Геопотенциальная сферическая гармоническая модель

Теоретическое описание гравиметрической формы Земли

В геофизике и физической геодезии геопотенциальная модель представляет собой теоретический анализ измерения и расчета эффектов гравитационного поля Земли ( геопотенциала ). Земля не совсем сферическая, в основном из-за ее вращения вокруг полярной оси, что делает ее форму слегка сплющенной. Однако сферическое гармоническое расширение ряда описывает фактическое поле с возрастающей точностью.

Если бы форма Земли была бы точно известна вместе с точной плотностью массы ρ = ρ( x , y , z ), ее можно было бы численно проинтегрировать (в сочетании с ядром обратного расстояния ), чтобы найти точную модель гравитационного поля Земли. Однако на самом деле ситуация противоположна: наблюдая за орбитами космических аппаратов и Луны, гравитационное поле Земли можно определить довольно точно. Лучшая оценка массы Земли получается путем деления произведения GM , определенного из анализа орбиты космического аппарата, на значение гравитационной постоянной G , определенное с более низкой относительной точностью с использованием других физических методов.

Фон

Из определяющих уравнений ( 1 ) и ( 2 ) ясно (взяв частные производные от подынтегрального выражения), что вне тела в пустом пространстве для поля, создаваемого телом, справедливы следующие дифференциальные уравнения:

Функции вида где ( r , θ, φ) — сферические координаты , удовлетворяющие частному дифференциальному уравнению ( 6 ) ( уравнению Лапласа ), называются сферическими гармоническими функциями . ${\displaystyle \phi =R(r)\,\Theta (\theta )\,\Phi (\varphi )}$

Они принимают формы:

где используются сферические координаты ( r , θ, φ), приведенные здесь в декартовых координатах ( x, y, z ) для справки:

также P ⁰ _n являются полиномами Лежандра , а P ^m _n для 1 ≤ m ≤ n являются связанными с ними функциями Лежандра .

Первые сферические гармоники с n = 0, 1, 2, 3 представлены в таблице ниже. [Обратите внимание, что соглашение о знаках отличается от соглашения на странице о связанных полиномах Лежандра, здесь , а там .] ${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=3x{\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=-3x{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Формулировка

Модель гравитационного потенциала Земли представляет собой сумму

где и координаты ( 8 ) относятся к стандартной геодезической системе отсчета, продолженной в пространстве с началом в центре референц -эллипсоида и осью z в ​​направлении полярной оси. ${\displaystyle \mu =GM}$

Зональные термины относятся к терминам вида:

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}}\quad n=0,1,2,\dots }$

а тессеральные термины термины относятся к терминам вида:

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\cos m\varphi }{r^{n+1}}}\,,\quad 1\leq m\leq n\quad n=1,2,\dots }$

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi }{r^{n+1}}}}$

Зональные и тессеральные члены для n  = 1 опущены в ( 9 ). Коэффициенты для n = 1 с членами как m = 0, так и m = 1 соответствуют произвольно ориентированному дипольному члену в многополюсном разложении. Гравитация физически не проявляет никакого дипольного характера, и поэтому интеграл, характеризующий n  = 1, должен быть равен нулю.

Затем различным коэффициентам J _n , C _n ^m , S _n ^m присваиваются значения, при которых достигается наилучшее возможное согласие между вычисленными и наблюдаемыми орбитами космических аппаратов.

Так как P ⁰ _n ( x ) = − P ⁰ _n (− x ) ненулевые коэффициенты J _n для нечетных n соответствуют отсутствию симметрии "север–юг" относительно экваториальной плоскости для распределения масс Земли. Ненулевые коэффициенты C _n ^m , S _n ^m соответствуют отсутствию вращательной симметрии вокруг полярной оси для распределения масс Земли, т.е. "трехосности" Земли.

Для больших значений n коэффициенты выше (которые делятся на r ^{( n + 1)} в ( 9 )) принимают очень большие значения, когда, например, километры и секунды используются в качестве единиц. В литературе принято вводить некоторый произвольный «опорный радиус» R, близкий к радиусу Земли, и работать с безразмерными коэффициентами

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {J_{n}}}&=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {C_{n}^{m}}}&=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {S_{n}^{m}}}&=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}\end{aligned}}}$

и записать потенциал как

Вывод

Наибольшие термины

Доминирующим членом (после члена −μ/ r ) в ( 9 ) является коэффициент J ₂ , второй динамический форм-фактор, представляющий сплюснутость Земли:

${\displaystyle u={\frac {J_{2}\ P_{2}^{0}(\sin \theta )}{r^{3}}}=J_{2}{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {1}{2}}(3\sin ^{2}\theta -1)=J_{2}{\frac {1}{r^{5}}}{\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})}$

Относительно системы координат

Рисунок 1: Единичные векторы. Это неправильно. Должна быть тета, а не лямбда ${\displaystyle {\hat {\varphi }}\ ,\ {\hat {\theta }}\ ,\ {\hat {r}}}$

На рисунке 1 показаны компоненты силы, вызванной " членом J ₂ ",

В прямоугольной системе координат ( x, y, z ) с единичными векторами ( x̂ ŷ ẑ ) компоненты силы равны:

Компоненты силы, соответствующие "члену J ₃ "

${\displaystyle u={\frac {J_{3}P_{3}^{0}(\sin \theta )}{r^{4}}}=J_{3}{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(5\sin ^{2}\theta -3\right)=J_{3}{\frac {1}{r^{7}}}{\frac {1}{2}}z\left(5z^{2}-3r^{2}\right)}$

являются

и

Точные числовые значения коэффициентов различаются (несколько) между различными моделями Земли, но для самых низких коэффициентов они все почти точно совпадают.

Для модели JGM-3 (см. ниже) значения следующие:

μ = 398600,440 км ³ ⋅с ⁻²

Дж ₂ = 1,75553 × 10 ¹⁰ км ⁵ ⋅с ⁻²

Дж ₃ = −2,61913 × 10 ¹¹ км ⁶ ⋅с ⁻²

Например, на радиусе 6600 км (около 200 км над поверхностью Земли) J ₃ /( J ₂ r ) составляет около 0,002; т.е. поправка к " силе J ₂ " из " члена J ₃ " составляет порядка 2 промилле. Отрицательное значение J ₃ означает, что для точечной массы в экваториальной плоскости Земли гравитационная сила слегка наклонена к югу из-за отсутствия симметрии для распределения масс Земли "север-юг".

Рекурсивные алгоритмы, используемые для численного распространения орбит космических аппаратов

Орбиты космических аппаратов вычисляются путем численного интегрирования уравнения движения . Для этого необходимо вычислить гравитационную силу, т.е. градиент потенциала. Разработаны эффективные рекурсивные алгоритмы для вычисления гравитационной силы для любых и (максимальная степень зональных и тессеральных членов), и такие алгоритмы используются в стандартном программном обеспечении для распространения орбит. ${\displaystyle N_{z}}$ ${\displaystyle N_{t}}$

Доступные модели

Самые ранние модели Земли, которые использовались NASA и ESRO / ESA, были «модели Земли Годдарда», разработанные Центром космических полетов Годдарда (GSFC) и обозначавшиеся как «GEM-1», «GEM-2», «GEM-3» и т. д. Позже стали доступны «объединенные модели гравитации Земли», обозначавшиеся как «JGM-1», «JGM-2», «JGM-3», разработанные GSFC в сотрудничестве с университетами и частными компаниями. Более новые модели, как правило, предоставляли члены более высокого порядка, чем их предшественники. EGM96 использует N _z = N _t = 360, что приводит к 130317 коэффициентам. Также доступна модель EGM2008.

Для обычного спутника Земли, требующего точности определения/прогноза орбиты в несколько метров, обычно достаточно усеченного до N _z = N _t = 36 (1365 коэффициентов) "JGM-3". Неточности, вызванные моделированием сопротивления воздуха и, в меньшей степени, давлением солнечного излучения, превысят неточности, вызванные ошибками моделирования гравитации.

Безразмерные коэффициенты , , для первых зональных и тессеральных членов (используя = ${\displaystyle {\tilde {J_{n}}}=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {C_{n}^{m}}}=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {S_{n}^{m}}}=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$ ${\displaystyle R}$6 378 .1363 км и = ${\displaystyle \mu }$398 600 .4415 км ³ /с ² ) модели JGM-3 являются

Согласно JGM-3, следовательно, J ₂ =0,108 263 5854 × 10 ⁻² × 6378,1363 ² ×398 600 .4415 км ⁵ /с ² =1,755 53 × 10 ¹⁰  км ⁵ /с ² и J ₃ =−0,253 243 5346 × 10 ⁻⁵ × 6378,1363 ³ ×398 600 .4415 км ⁶ /с ² =−2,619 13 × 10 ¹¹  км ⁶ /с ² .

Смотрите также

• Геоид#Сферическое представление гармоник

Ссылки

Дальнейшее чтение

• Эль-Ясберг Теория полета искусственных спутников Земли , Израильская программа научных переводов (1967)
• Лерч, Ф.Дж., Вагнер, К.А., Смит, Д.Э., Сэндсон, М.Л., Браунд, Дж.Э., Ричардсон, Дж.А., «Модели гравитационного поля Земли (GEM1&2)», Отчет X55372146, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт/Мэриленд, 1972 г.
• Лерч, Ф.Дж., Вагнер, К.А., Патни, М.Л., Сэндсон, М.Л., Браунд, Дж.Э., Ричардсон, Дж.А., Тейлор, У.А., «Модели гравитационного поля GEM3 и 4», Отчет X59272476, Центр космических полетов имени Годдарда, Гринбелт/Мэриленд, 1972 г.
• Лерч, Ф. Дж., Вагнер, К. А., Ричардсон, Дж. А., Браунд, Дж. Э., «Модели Земли Годдарда (5 и 6)», Отчет X92174145, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт/Мэриленд, 1974 г.
• Лерч, Ф.Дж., Вагнер, К.А., Клоско, С.М., Белотт, Р.П., Лаубшер, Р.Э., Рейлор, У.А., «Улучшение модели гравитации с использованием альтиметрии Geos3 (GEM10A и 10B)», Весеннее ежегодное собрание Американского геофизического союза 1978 г., Майами, 1978 г.
• Лерх, Ф.Дж.; Клоско, СМ; Лаубшер, Р.Э.; Вагнер, КА (1979). «Улучшение модели гравитации с использованием Geos3 (GEM9 и 10)». Журнал геофизических исследований . 84 (B8): 3897–3916. doi :10.1029/JB084i/B08p03897.
• Lerch, FJ; Putney, BH; Wagner, CA; Klosko, SM (1981). "Модели Земли Годдарда для океанографических приложений (GEM 10B и 10C)". Marine-Geodesy . 5 (2): 145–187. doi :10.1080/15210608109379416.
• Лерч, Ф.Дж., Клоско, С.М., Патель, ГБ, «Усовершенствованная модель гравитации от Лагеоса (GEML2)», Технический меморандум НАСА 84986, Центр космических полетов имени Годдарда, Гринбелт/Мэриленд, 1983 г.
• Lerch, FJ, Nerem, RS, Putney, BH, Felsentreger, TL, Sanchez, BV, Klosko, SM, Patel, GB, Williamson, RG, Chinn, DS, Chan, JC, Rachlin, KE, Chandler, NL, McCarthy, JJ, Marshall, JA, Luthcke, SB, Pavlis, DW, Robbins, JW, Kapoor, S., Pavlis, EC, " Геопотенциальные модели Земли по данным спутникового слежения, наблюдений с помощью альтиметра и поверхностной гравитации: GEMT3 и GEMT3S", Технический меморандум NASA 104555, Центр космических полетов имени Годдарда, Гринбелт/Мэриленд, 1992 г.
• Lerch, FJ; Nerem, RS; Putney, BH; Felsentreger, TL; Sanchez, BV; Marshall, JA; Klosko, SM; Patel, GB; Williamson, RG (1994). "Модель геопотенциала на основе данных спутникового слежения, альтиметра и поверхностной гравитации: GEMT3". Journal of Geophysical Research . 99 (B2): 2815–2839. doi :10.1029/93JB02759.
• Nerem, RS; Lerch, FJ; Marshall, JA; Pavlis, EC; Putney, BH (1994). «Разработки гравитационных моделей для Topex/Poseidon: совместные гравитационные модели 1 и 2». Journal of Geophysical Research . 99 (C12): 24421–24447. doi :10.1029/94JC01376.
• Tapley, BD; Watkins, MM; Ries, JC; Davis, GW; Eanes, RJ (1996). "Модель совместной гравитации 3". J. Geophys. Res . 101 (B12). doi :10.1029/96JB01645.

Внешние ссылки

• http://cddis.nasa.gov/lw13/docs/papers/sci_lemoine_1m.pdf Архивировано 19 июля 2011 г. на Wayback Machine
• http://geodesy.geology.ohio-state.edu/course/refpapers/Tapley_JGR_JGM3_96.pdf Архивировано 04.03.2016 на Wayback Machine