Лотерейная математика

Математика лотереи используется для расчета вероятностей выигрыша или проигрыша в лотерее . Он основан прежде всего на комбинаторике , в частности на двенадцатикратном способе и комбинациях без замены .

Probabilities of winning or losing a lottery game

Выбираем 6 из 49

В типичной игре 6/49 каждый игрок выбирает шесть различных чисел из диапазона 1–49. Если шесть номеров в билете совпадают с номерами, выпавшими в лотерее, владелец билета становится победителем джекпота — независимо от порядка чисел. Вероятность этого события составляет 1 из 13 983 816.

Шанс на выигрыш можно продемонстрировать следующим образом: вероятность совпадения первого выпавшего номера составляет 1 из 49. Когда же розыгрыш доходит до второго номера, в мешке остается теперь всего 48 шаров, потому что шары вытягиваются без замены . Таким образом, теперь вероятность предсказать это число составляет 1 из 48.

Таким образом, для каждого из 49 способов выбора первого числа существует 48 различных способов выбора второго. Это означает, что вероятность правильно предсказать 2 числа, выпавших из 49 в правильном порядке, рассчитывается как 1 из 49 × 48. При вытягивании третьего числа существует всего 47 способов выбора числа; но мы могли бы прийти к этой точке любым из 49 × 48 способов, поэтому шансы правильно предсказать 3 числа, взятые из 49, опять же в правильном порядке, равны 1 из 49 × 48 × 47. Это продолжается до тех пор, пока не будет выбрано шестое число. был нарисован, что дало окончательный расчет: 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44, что также можно записать как или 49 факториал , разделенный на 43 факториала, или FACT(49)/FACT(43) или просто PERM(49,6). ) . ${\displaystyle {49! \over (49-6)!}}$

608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000 / 60415263063373835637355132068513997507264512000000000 = 100 68347520

В результате получается 10 068 347 520, что намного больше, чем ~14 миллионов, указанных выше.

Перм(49,6)=10068347520 и 49 нПр 6 =10068347520.

Однако порядок шести чисел не имеет значения для выплаты. То есть, если в билете есть номера 1, 2, 3, 4, 5 и 6, он выигрывает, если выпали все числа от 1 до 6, независимо от того, в каком порядке они выпадут. Соответственно, при любой комбинации из 6 чисел есть 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 ! или 720 ордеров, в которых их можно разыграть. Разделив 10 068 347 520 на 720, получим 13 983 816, также записываемую как , или COMBIN(49,6) или 49 nCr 6 или, в более общем виде, как ${\displaystyle {49! \over 6!*(49-6)!}}$

${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$, где n — количество альтернатив, а k — количество вариантов. Дополнительную информацию можно найти в биномиальном коэффициенте и полиномиальном коэффициенте .

Эта функция называется комбинационной функцией COMBIN(n,k) . В оставшейся части статьи мы будем использовать обозначение . «Комбинация» означает выбранную группу чисел, независимо от порядка, в котором они нарисованы. Комбинация цифр обычно представлена ​​в порядке возрастания. В конце представлен возможный седьмой выпавший номер, резервный или бонусный. ${\displaystyle {n \choose k}}$

Альтернативный метод расчета шансов заключается в том, что вероятность того, что первый шар, соответствующий одному из шести выбранных, равна 6/49; вероятность того, что второй шар будет соответствовать одному из оставшихся пяти выбранных, равна 5/48; и так далее. Это дает окончательную формулу

${\displaystyle {n \choose k}={49 \choose 6}={49 \over 6}*{48 \over 5}*{47 \over 4}*{46 \over 3}*{45 \over 2}*{44 \over 1}}$

7-й шар часто вытягивается как резервный шар, в прошлом это был только второй шанс угадать 5+1 правильные числа при 6 сыгранных числах.

Шансы получить другие возможности при выборе 6 из 49

Необходимо разделить количество комбинаций, дающих данный результат, на общее количество возможных комбинаций (например, ). Числитель равен количеству способов выбора выигрышных номеров, умноженному на количество способов выбора проигрышных номеров. ${\displaystyle {49 \choose 6}=13,983,816}$

Для счета n (например, если 3 варианта соответствуют трем из 6 выпавших шаров, тогда n = 3) описывает шансы выбора n выигрышных номеров из 6 выигрышных номеров. Это означает, что существует 6 - n проигрышных номеров, которые выбираются из 43 проигрышных чисел способами . Общее количество комбинаций, дающих такой результат, как указано выше, равно первому числу, умноженному на второе. Следовательно, это выражение . ${\displaystyle {6 \choose n}}$ ${\displaystyle {43 \choose 6-n}}$ ${\displaystyle {6 \choose n}{43 \choose 6-n} \over {49 \choose 6}}$

В общей форме для всех лотерей это можно записать так:

$${\displaystyle {K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

где – количество шаров в лотерее, – количество шаров в одном билете, – количество совпадающих шаров в выигрышном билете. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$

Обобщение этой формулы называется гипергеометрическим распределением .

Это дает следующие результаты:

Когда в качестве бонусного числа выпадает 7-е число, у нас есть 49!/6!/1!/42!.=combin(49,6)*combin(49-6,1)=601304088 различных возможных результатов розыгрыша.

Вы ожидаете, что наберете 3 из 6 или выше один раз примерно за 36,19 розыгрышей. Обратите внимание: чтобы получить хотя бы один результат 3/6, необходимо колесо 3 или 6 из 163 комбинаций.

1/p меняется, когда вместе разыгрываются несколько различных комбинаций. В основном речь идет о выигрыше чего-либо, а не только о джекпоте.

Гарантия выигрыша джекпота

Есть только один известный способ гарантированно выиграть джекпот. То есть купить хотя бы один лотерейный билет на каждую возможную комбинацию чисел. Например, нужно купить 13 983 816 различных билетов, чтобы выиграть джекпот в игре 6/49.

Лотерейные организации имеют законы, правила и меры защиты, предотвращающие проведение игроками такой операции. Кроме того, простой выигрыш джекпота путем покупки всех возможных комбинаций не гарантирует безубыточности или получения прибыли.

If – вероятность победы; стоимость билета; стоимость приобретения билета (например, включая логистику); единовременные затраты на операцию (например, на организацию и проведение операции); тогда джекпот должен содержать как минимум ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c_{t}}$ ${\displaystyle c_{l}}$ ${\displaystyle c_{f}}$ ${\displaystyle m_{j}}$

${\displaystyle m_{j}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}}$

чтобы иметь шанс хотя бы выйти на уровень безубыточности.

Вышеупомянутая теоретическая точка «шанса на безубыточность» немного компенсируется суммой мелких выигрышей, также включенных во все лотерейные билеты: ${\displaystyle \sum _{i}{}m_{i}}$

${\displaystyle m_{j}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}m_{i}}$

Тем не менее, даже если вышеуказанное соотношение удовлетворяется, оно не гарантирует безубыточности. Выплата зависит от количества выигрышных билетов на все призы , в результате чего получается соотношение ${\displaystyle n_{x}}$

${\displaystyle {\frac {m_{j}}{n_{j}}}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}{\frac {m_{i}}{n_{i}}}}$

Вероятно, в единственных известных успешных операциях ^[1] по неизвестным причинам порог выполнения операции был установлен в три раза дороже стоимости одних только билетов.

${\displaystyle m_{j}\geq 3\times {\frac {c_{t}}{p}}}$

Т.е.

${\displaystyle {\frac {n_{j}p}{c_{t}}}\left(c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}{\frac {m_{i}}{n_{i}}}\right)\ll 3}$

Однако это не устраняет всех рисков отсутствия прибыли. Успех операции по-прежнему зависел от доли удачи. Кроме того, в одной операции подвела логистика и не все комбинации удалось получить. Это добавляло риск вообще не выиграть джекпот.

Powerballs и бонусные шары

Во многих лотереях есть Powerball (или «бонусный шар»). Если Powerball выпадает из пула чисел, отличного от номера основной лотереи, шансы умножаются на количество Powerball. Например, в лотерее «6 из 49» при наличии 10 чисел Powerball шансы получить 3 балла и Powerball будут равны 1 из 56,66 × 10, или 566,6 (вероятность следует разделить на 10, чтобы получить точное значение). значение ). Другой пример такой игры — Mega Millions , хотя и с другими шансами на джекпот. ${\textstyle {\frac {8815}{4994220}}}$

Если из отдельного пула шаров в основную лотерею выпадает более 1 Powerball (например, в игре EuroMillions ), шансы на различные возможные совпадающие результаты Powerball рассчитываются с использованием метода, показанного в разделе « Другие результаты » выше. (другими словами, Powerballs сами по себе похожи на мини-лотерею), а затем умножаются на шансы достижения необходимого количества очков в основной лотерее.

Если Powerball выбирается из того же набора чисел, что и основная лотерея, то для заданного целевого счета количество выигрышных комбинаций включает Powerball. В играх, основанных на канадской лотерее (например, лотерее Соединенного Королевства ), после разыгрывания 6 основных шаров из того же пула шаров вытягивается дополнительный шар, который становится Powerball (или «бонусным шаром»). . Дополнительный приз дается за совпадение 5 шаров и бонусного шара. Как описано выше в разделе « Другие баллы », количество способов получить 5 баллов по одному билету равно . Поскольку количество оставшихся шаров равно 43, а в билете осталось 1 несовпадающее число, ${\textstyle {6 \choose 5}{43 \choose 1}=258}$1/43из этих 258 комбинаций будут соответствовать следующему вытянутому шару (пауэрболу), оставляя 258/43 = 6 способов его достижения. Таким образом, шансы получить 5 баллов и получить пауэрбол равны 0 . ${\textstyle {6 \over {49 \choose 6}}={1 \over 2,330,636}}$

Из 258 комбинаций, соответствующих 5 из 6 основных шаров, в 42/43 из них оставшееся число не будет совпадать с пауэрболом, что дает шансы на получение 5 очков без совпадения пауэрбола. ${\textstyle {{258\cdot {\frac {42}{43}}} \over {49 \choose 6}}={\frac {3}{166,474}}\approx 1.802\times 10^{-5}}$

Используя тот же принцип, шансы на получение 2 очков и Powerball рассчитываются для 2 очков, умноженных на вероятность того, что одно из оставшихся четырех чисел совпадет с бонусным шаром, что составляет 4/43 . Так как вероятность получения 2 очков и бонусного шара равна , приблизительный десятичный коэффициент равен 1 в 81,2. ${\textstyle {6 \choose 2}{43 \choose 4}=1,\!851,\!150}$ ${\textstyle 1,851,150\cdot {\frac {4}{43}}=172,\!200}$ ${\textstyle {\frac {172,200}{49 \choose 6}}={\frac {1025}{83237}}=1.231\%}$

Общая формула сопоставления шаров в лотерее выбора с одним бонусным шаром из пула шаров: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\frac {{\frac {K-B}{N-K}}{K \choose B}{N-K \choose K-B}}{N \choose K}}}$$

Общая формула подбора шаров в лотерее выбора с нулевым бонусным шаром из пула шаров: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {N-K-K+B \over N-K}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

Общая формула сопоставления шаров в лотерее выбора с одним бонусным шаром из отдельного пула шаров: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {1 \over P}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

Общая формула подбора шаров в лотерее выбора без бонусных шаров из отдельного пула шаров: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {P-1 \over P}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

Минимальное количество билетов на матч

Это сложная (и часто открытая) задача — вычислить минимальное количество билетов, которое необходимо приобрести, чтобы гарантировать, что хотя бы один из этих билетов соответствует хотя бы двум номерам. В лотерее «5 из 90» минимальное количество билетов, которое может гарантировать билет как минимум с двумя совпадениями, составляет 100. ^[2]

Теоретико-информационные результаты

В дискретном вероятностном пространстве вероятность любого конкретного результата лотереи является атомарной , то есть она больше нуля. Следовательно, вероятность любого события есть сумма вероятностей исходов этого события. Это позволяет легко вычислить интересующие величины из теории информации . Например, информативность любого мероприятия легко рассчитать по формуле

$${\displaystyle \operatorname {I} (E):=-\log {\left[\Pr {\left(E\right)}\right]}=-\log {\left(P\right)}.}$$

В частности, информативность результата дискретной случайной величины равна ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}(x):=-\log {\left[p_{X}{\left(x\right)}\right]}=\log {\left({\frac {1}{p_{X}{\left(x\right)}}}\right)}.}$$

Например, выигрыш в примере § Выбор 6 из 49 выше является случайной величиной с распределением Бернулли с ${\displaystyle X}$1/13 983 816шанс на победу («успех») Пишем с помощью и . Информативность выигрыша ${\textstyle X\sim \mathrm {Bernoulli} \!\left(p\right)=\mathrm {B} \!\left(1,p\right)}$ ${\textstyle p={\tfrac {1}{13,983,816}}}$ ${\textstyle q={\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}}$

$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}({\text{win}})=-\log _{2}{p_{X}{({\text{win}})}}=-\log _{2}\!{\tfrac {1}{13,983,816}}\approx 23.73725}$$

Шеннонкусочкиразделе «Единицы

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{X}({\text{lose}})&=-\log _{2}{p_{X}{({\text{lose}})}}=-\log _{2}\!{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\\&\approx 1.0317\times 10^{-7}{\text{ shannons}}.\end{aligned}}}$$

Информационную энтропию распределения вероятностей лотереи также легко рассчитать как ожидаемое значение информационного содержания.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {H} (X)&=\sum _{x}{-p_{X}{\left(x\right)}\log {p_{X}{\left(x\right)}}}\ &=\sum _{x}{p_{X}{\left(x\right)}\operatorname {I} _{X}(x)}\\&{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \mathbb {E} {\left[\operatorname {I} _{X}(x)\right]}\end{alignedat}}}$$

Зачастую случайной величиной, представляющей интерес в лотерее, является испытание Бернулли . В этом случае можно использовать энтропийную функцию Бернулли . Используя представление выигрыша в лотерею 6 из 49, энтропия Шеннона 6 из 49 выше равна ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} (X)&=-p\log(p)-q\log(q)=-{\tfrac {1}{13,983,816}}\log \!{\tfrac {1}{13,983,816}}-{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\log \!{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\\&\approx 1.80065\times 10^{-6}{\text{ shannons.}}\end{aligned}}}$

Рекомендации

1. Человек, выигравший в лотерею 14 раз [1]
2. З. Фюреди , Г. Дж. Секели и З. Зубор (1996). «О лотерейном вопросе». Журнал комбинаторных проектов . 4 (1): 5–10. doi :10.1002/(sici)1520-6610(1996)4:1<5::aid-jcd2>3.3.co;2-w.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)[2]

Внешние ссылки

• Анализ Эйлера генуэзской лотереи - конвергенция (август 2010 г.), Математическая ассоциация Америки
• Лотерейная математика – Издательство ИНФАРОМ
• 13 983 816 и лотерея - видео на YouTube с Джеймсом Клеветтом, Numberphile, март 2012 г.