Квантовая информация

Информация, содержащаяся в состоянии квантовой системы

Оптические решетки используют лазеры для разделения атомов рубидия (красные) для использования в качестве информационных битов в квантовых процессорах на нейтральных атомах — прототипах устройств, которые разработчики пытаются превратить в полноценные квантовые компьютеры.

Квантовая информация — это информация о состоянии квантовой системы . Это базовая сущность изучения в квантовой теории информации , ^{[1] [2] [3]} и ею можно манипулировать с помощью методов обработки квантовой информации . Квантовая информация относится как к техническому определению в терминах энтропии фон Неймана , так и к общему вычислительному термину.

Это междисциплинарная область, которая включает в себя квантовую механику , информатику , теорию информации , философию и криптографию среди других областей. ^{[4] [5] [6]} Ее изучение также актуально для таких дисциплин, как когнитивная наука , психология и нейронаука . ^{[7] [8] [9] [10]} Ее основное внимание уделяется извлечению информации из материи в микроскопическом масштабе. Наблюдение в науке является одним из важнейших способов получения информации , и измерение требуется для количественной оценки наблюдения, что делает это решающим для научного метода . В квантовой механике из-за принципа неопределенности некоммутирующие наблюдаемые не могут быть точно измерены одновременно, поскольку собственное состояние в одном базисе не является собственным состоянием в другом базисе. Согласно связи собственное состояние–собственное значение, наблюдаемая является четко определенной, когда состояние системы является собственным состоянием наблюдаемой. ^[11] Поскольку любые две некоммутирующие наблюдаемые не являются одновременно четко определенными, квантовое состояние никогда не может содержать определенную информацию об обеих некоммутирующих наблюдаемых. ^[8]

Данные могут быть закодированы в квантовом состоянии квантовой системы как квантовая информация. ^[12] В то время как квантовая механика занимается изучением свойств материи на микроскопическом уровне, ^{[13] [8]} квантовая информатика фокусируется на извлечении информации из этих свойств, ^[8] а квантовые вычисления манипулируют и обрабатывают информацию – выполняют логические операции – используя методы обработки квантовой информации . ^[14]

Квантовая информация, как и классическая информация, может быть обработана с помощью цифровых компьютеров , передана из одного места в другое, обработана с помощью алгоритмов и проанализирована с помощью компьютерной науки и математики . Так же, как базовой единицей классической информации является бит, квантовая информация имеет дело с кубитами . ^[15] Квантовую информацию можно измерить с помощью энтропии фон Неймана.

В последнее время область квантовых вычислений стала активной областью исследований из-за возможности нарушить современные вычисления, связь и криптографию . ^{[14] [16]}

История и развитие

Развитие фундаментальной квантовой механики

История квантовой теории информации началась на рубеже 20-го века, когда классическая физика была революционизирована в квантовую физику . Теории классической физики предсказывали абсурдности, такие как ультрафиолетовая катастрофа или электроны, двигающиеся по спирали в ядро. Сначала эти проблемы отметались путем добавления гипотез ad hoc к классической физике. Вскоре стало очевидно, что необходимо создать новую теорию, чтобы придать смысл этим абсурдам, и родилась теория квантовой механики. ^[2]

Квантовая механика была сформулирована Эрвином Шредингером с использованием волновой механики, а Вернером Гейзенбергом — с использованием матричной механики . ^[17] Эквивалентность этих методов была доказана позже. ^[18] Их формулировки описывали динамику микроскопических систем, но имели несколько неудовлетворительных аспектов в описании процессов измерения. Фон Нейман сформулировал квантовую теорию с использованием операторной алгебры таким образом, что она описывала как измерение, так и динамику. ^[19] Эти исследования подчеркивали философские аспекты измерения, а не количественный подход к извлечению информации посредством измерений.

См.: Динамические изображения

Развитие через общение

В 1960-х годах Руслан Стратонович , Карл Хелстром и Гордон ^[20] предложили формулировку оптической связи с использованием квантовой механики. Это было первое историческое появление квантовой теории информации. Они в основном изучали вероятности ошибок и пропускную способность каналов связи. ^{[20] [21] [22]} Позднее Александр Холево получил верхнюю границу скорости связи при передаче классического сообщения через квантовый канал . ^{[23] [24]}

Развитие атомной физики и теории относительности

В 1970-х годах начали разрабатываться методы манипулирования квантовыми состояниями отдельных атомов, такие как атомная ловушка и сканирующий туннельный микроскоп , что позволило изолировать отдельные атомы и размещать их в массивах. До этих разработок точный контроль над отдельными квантовыми системами был невозможен, и эксперименты использовали более грубый одновременный контроль над большим количеством квантовых систем. ^[2] Развитие жизнеспособных методов манипулирования отдельными состояниями привело к повышению интереса к области квантовой информации и вычислений.

В 1980-х годах возник интерес к тому, можно ли использовать квантовые эффекты для опровержения теории относительности Эйнштейна . Если бы можно было клонировать неизвестное квантовое состояние, можно было бы использовать запутанные квантовые состояния для передачи информации быстрее скорости света, опровергая теорию Эйнштейна. Однако теорема о невозможности клонирования показала, что такое клонирование невозможно. Теорема была одним из самых ранних результатов квантовой теории информации. ^[2]

Развитие криптографии

Несмотря на все волнение и интерес к изучению изолированных квантовых систем и попыткам найти способ обойти теорию относительности, исследования в области квантовой теории информации застопорились в 1980-х годах. Однако примерно в то же время другое направление начало вмешиваться в квантовую информацию и вычисления: криптография . В общем смысле, криптография — это проблема осуществления коммуникации или вычислений с участием двух или более сторон, которые могут не доверять друг другу. ^[2]

Беннетт и Брассар разработали канал связи, на котором невозможно подслушивать, не будучи обнаруженным, способ тайного общения на больших расстояниях с использованием квантового криптографического протокола BB84 . ^[25] Ключевой идеей было использование фундаментального принципа квантовой механики, согласно которому наблюдение нарушает наблюдаемое, а введение подслушивателя в защищенную линию связи немедленно даст знать двум сторонам, пытающимся общаться, о присутствии подслушивателя.

Развитие информатики и математики

С появлением революционных идей Алана Тьюринга о программируемом компьютере, или машине Тьюринга , он показал, что любое реальное вычисление можно перевести в эквивалентное вычисление с участием машины Тьюринга. ^{[26] [27]} Это известно как тезис Чёрча-Тьюринга .

Вскоре были созданы первые компьютеры, и компьютерное оборудование росло такими быстрыми темпами, что рост, благодаря опыту в производстве, был кодифицирован в эмпирическое соотношение, называемое законом Мура . Этот «закон» является проективной тенденцией, которая гласит, что количество транзисторов в интегральной схеме удваивается каждые два года. ^[28] Поскольку транзисторы стали становиться все меньше и меньше, чтобы вместить больше мощности на единицу площади поверхности, в электронике начали проявляться квантовые эффекты, приводящие к непреднамеренным помехам. Это привело к появлению квантовых вычислений, которые используют квантовую механику для разработки алгоритмов.

На этом этапе квантовые компьютеры обещали быть намного быстрее классических компьютеров для решения определенных конкретных задач. Один из таких примеров задач был разработан Дэвидом Дойчем и Ричардом Йозой , и известен как алгоритм Дойча–Йожы . Однако эта задача не имела практически никакого практического применения. ^[2] Питер Шор в 1994 году придумал очень важную и практическую задачу — задачу нахождения простых множителей целого числа. Задача дискретного логарифма , как ее называли, теоретически могла быть эффективно решена на квантовом компьютере, но не на классическом, что показывает, что квантовые компьютеры должны быть мощнее машин Тьюринга.

Развитие теории информации

Примерно в то же время, когда компьютерная наука совершала революцию, то же самое происходило и в теории информации и коммуникации благодаря Клоду Шеннону . ^{[29] [30] [31]} Шеннон разработал две фундаментальные теоремы теории информации: теорему о бесшумном канальном кодировании и теорему о шумном канальном кодировании . Он также показал, что коды с исправлением ошибок могут использоваться для защиты отправляемой информации.

Квантовая теория информации также следовала по схожей траектории, Бен Шумахер в 1995 году создал аналог теоремы Шеннона о бесшумном кодировании, используя кубит . Также была разработана теория исправления ошибок, которая позволяет квантовым компьютерам производить эффективные вычисления независимо от шума и осуществлять надежную связь по шумным квантовым каналам. ^[2]

Кубиты и теория информации

Квантовая информация сильно отличается от классической информации, представленной битом , во многих поразительных и незнакомых отношениях. В то время как фундаментальной единицей классической информации является бит , самой базовой единицей квантовой информации является кубит . Классическая информация измеряется с помощью энтропии Шеннона , в то время как квантово-механическим аналогом является энтропия фон Неймана . Учитывая статистический ансамбль квантово-механических систем с матрицей плотности , она задается как ^[2] Многие из тех же мер энтропии в классической теории информации также могут быть обобщены на квантовый случай, такие как энтропия Холево ^[32] и условная квантовая энтропия . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho ).}$

В отличие от классических цифровых состояний (которые являются дискретными), кубит является непрерывно-значным, описываемым направлением на сфере Блоха . Несмотря на то, что он непрерывно-значен таким образом, кубит является наименьшей возможной единицей квантовой информации, и, несмотря на то, что состояние кубита является непрерывно-значным, невозможно точно измерить значение . Пять известных теорем описывают ограничения на манипуляцию квантовой информацией. ^[2]

1. Теорема о нетелепортации , которая гласит, что кубит не может быть (полностью) преобразован в классические биты; то есть его нельзя полностью «прочитать».
2. Теорема о запрете клонирования , которая предотвращает копирование произвольного кубита.
3. теорема о невозможности удаления , которая предотвращает удаление произвольного кубита.
4. теорема о запрете трансляции , которая запрещает доставку произвольного кубита нескольким получателям, хотя его можно транспортировать из одного места в другое ( например, посредством квантовой телепортации ).
5. Теорема о несокрытии , демонстрирующая сохранение квантовой информации.

Эти теоремы доказаны на основе унитарности , которая, по словам Леонарда Сасскинда, является техническим термином для утверждения о том, что квантовая информация во Вселенной сохраняется. ^{[33] :  94} Пять теорем открывают возможности в обработке квантовой информации.

Квантовая обработка информации

Состояние кубита содержит всю его информацию. Это состояние часто выражается как вектор на сфере Блоха. Это состояние можно изменить, применив к ним линейные преобразования или квантовые вентили . Эти унитарные преобразования описываются как вращения на сфере Блоха. В то время как классические вентили соответствуют знакомым операциям булевой логики , квантовые вентили являются физическими унитарными операторами .

• Из-за нестабильности квантовых систем и невозможности копирования состояний хранение квантовой информации намного сложнее, чем хранение классической информации. Тем не менее, при использовании квантовой коррекции ошибок квантовая информация в принципе все еще может надежно храниться. Существование квантовых кодов коррекции ошибок также привело к возможности отказоустойчивых квантовых вычислений .
• Классические биты могут быть закодированы в конфигурации кубитов и впоследствии извлечены из них с помощью квантовых вентилей. Сам по себе один кубит может передать не более одного бита доступной классической информации о его подготовке. Это теорема Холево . Однако в сверхплотном кодировании отправитель, воздействуя на один из двух запутанных кубитов, может передать получателю два бита доступной информации об их совместном состоянии.
• Квантовая информация может передаваться по квантовому каналу , аналогично концепции классического канала связи . Квантовые сообщения имеют конечный размер, измеряемый в кубитах; квантовые каналы имеют конечную пропускную способность канала , измеряемую в кубитах в секунду.
• Квантовую информацию и изменения в квантовой информации можно количественно измерить, используя аналог энтропии Шеннона , называемый энтропией фон Неймана.
• В некоторых случаях квантовые алгоритмы могут использоваться для выполнения вычислений быстрее, чем в любом известном классическом алгоритме. Самым известным примером этого является алгоритм Шора , который может факторизовать числа за полиномиальное время по сравнению с лучшими классическими алгоритмами, которые требуют субэкспоненциального времени. Поскольку факторизация является важной частью безопасности шифрования RSA , алгоритм Шора положил начало новой области постквантовой криптографии , которая пытается найти схемы шифрования, которые остаются безопасными даже при использовании квантовых компьютеров. Другие примеры алгоритмов, демонстрирующих квантовое превосходство , включают алгоритм поиска Гровера , где квантовый алгоритм дает квадратичное ускорение по сравнению с наилучшим возможным классическим алгоритмом. Класс сложности задач, эффективно решаемых квантовым компьютером, известен как BQP .
• Квантовое распределение ключей (QKD) позволяет безусловно безопасную передачу классической информации, в отличие от классического шифрования, которое всегда может быть взломано в принципе, если не на практике. Обратите внимание, что некоторые тонкие моменты, касающиеся безопасности QKD, являются предметом споров.

Изучение вышеуказанных тем и различий составляет квантовую теорию информации.

Связь с квантовой механикой

Квантовая механика — это изучение того, как микроскопические физические системы динамически изменяются в природе. В области квантовой теории информации изучаемые квантовые системы абстрагируются от любого реального аналога. Например, кубит может быть физически фотоном в линейном оптическом квантовом компьютере , ионом в захваченном ионном квантовом компьютере или это может быть большая коллекция атомов, как в сверхпроводящем квантовом компьютере . Независимо от физической реализации, ограничения и особенности кубитов, подразумеваемые квантовой теорией информации, сохраняются, поскольку все эти системы математически описываются одним и тем же аппаратом матриц плотности над комплексными числами . Другое важное отличие от квантовой механики заключается в том, что в то время как квантовая механика часто изучает бесконечномерные системы, такие как гармонический осциллятор , квантовая теория информации занимается как системами с непрерывными переменными ^[34] , так и системами с конечными размерами. ^{[8] [35] [36]}

Энтропия и информация

Энтропия измеряет неопределенность состояния физической системы. ^[2] Энтропию можно изучать с точки зрения как классической, так и квантовой теории информации.

Классическая теория информации

Классическая информация основана на концепциях информации, изложенных Клодом Шенноном . Классическая информация, в принципе, может храниться в бите двоичных строк. Любая система, имеющая два состояния, является способным битом. ^[37]

энтропия Шеннона

Энтропия Шеннона — это квантификация информации, полученной путем измерения значения случайной величины. Другой способ думать об этом — рассмотреть неопределенность системы до измерения. В результате энтропия, как ее изобразил Шеннон, может рассматриваться либо как мера неопределенности до проведения измерения, либо как мера информации, полученной после проведения указанного измерения. ^[2]

Энтропия Шеннона, записанная как функционал дискретного распределения вероятностей, связанного с событиями , может рассматриваться как средняя информация, связанная с этим набором событий, в единицах бит: ${\displaystyle P(x_{1}),P(x_{2}),...,P(x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$

$${\displaystyle H(X)=H[P(x_{1}),P(x_{2}),...,P(x_{n})]=-\sum _{i=1}^{n}P(x_{i})\log _{2}P(x_{i})}$$

Это определение энтропии может быть использовано для количественной оценки физических ресурсов, необходимых для хранения выходных данных источника информации. Способы интерпретации энтропии Шеннона, обсуждавшиеся выше, обычно имеют смысл только тогда, когда число образцов эксперимента велико. ^[35]

энтропия Реньи

Энтропия Реньи является обобщением энтропии Шеннона, определенной выше. Энтропия Реньи порядка r, записанная как функция дискретного распределения вероятностей, , связанного с событиями , определяется как: ^[37] ${\displaystyle P(a_{1}),P(a_{2}),...,P(a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$

$${\displaystyle H_{r}(A)={1 \over 1-r}\log _{2}\sum _{i=1}^{n}P^{r}(a_{i})}$$

для и . ${\displaystyle 0<r<\infty }$ ${\displaystyle r\neq 1}$

Мы приходим к определению энтропии Шеннона из Реньи, когда , энтропии Хартли (или максимальной энтропии) когда , и минимальной энтропии когда . ${\displaystyle r\rightarrow 1}$ ${\displaystyle r\rightarrow 0}$ ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

Квантовая теория информации

Квантовая теория информации в значительной степени является расширением классической теории информации на квантовые системы. Классическая информация производится при измерениях квантовых систем. ^[37]

Энтропия фон Неймана

Одной из интерпретаций энтропии Шеннона была неопределенность, связанная с распределением вероятностей. Когда мы хотим описать информацию или неопределенность квантового состояния, распределения вероятностей просто заменяются операторами плотности : ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle S(\rho )\equiv -\mathrm {tr} (\rho \ \log _{2}\ \rho )=-\sum _{i}\lambda _{i}\ \log _{2}\ \lambda _{i},}$$

где — собственные значения . ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \rho }$

Энтропия фон Неймана играет роль в квантовой информации, аналогичную роли энтропии Шеннона в классической информации.

Приложения

Квантовая коммуникация

Квантовая коммуникация является одним из приложений квантовой физики и квантовой информации. Существуют некоторые известные теоремы, такие как теорема о запрете клонирования, которые иллюстрируют некоторые важные свойства квантовой коммуникации. Плотное кодирование и квантовая телепортация также являются приложениями квантовой коммуникации. Это два противоположных способа общения с использованием кубитов. В то время как телепортация передает один кубит от Алисы и Боба путем передачи двух классических битов в предположении, что у Алисы и Боба есть предварительно общее состояние Белла , плотное кодирование передает два классических бита от Алисы к Бобу с использованием одного кубита, снова в том же предположении, что у Алисы и Боба есть предварительно общее состояние Белла.

Квантовое распределение ключей

Одним из наиболее известных приложений квантовой криптографии является квантовое распределение ключей , которое обеспечивает теоретическое решение проблемы безопасности классического ключа. Преимущество квантового распределения ключей заключается в том, что невозможно скопировать квантовый ключ из-за теоремы о запрете клонирования . Если кто-то попытается прочитать закодированные данные, передаваемое квантовое состояние изменится. Это может быть использовано для обнаружения подслушивания.

ВВ84

Первая схема распределения квантовых ключей, BB84 , была разработана Чарльзом Беннетом и Жилем Брассаром в 1984 году. Обычно ее описывают как метод безопасной передачи закрытого ключа от третьего лица другому для использования в шифровании одноразовым блокнотом. ^[2]

Е91

E91 был создан Артуром Экертом в 1991 году. Его схема использует запутанные пары фотонов. Эти два фотона могут быть созданы Алисой, Бобом или третьей стороной, включая подслушивающую Еву. Один из фотонов распределяется между Алисой и Бобом, так что каждый из них в итоге получает один фотон из пары.

Эта схема основана на двух свойствах квантовой запутанности:

1. Запутанные состояния идеально коррелируют, что означает, что если Алиса и Боб оба измеряют свои частицы, имеющие либо вертикальную, либо горизонтальную поляризацию, они всегда получают один и тот же ответ с вероятностью 100%. То же самое верно, если они оба измеряют любую другую пару дополнительных (ортогональных) поляризаций. Это требует, чтобы две удаленные стороны имели точную синхронизацию направленности. Однако из теории квантовой механики квантовое состояние полностью случайно, так что Алиса не может предсказать, получит ли она результаты вертикальной поляризации или горизонтальной поляризации.
2. Любая попытка подслушивания со стороны Евы разрушает эту квантовую запутанность, и Алиса и Боб могут ее обнаружить.

В92

B92 — более простая версия BB84. ^[38]

Основное отличие B92 от BB84:

• B92 нужно только два состояния
• BB84 необходимо 4 состояния поляризации

Как и BB84, Алиса передает Бобу строку фотонов, закодированных случайно выбранными битами, но на этот раз Алиса выбирает биты, а основания она должна использовать. Боб по-прежнему случайным образом выбирает основание, по которому будет производиться измерение, но если он выберет неправильное основание, он ничего не измерит, что гарантируется теориями квантовой механики. Боб может просто сказать Алисе после каждого отправленного ею бита, правильно ли он его измерил. ^[39]

Квантовые вычисления

Наиболее широко используемая модель в квантовых вычислениях — это квантовая схема , которая основана на квантовом бите « кубит ». Кубит в некоторой степени аналогичен биту в классических вычислениях. Кубиты могут находиться в квантовом состоянии 1 или 0 , или они могут находиться в суперпозиции состояний 1 и 0. Однако при измерении кубитов результатом измерения всегда является либо 0, либо 1; вероятности этих двух результатов зависят от квантового состояния , в котором кубиты находились непосредственно перед измерением.

Любой алгоритм квантовых вычислений можно представить в виде сети квантовых логических вентилей .

Квантовая декогеренция

Если бы квантовая система была идеально изолирована, она бы идеально сохраняла когерентность, но было бы невозможно проверить всю систему. Если она не идеально изолирована, например, во время измерения, когерентность передается окружающей среде и, по-видимому, теряется со временем; этот процесс называется квантовой декогеренцией. В результате этого процесса квантовое поведение, по-видимому, теряется, так же как энергия, по-видимому, теряется из-за трения в классической механике.

Квантовая коррекция ошибок

QEC используется в квантовых вычислениях для защиты квантовой информации от ошибок, вызванных декогеренцией и другим квантовым шумом . Квантовая коррекция ошибок необходима, если нужно достичь отказоустойчивых квантовых вычислений, которые могут иметь дело не только с шумом в хранимой квантовой информации, но и с неисправными квантовыми вентилями, неисправной квантовой подготовкой и неисправными измерениями.

Питер Шор первым открыл этот метод формулирования квантового кода исправления ошибок путем сохранения информации одного кубита в сильно запутанном состоянии вспомогательных кубитов . Квантовый код исправления ошибок защищает квантовую информацию от ошибок.

Журналы

Многие журналы публикуют исследования в области квантовой информатики , хотя только некоторые посвящены этой области. Среди них:

• Международный журнал квантовой информации
• npj Квантовая информация
• Квантовый
• Квантовая информация и вычисления
• Квантовая обработка информации
• Квантовая наука и технологии

Смотрите также

• Категориальная квантовая механика
• Мысленные эксперименты Эйнштейна
• Интерпретации квантовой механики
• Положительная операторная оценка (POVM)
• Квантовые часы
• Квантовая запутанность
• Квантовые основы
• Квантовая информатика
• Квантовая статистическая механика
• Кубит
• Кутрит
• Типичное подпространство

Ссылки

1. Ведрал, Влатко (2006). Введение в квантовую информатику . Оксфорд: Oxford University Press. doi :10.1093/acprof:oso/9780199215706.001.0001. ISBN 9780199215706. OCLC  822959053.
2. Нильсен, Майкл А.; Чуан, Айзек Л. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация (10-е юбилейное издание). Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511976667. ISBN 9780511976667. OCLC  665137861. S2CID  59717455.
3. Хаяси, Масахито (2006). Квантовая информация: Введение . Берлин: Springer. doi :10.1007/3-540-30266-2. ISBN 978-3-540-30266-7. OCLC  68629072.
4. Бокулич, Алиса; Йегер, Грегг (2010). Философия квантовой информации и запутанности. Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511676550. ISBN 9780511676550.
5. Бенатти, Фабио; Фаннес, Марк; Флореанини, Роберто; Петритис, Димитрий (2010). Квантовая информация, вычисления и криптография: вводный обзор теории, технологии и экспериментов. Конспект лекций по физике. Том 808. Берлин: Springer. doi :10.1007/978-3-642-11914-9. ISBN 978-3-642-11914-9.
6. Бенатти, Фабио (2009). «Квантовая теория информации». Квантовые энтропии . Теоретическая и математическая физика. Дордрехт: Springer. стр. 255–315. doi :10.1007/978-1-4020-9306-7_6. ISBN 978-1-4020-9306-7.
7. Хаяси, Масахито; Ишизака, Сатоши; Кавачи, Акинори; Кимура, генерал; Огава, Томохиро (2015). Введение в квантовую информатику . Берлин: Шпрингер. Бибкод : 2015iqis.book.....H. дои : 10.1007/978-3-662-43502-1. ISBN 978-3-662-43502-1.
8. Хаяси, Масахито (2017). Квантовая теория информации: математическое обоснование . Graduate Texts in Physics. Berlin: Springer. doi :10.1007/978-3-662-49725-8. ISBN 978-3-662-49725-8.
9. Георгиев, Данко Д. (2017-12-06). Квантовая информация и сознание: нежное введение. Бока-Ратон: CRC Press. doi :10.1201/9780203732519. ISBN 9781138104488. OCLC  1003273264. Збл  1390.81001.
10. Георгиев, Данко Д. (2020). «Квантовый информационный теоретический подход к проблеме разума и мозга». Progress in Biophysics and Molecular Biology . 158 : 16–32. arXiv : 2012.07836 . doi :10.1016/j.pbiomolbio.2020.08.002. PMID  32822698. S2CID  221237249.
11. Gilton, Marian JR (2016). «Откуда связь собственное состояние–собственное значение?». Исследования по истории и философии науки, часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 55 : 92–100. Bibcode : 2016SHPMP..55...92G. doi : 10.1016/j.shpsb.2016.08.005.
12. Прескилл, Джон. Квантовые вычисления (Физика 219/Компьютерные науки 219). Пасадена, Калифорния: Калифорнийский технологический институт.
13. Фейнман, Ричард Филлипс ; Лейтон, Роберт Бенджамин ; Сэндс, Мэтью Линзи (2013). «Квантовое поведение». Лекции Фейнмана по физике. Том III. Квантовая механика. Пасадена, Калифорния: Калифорнийский технологический институт.
14. Lo, Hoi-Kwong; Popescu, Sandu; Spiller, Tim (1998). Введение в квантовые вычисления и информацию. Сингапур: World Scientific. Bibcode : 1998iqci.book.....S. doi : 10.1142/3724. ISBN 978-981-4496-35-3. OCLC  52859247.
15. Беннетт, Чарльз Х.; Шор , Питер Уиллистон (1998). «Квантовая теория информации». Труды IEEE по теории информации . 44 (6): 2724–2742. CiteSeerX 10.1.1.89.1572 . doi :10.1109/18.720553. 
16. Гарлингхаус, Том (2020). «Квантовые вычисления: открытие новых сфер возможностей». Discovery: Research at Princeton : 12–17.
17. Махан, Джеральд Д. (2009). Квантовая механика в двух словах . Принстон: Princeton University Press. doi :10.2307/j.ctt7s8nw. ISBN 978-1-4008-3338-2. JSTOR  j.ctt7s8nw.
18. Perlman, HS (1964). «Эквивалентность картин Шредингера и Гейзенберга». Nature . 204 (4960): 771–772. Bibcode :1964Natur.204..771P. doi :10.1038/204771b0. S2CID  4194913.
19. Нейман, Джон фон (2018-02-27). Математические основы квантовой механики: Новое издание. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-17856-1.
20. Gordon, JP (1962). «Квантовые эффекты в системах связи». Труды IRE . 50 (9): 1898–1908. doi :10.1109/jrproc.1962.288169. S2CID  51631629.
21. Helstrom, Carl W. (1969). «Квантовая теория обнаружения и оценки». Журнал статистической физики . 1 (2): 231–252. Bibcode :1969JSP.....1..231H. doi :10.1007/bf01007479. hdl : 2060/19690016211 . S2CID  121571330.
22. Хелстром, Карл В. (1976). Квантовая теория обнаружения и оценки . Математика в науке и технике. Т. 123. Нью-Йорк: Academic Press. doi : 10.1016/s0076-5392(08)x6017-5. hdl : 2060/19690016211. ISBN 9780080956329. OCLC  2020051.
23. Холево, Александр С. (1973). «Границы для количества информации, передаваемой квантовым каналом связи». Проблемы передачи информации . 9 (3): 177–183. MR  0456936. Zbl  0317.94003.
24. Холево, Александр С. (1979). «О пропускной способности квантового канала связи». Проблемы передачи информации . 15 (4): 247–253. MR  0581651. Zbl  0433.94008.
25. Беннетт, Чарльз Х.; Брассар , Жиль (2014). «Квантовая криптография: распределение открытого ключа и подбрасывание монеты». Теоретическая информатика . 560 (1): 7–11. arXiv : 2003.06557 . doi : 10.1016/j.tcs.2014.05.025. S2CID  27022972.
26. Вайсштейн, Эрик В. «Тезис Чёрча–Тьюринга». mathworld.wolfram.com . Получено 13 ноября 2020 г. .
27. Дойч, Дэвид (1985). «Квантовая теория, принцип Чёрча–Тьюринга и универсальный квантовый компьютер». Труды Лондонского королевского общества A: Математические и физические науки . 400 (1818): 97–117. Bibcode : 1985RSPSA.400...97D. doi : 10.1098/rspa.1985.0070. S2CID  1438116.
28. Мур, Гордон Эрл (1998). «Впихивание большего количества компонентов в интегральные схемы». Труды IEEE . 86 (1): 82–85. doi :10.1109/jproc.1998.658762. S2CID  6519532.
29. Шеннон, Клод Э. (1948). «Математическая теория связи». The Bell System Technical Journal . 27 (3): 379–423. doi :10.1002/j.1538-7305.1948.tb01338.x.
30. Шеннон, Клод Э. (1948). «Математическая теория связи». The Bell System Technical Journal . 27 (4): 623–656. doi :10.1002/j.1538-7305.1948.tb00917.x.
31. Шеннон, Клод Э.; Уивер, Уоррен (1964). Математическая теория связи. Урбана: Издательство Иллинойсского университета. hdl :11858/00-001M-0000-002C-4314-2.
32. "Александр С. Холево". Ми.рас.ру. ​Проверено 4 декабря 2018 г.
33. Сасскинд, Леонард ; Фридман, Арт (2014). Квантовая механика: теоретический минимум. Что вам нужно знать, чтобы начать заниматься физикой. Нью-Йорк: Basic Books. ISBN 978-0-465-08061-8. OCLC  1038428525.
34. Видбрук, Кристиан; Пирандола, Стефано; Гарсия-Патрон, Рауль; Серф, Николас Дж .; Ральф, Тимоти К .; Шапиро, Джеффри Х .; Ллойд, Сет (2012). «Гауссова квантовая информация». Reviews of Modern Physics . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Bibcode : 2012RvMP...84..621W. doi : 10.1103/RevModPhys.84.621. S2CID  119250535.
35. Watrous, John (2018). Теория квантовой информации. Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/9781316848142. ISBN 9781316848142. OCLC  1034577167.
36. Уайлд, Марк М. (2017). Квантовая теория информации (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1106.1445 . doi :10.1017/9781316809976. ISBN 9781316809976.
37. Jaeger, Gregg (2007). Квантовая информация: обзор. Нью-Йорк: Springer. doi :10.1007/978-0-387-36944-0. ISBN 978-0-387-36944-0. OCLC  255569451.
38. Беннетт, Чарльз Х. (1992). «Квантовая криптография с использованием любых двух неортогональных состояний». Physical Review Letters . 68 (21): 3121–3124. Bibcode :1992PhRvL..68.3121B. doi :10.1103/PhysRevLett.68.3121. PMID  10045619. S2CID  19708593.
39. Хайтджема, Март (2007). Обзор известных протоколов квантового распределения ключей. Вашингтонский университет в Сент-Луисе. S2CID  18346434.