на объект по мнению наблюдателей во вращающейся системе отсчета, равна F _B = m a _B . Если их наблюдения должны привести к правильной силе, действующей на объект, при использовании законов Ньютона, они должны учитывать, что присутствует дополнительная сила F _fict , поэтому конечный результат равен F _B = F _A + F _fict . Таким образом, фиктивная сила, используемая наблюдателями в B для получения правильного поведения объекта из законов Ньютона, равна:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

Здесь первый член — это сила Кориолиса , ^[37] второй член — это центробежная сила , ^[38] а третий член — это сила Эйлера . ^{[39] [40]}

Орбитальные системы координат

Рисунок 3: Орбитальная, но фиксированная ориентационная система координат B , показанная в три разных момента времени. Единичные векторы u _j , j = 1, 2, 3 не вращаются , но сохраняют фиксированную ориентацию, в то время как начало координатной системы B движется с постоянной угловой скоростью ω вокруг фиксированной оси Ω . Ось Ω проходит через начало инерциальной системы A , поэтому начало системы B находится на фиксированном расстоянии R от начала инерциальной системы A .

В качестве связанного примера предположим, что движущаяся система координат B вращается с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиусом R вокруг неподвижного начала инерциальной системы отсчета A , но сохраняет фиксированную ориентацию своих осей координат, как на рисунке 3. Ускорение наблюдаемого тела теперь равно (см. уравнение 1):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a} _{B}\ ,\end{aligned}}}$

где суммы равны нулю, поскольку единичные векторы не зависят от времени. Начало системы B находится в соответствии с системой A в:

${\displaystyle \mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,}$

что приводит к скорости начала системы отсчета B как:

${\displaystyle \mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\ ,}$

приводящее к ускорению происхождения B, определяемому формулой:

${\displaystyle \mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,.}$

Потому что первый член, который имеет ту же форму, что и выражение нормальной центробежной силы: это естественное расширение стандартной терминологии (хотя для этого случая стандартной терминологии нет), чтобы назвать этот член «центробежной силой». Какая бы терминология ни была принята, наблюдатели в системе B должны ввести фиктивную силу, на этот раз из-за ускорения от орбитального движения всей их системы координат, которая радиально направлена ​​наружу от центра вращения начала их системы координат: $${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)\,,}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,,}$

и величины:

${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }|=m\omega ^{2}R\,.}$

Эта «центробежная сила» имеет отличия от случая вращающейся системы отсчета. Во вращающейся системе отсчета центробежная сила связана с расстоянием объекта от начала системы отсчета B , тогда как в случае орбитальной системы отсчета центробежная сила не зависит от расстояния объекта от начала системы отсчета B , но вместо этого зависит от расстояния начала системы отсчета B от ее центра вращения, что приводит к одной и той же центробежной фиктивной силе для всех объектов, наблюдаемых в системе отсчета B.

Орбита и вращение

Рисунок 4: Орбитальная система координат B, аналогичная рисунку 3, но в которой единичные векторы u _j , j = 1, 2, 3 вращаются лицом к оси вращения, в то время как начало координат системы координат B движется с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси Ω .

В качестве примера комбинации на рисунке 4 показана система координат B , которая вращается вокруг инерциальной системы отсчета A, как на рисунке 3, но оси координат в системе B поворачиваются так, что единичный вектор u ₁ всегда указывает на центр вращения. Этот пример можно применить к пробирке в центрифуге, где вектор u ₁ указывает вдоль оси трубки на ее отверстие в верхней части. Это также напоминает систему Земля-Луна, где Луна всегда обращена к Земле одной и той же стороной. ^[41] В этом примере единичный вектор u ₃ сохраняет фиксированную ориентацию, в то время как векторы u ₁ , u ₂ вращаются с той же скоростью, что и начало координат. То есть,

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=(-\cos \omega t,\ -\sin \omega t)\ ;\ }$  ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=(\sin \omega t,\ -\cos \omega t)\,.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{1}=\mathbf {\Omega \times u_{1}} =\omega \mathbf {u} _{2}\ ;}$  ${\displaystyle \ {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {\Omega \times u_{2}} =-\omega \mathbf {u} _{1}\ \ .}$

Следовательно, ускорение движущегося объекта выражается как (см. уравнение 1):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ \mathbf {\Omega \times u_{j}} \ +\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \,,\end{aligned}}}$

где член углового ускорения равен нулю для постоянной скорости вращения. Поскольку первый член, который имеет ту же форму, что и выражение нормальной центробежной силы: естественным расширением стандартной терминологии (хотя для этого случая стандартной терминологии нет) является название этого термина «центробежная сила». Применяя эту терминологию к примеру с трубкой в ​​центрифуге, если трубка находится достаточно далеко от центра вращения, | X _AB | = R ≫ | x _B |, все вещество в пробирке испытывает одинаковое ускорение (ту же центробежную силу). Таким образом, в этом случае фиктивная сила в первую очередь является равномерной центробежной силой вдоль оси трубки, вдали от центра вращения, со значением | F _fict | = ω ² R , где R — расстояние вещества в трубке от центра центрифуги. Стандартная спецификация центрифуги — использовать «эффективный» радиус центрифуги для оценки ее способности обеспечивать центробежную силу. Таким образом, первая оценка центробежной силы в центрифуге может быть основана на расстоянии трубок от центра вращения, и при необходимости применяются поправки. ^{[42] [43]} $${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)\,,}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$

Кроме того, пробирка ограничивает движение направлением вниз по длине трубки, поэтому v _B противоположна u ₁ , а сила Кориолиса противоположна u ₂ , то есть, против стенки трубки. Если трубку вращать достаточно долго, скорость v _B падает до нуля, когда вещество приходит к равновесному распределению. Более подробную информацию см. в статьях об седиментации и уравнении Ламма .

Связанная проблема — это проблема центробежных сил для системы Земля-Луна-Солнце, где появляются три вращения: суточное вращение Земли вокруг своей оси, лунно-месячное вращение системы Земля-Луна вокруг своего центра масс и годовое вращение системы Земля-Луна вокруг Солнца. Эти три движения влияют на приливы . [ ^44]

Пересечение карусели

Рисунок 5: При пересечении вращающейся карусели с постоянной скоростью от центра карусели к ее краю в инерциальной системе отсчета вырисовывается спираль, в то время как в кадре карусели виден простой прямой радиальный путь.

На рисунке 5 показан еще один пример сравнения наблюдений инерциального наблюдателя с наблюдениями наблюдателя на вращающейся карусели . ^[45] Карусель вращается с постоянной угловой скоростью, представленной вектором Ω с величиной ω , направленным вверх в соответствии с правилом правой руки . Пассажир на карусели идет радиально по ней с постоянной скоростью, что для пешехода кажется прямой линией, наклоненной под углом 45° на рисунке 5. Однако для неподвижного наблюдателя пешеход движется по спиральной траектории. Точки, обозначенные на обоих путях на рисунке 5, соответствуют одинаковым временам, разнесенным на равные временные интервалы. Мы спрашиваем, как два наблюдателя, один на карусели и один в инерциальной системе отсчета, формулируют то, что они видят, используя законы Ньютона.

Инерциальный наблюдатель

Наблюдатель в состоянии покоя описывает путь, по которому идет пешеход, как спираль. Принимая систему координат, показанную на рисунке 5, траектория описывается r ( t ):

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=R(t)\mathbf {u} _{R}={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R(t)\cos(\omega t+\pi /4)\\R(t)\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}},}$

где добавленное π/4 устанавливает угол траектории в 45° для начала (просто произвольный выбор направления), u _R — единичный вектор в радиальном направлении, указывающий от центра карусели к пешеходу в момент времени t . Радиальное расстояние R ( t ) неуклонно увеличивается со временем согласно:

${\displaystyle R(t)=st,}$

где s — скорость ходьбы. Согласно простой кинематике, скорость тогда является первой производной траектории:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&={\frac {dR}{dt}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+\omega R(t){\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&={\frac {dR}{dt}}\mathbf {u} _{R}+\omega R(t)\mathbf {u} _{\theta },\end{aligned}}}$

с u _θ единичным вектором, перпендикулярным u _R в момент времени t (что можно проверить, заметив, что скалярное произведение вектора с радиальным вектором равно нулю) и указывающим в направлении движения. Ускорение является первой производной скорости:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&={\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+2{\frac {dR}{dt}}\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\ \omega \ \mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}R(t)\ \mathbf {u} _{R}\,.\end{aligned}}}$

Последний член в ускорении радиально направлен внутрь с величиной ω ² R , что, следовательно, является мгновенным центростремительным ускорением кругового движения . ^[46] Первый член перпендикулярен радиальному направлению и указывает в направлении движения. Его величина составляет 2 sω , и он представляет ускорение пешехода по мере приближения к краю карусели, а дуга окружности, пройденная за фиксированное время, увеличивается, как можно видеть по увеличенному расстоянию между точками для равных временных шагов на спирали на рисунке 5 по мере приближения к внешнему краю карусели.

Применяя законы Ньютона, умножая ускорение на массу идущего, инерциальный наблюдатель приходит к выводу, что на идущего действуют две силы: центростремительная сила, направленная внутрь радиально, и другая сила, перпендикулярная радиальному направлению, которая пропорциональна скорости идущего.

Вращающийся наблюдатель

Вращающийся наблюдатель видит, как пешеход движется по прямой от центра карусели к периферии, как показано на рисунке 5. Более того, вращающийся наблюдатель видит, что пешеход движется с постоянной скоростью в одном и том же направлении, поэтому, применяя закон инерции Ньютона, на пешехода действует нулевая сила. Эти выводы не согласуются с инерционным наблюдателем. Чтобы достичь согласия, вращающийся наблюдатель должен ввести фиктивные силы, которые, как представляется, существуют во вращающемся мире, даже если для них нет никакой очевидной причины, никакой очевидной гравитационной массы, электрического заряда или чего-то еще, что могло бы объяснить эти фиктивные силы.

Чтобы согласиться с инерционным наблюдателем, силы, приложенные к шагающему, должны быть именно такими, как найдено выше. Их можно связать с уже выведенными общими формулами, а именно:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

В этом примере скорость, наблюдаемая во вращающейся системе отсчета, равна:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B} }=s\mathbf {u} _{R},}$

с u _R единичным вектором в радиальном направлении. Положение ходока, как видно на карусели, следующее:

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=R(t)\mathbf {u} _{R},}$

и производная по времени от Ω равна нулю для равномерного углового вращения. Заметив, что

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{R}=\omega \mathbf {u} _{\theta }}$

и

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{\theta }=-\omega \mathbf {u} _{R}\,,}$

мы находим:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m\omega s\mathbf {u} _{\theta }+m\omega ^{2}R(t)\mathbf {u} _{R}.}$

Чтобы получить прямолинейное движение во вращающемся мире, необходимо приложить силу, прямо противоположную по знаку фиктивной силе, чтобы свести чистую силу, действующую на пешехода, к нулю, поэтому закон инерции Ньютона предскажет прямолинейное движение, в соответствии с тем, что видит вращающийся наблюдатель. Фиктивные силы, с которыми необходимо бороться, — это сила Кориолиса (первый член) и центробежная сила (второй член). (Эти члены являются приблизительными. ^[47] ) Прикладывая силы для противодействия этим двум фиктивным силам, вращающийся наблюдатель в конечном итоге прикладывает к пешеходу точно такие же силы, которые, как предсказал инерциальный наблюдатель, были необходимы.

Поскольку они отличаются только постоянной скоростью ходьбы, идущий и вращающийся наблюдатель видят одинаковые ускорения. С точки зрения идущего, фиктивная сила воспринимается как реальная, и борьба с этой силой необходима, чтобы оставаться на прямолинейном радиальном пути, поддерживая постоянную скорость. Это похоже на борьбу с боковым ветром, когда тебя бросают на край карусели. ^[48]

Наблюдение

Обратите внимание, что это кинематическое обсуждение не углубляется в механизм, посредством которого генерируются требуемые силы. Это предмет кинетики . В случае карусели кинетическое обсуждение, возможно, включало бы изучение обуви пешехода и трения, которое им необходимо создавать о пол карусели, или, возможно, динамику катания на скейтборде, если пешеход переключился на скейтборд. Какими бы ни были средства передвижения по карусели, силы, рассчитанные выше, должны быть реализованы. Очень грубая аналогия — отопление вашего дома: для комфорта у вас должна быть определенная температура, но отапливаете ли вы его, сжигая газ или сжигая уголь — это уже другая проблема. Кинематика устанавливает термостат, кинетика разжигает печь.

Смотрите также

• Аналитическая механика
• Прикладная механика
• Центробежная сила
• Центростремительная сила
• Круговое движение
• Классическая механика
• сила Кориолиса
• Криволинейные координаты § Фиктивные силы в общих криволинейных координатах
• Принцип инерционных сил Даламбера
• Динамика (физика)
• Уравнение свободного движения
• Формулы Френе-Серре
• Общая теория относительности
• Обобщенные координаты
• Обобщенная сила
• Гравитация
• Инерциальная система отсчета
• Кинематика
• Кинетика (физика)
• Законы движения Ньютона
• Неинерциальная система отсчета
• Ортогональные координаты
• Вращающаяся система отсчета
• Статика
• Равномерное круговое движение

• Физический портал

Ссылки

1. «Что такое «фиктивная сила»?». Scientific American . Получено 14.12.2021 .
2. "Фиктивная сила - Britannica".
3. Харальд Иро (2002). Современный подход к классической механике. World Scientific. стр. 180. ISBN 981-238-213-5.
4. Британника, «Сила Кориолиса».
5. Демонстрационная лекция Гарвардского университета «Сила Кориолиса».
6. Сайт ThoughtCo, «Эффект Кориолиса».
7. "Сила инерции - Britannica".
8. Макс Борн; Гюнтер Лейбфрид (1962). Теория относительности Эйнштейна . Нью-Йорк: Courier Dover Publications. С. 76–78. ISBN 0-486-60769-0. инерционные силы.
9. NASA отмечает:(23) Ускоренные системы отсчета: инерционные силы
10. Корнелиус Ланцош (1986). Вариационные принципы механики. Нью-Йорк: Courier Dover Publications. стр. 100. ISBN 0-486-65067-7.
11. Селигман, Кортни. "Вымышленные силы" . Получено 03.09.2007 .
12. Фейнмановские лекции по физике, том I, гл. 12-5: Псевдосилы
13. Физический форум, «Инерция и третий закон Ньютона». 3 марта 2021 г.
14. Обмен физическими статьями, «о третьем законе Ньютона».
15. Термин сила Даламбера часто ограничивается этим случаем. См., например, Ланцоша.
16. Мария-Антуанетта Тоннела (2002). Принципы электромагнитной теории и теории относительности. Springer. стр. 113. ISBN 90-277-0107-5.
17. Gilson, James G. (1 сентября 2004 г.), Принцип Маха II, стр. 1, стр. 9 , arXiv : physics/0409010 , Bibcode : 2004physics...9010G
18. Владимир Игоревич Арнольд (1989). Математические методы классической механики. Берлин: Springer. стр. §27 стр. 129 и далее. ISBN 0-387-96890-3.
19. В рамках требования простоты, чтобы быть инерциальной системой, во всех других системах, которые отличаются только равномерной скоростью перемещения, описание должно иметь ту же форму. Однако в ньютоновской системе преобразование Галилея связывает эти системы, а в специальной теории относительности их связывает преобразование Лоренца . Эти два преобразования согласуются для скоростей перемещения, намного меньших скорости света .
20. Наука повседневных вещей, «центростремительная сила», стр. 48-49.
21. Сила в этом примере известна как реакция опоры , и она может существовать даже без трения, например, сани, катящиеся по изгибу бобслейной трассы.
22. Дэниел Клеппнер; Роберт Дж. Коленков (1973). Введение в механику. McGraw-Hill. стр. 363. ISBN 0-07-035048-5.
23. Фриц Рорлих (2007). Вымышленные силы и кажущиеся гравитационные поля. Сингапур: World Scientific. стр. 40. ISBN 978-981-270-004-9.
24. Ханс Стефани (2004). Введение в специальную и общую теорию относительности - геодезическое отклонение стр. 104-105. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. 105. ISBN 0-521-01069-1.
25. Экспериментально установлено, что гравитационная масса и инертная масса равны друг другу в пределах экспериментальной погрешности.
26. Motz и Weaver, Motz, Lloyd; Weaver, Jefferson Hane (11 ноября 2013 г.). Пример поезда и гравитации, стр. 101. Springer. ISBN 9781489963338.
27. Эдвин Ф. Тейлор и Джон Арчибальд Уилер (2000) Исследование черных дыр (Addison Wesley Longman, NY) ISBN 0-201-38423-X 
28. Альберто Исидори; Лоренцо Маркони; Андреа Серрани (2003). Надежное автономное управление: подход внутренней модели. Спрингер. п. 61. ИСБН 1-85233-695-1.
29. Шу-Цзин Ин (1997). Advanced Dynamics . Рестон Вирджиния: Американский институт аэронавтики и астронавтики. стр. 172. ISBN 1-56347-224-4. система координат орбиты.
30. Филип Дж. Брайант; Кьелл Джонсен (1993). Принципы круговых ускорителей и накопительных колец. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. xvii. ISBN 0-521-35578-8.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
31. Александр Л. Феттер; Джон Д. Валецка (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред. Courier Dover Publications. С. 33–39. ISBN 0-486-43261-0.
32. Yung-kuo Lim; Yuan-qi Qiang (2001). Проблемы и решения по механике: основные американские университеты. Вопросы и решения для получения степени доктора философии. Сингапур: World Scientific. стр. 183. ISBN 981-02-1298-4.
33. Джон Роберт Тейлор (2004). Классическая механика. Sausalito CA: University Science Books. стр. 343–344. ISBN 1-891389-22-X.
34. Клеппнер страницы 62–63
35. См., например, JL Synge; BA Griffith (1949). Principles of Mechanics (2-е изд.). McGraw-Hill. стр. 348–349.
36. Р. Дуглас Грегори (2006). Классическая механика: Учебник для студентов. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. стр. Уравнение (17.16), стр. 475. ISBN 0-521-82678-0.
37. Георг Йос; Айра М. Фримен (1986). Теоретическая физика. Нью-Йорк: Courier Dover Publications. стр. 233. ISBN 0-486-65227-0.
38. Перси Ф. Смит и Уильям Рэймонд Лонгли (1910). Теоретическая механика. Бостон: Gin. стр. 118. центробежная сила теоретическая.
39. Корнелиус Ланцош (1986). Вариационные принципы механики. Нью-Йорк: Courier Dover Publications. стр. 103. ISBN 0-486-65067-7.
40. Джерольд Э. Марсден; Тюдор С. Ратиу (1999). Введение в механику и симметрию: базовое изложение классических механических систем: Тексты по прикладной математике, 17 (2-е изд.). NY: Springer-Verlag. стр. 251. ISBN 0-387-98643-X.
41. Однако система Земля-Луна вращается вокруг своего барицентра , а не вокруг центра Земли; см. Саймон Ньюкомб (2007). Популярная астрономия. Читайте книги. стр. 307. ISBN 978-1-4067-4574-0.
42. Беа К. Лалмахомед; Сара Спрингман; Бхавани Сингх (2002). Конститутивное и центрифужное моделирование: две крайности. Тейлор и Фрэнсис. стр. 82. ISBN 90-5809-361-1.
43. Raymond Nen (1986). Консолидация грунтов: Тестирование и оценка: Симпозиум. ASTM International. стр. 590. ISBN 0-8031-0446-4.
44. Д. Эпплтон (1877). The Popular Science Monthly. стр. 276.
45. Похожий пример см. в Ron Schmitt (2002). Справочник по беспроводной/радиочастотной, электромагнитной и высокоскоростной электронике, часть серии EDN для инженеров-конструкторов. Newnes. стр. 60–61. ISBN 0-7506-7403-2., и Дуглас С. Джанколи (2007). Физика для ученых и инженеров с современной физикой. Pearson Prentice-Hall. стр. 301. ISBN 978-0-13-149508-1.
46. Примечание : Здесь есть тонкость: расстояние R — это мгновенное расстояние от оси вращения карусели . Однако это не радиус кривизны траектории пешехода , как ее видит инерциальный наблюдатель, а единичный вектор u _R не перпендикулярен траектории. Таким образом, обозначение «центростремительное ускорение» — это приблизительное использование этого термина. См., например, Howard D. Curtis (2005). Orbital Mechanics for Engineering Students . Butterworth-Heinemann. стр. 5. ISBN 0-7506-6169-0.и SY Lee (2004). Физика ускорителей (2-е изд.). Hackensack NJ: World Scientific. стр. 37. ISBN 981-256-182-X.
47. Окружность вокруг оси вращения не является соприкасающейся окружностью траектории пешехода, поэтому «центробежный» и «Кориолисов» — приблизительные значения этих терминов. См. примечание.
48. В этой связи можно отметить, что изменение системы координат, например, с декартовой на полярную, если оно осуществляется без изменения относительного движения, не приводит к появлению вращательных фиктивных сил, несмотря на то, что вид законов движения меняется от одного типа криволинейной системы координат к другому в зависимости от (чисто пространственной) дельта-кривизны: , где — контравариантные компоненты силы на единицу массы, а — символы Кристоффеля второго рода, см., например: David, Kay, Tensor Calculus (1988) McGraw-Hill Book Company ISBN 0-07-033484-6 , Section 11.4; или: Adler, R., Bazin, M., & Schiffer, M. Introduction to General Relativity (New York, 1965). Это может быть первым намеком на кризис нерелятивистской физики: в «неинерциальных» системах отсчета, использующих неевклидовы и не плоские метрики, фиктивные силы трансформируются в силу, которой обмениваются с «объектами», не следующими по геодезической траектории (просто с относительной скоростью, соответствующей ей). В любом случае этот обобщенный «второй закон Ньютона» должен ждать, пока общая теория относительности получит кривизну в пространстве-времени в соответствии с тензором энергии-импульса по уравнениям поля Эйнштейна и форме пространства-времени, которая использует тензор плотности четырех сил , который выводится из ковариантной дивергенции тензора энергии-импульса. ${\displaystyle {\ddot {x}}^{j}+\Gamma ^{j}{}_{lk}{\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F^{j}}$ ${\displaystyle F^{j}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{j}{}_{lk}}$ 

Дальнейшее чтение

• Лев Д. Ландау и Е. М. Лифшиц (1976). Механика. Курс теоретической физики . Т. 1 (3-е изд.). Butterworth-Heinenan. С. 128–130. ISBN 0-7506-2896-0.
• Кит Саймон (1971). Механика (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7.
• Джерри Б. Мэрион (1970). Классическая динамика частиц и систем. Academic Press. ISBN 0-12-472252-0.
• Марсель Дж. Сиди (1997). Динамика и управление космическими аппаратами: практический инженерный подход. Cambridge University Press. Глава 4.8. ISBN 0-521-78780-7.

Внешние ссылки

• Вопросы и ответы от Ричарда С. Брилла, Honolulu Community College
• Дэвид Стерн из НАСА: План урока для учителей № 23 по силам инерции
• Сила Кориолиса
• Движение по плоской поверхности Java physlet Брайана Фидлера, иллюстрирующий фиктивные силы. Физлет показывает как перспективу, видимую с вращающейся, так и с невращающейся точки зрения.
• Движение по параболической поверхности Java physlet Брайана Фидлера, иллюстрирующий фиктивные силы. Физлет показывает как перспективу, видимую с вращающейся, так и с невращающейся точки зрения.