Массовый расход

Масса вещества, проходящего за единицу времени

В физике и технике массовый расход — это масса вещества, проходящая через единицу времени . Его единица — килограмм в секунду в единицах СИ , а пуля в секунду или фунт в секунду в обычных единицах США . Распространенным символом является ( ṁ , произносится как «m-точка»), хотя иногда используется μ ( греческая строчная буква mu ). ${\displaystyle {\dot {m}}}$

Иногда массовый расход называют массовым потоком или массовым током , см., например, «Очерк механики жидкости» Шаума . ^[1] В этой статье используется (более интуитивное) определение.

Массовый расход определяется пределом : [ ^{2] [3]}

$${\displaystyle {\dot {m}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {dm}{dt}},}$$

mt

Лишняя точка над m — это обозначение Ньютона для производной по времени . Поскольку масса является скалярной величиной, массовый расход (производная массы по времени) также является скалярной величиной. Изменение массы — это количество, которое течет после пересечения границы в течение некоторого времени, а не начальное количество массы на границе минус конечное количество на границе, поскольку изменение массы, протекающей через эту область, будет равно нулю для устойчивого потока. .

Альтернативные уравнения

Иллюстрация объемного расхода. Массовый расход можно рассчитать путем умножения объемного расхода на массовую плотность жидкости ρ . Объемный расход рассчитывается путем умножения скорости потока массовых элементов v на площадь вектора поперечного сечения A .

Массовый расход также можно рассчитать по формуле

$${\displaystyle {\dot {m}}=\rho \cdot {\dot {V}}=\rho \cdot \mathbf {v} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {j} _{\text{m}}\cdot \mathbf {A} ,}$$

где

• ${\displaystyle {\dot {V}}}$или Q = объемный расход ,
• ρ = массовая плотность жидкости,
• v = скорость потока массовых элементов,
• A = площадь вектора поперечного сечения /поверхность,
• j _м = массовый поток .

Приведенное выше уравнение справедливо только для плоской области. В общем, включая случаи, когда площадь искривлена, уравнение становится поверхностным интегралом :

$${\displaystyle {\dot {m}}=\iint _{A}\rho \mathbf {v} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{A}\mathbf {j} _{\text{m}}\cdot d\mathbf {A} .}$$

Площадь, необходимая для расчета массового расхода, является реальной или мнимой, плоской или изогнутой, либо в виде площади поперечного сечения, либо в виде поверхности, например, для веществ, проходящих через фильтр или мембрану , реальной поверхностью является (обычно изогнутая) поверхность. площадь фильтра, макроскопически – без учета площади отверстий в фильтре/мембране. Пространства будут представлять собой площади поперечного сечения. Для жидкостей, проходящих через трубу, площадь представляет собой поперечное сечение трубы в рассматриваемом сечении. Площадь вектора представляет собой комбинацию величины площади, через которую проходит масса, A и единичного вектора, нормального к площади . Отношение такое . ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$

Причина скалярного произведения следующая. Единственная масса, протекающая через поперечное сечение, равна норме к площади, т. е. параллельно единичной нормали. Эта сумма

${\displaystyle {\dot {m}}=\rho vA\cos \theta ,}$

где θ — угол между единичной нормалью и скоростью элементов массы. Количество, проходящее через поперечное сечение, уменьшается в раз , поскольку при увеличении θ проходит меньше массы. Вся масса, которая проходит по касательной к площади, перпендикулярной единичной нормали, на самом деле не проходит через эту площадь, поэтому масса, проходящая через эту площадь, равна нулю. Это происходит, когда θ = π /2 : ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \cos \theta }$

$${\displaystyle {\dot {m}}=\rho vA\cos(\pi /2)=0.}$$

Учитывая поток через пористую среду, можно ввести специальную величину — поверхностный массовый расход. Это связано с приведенной скоростью v s _{следующим} соотношением: ^[4]

$${\displaystyle {\dot {m}}_{s}=v_{s}\cdot \rho ={\dot {m}}/A}$$

числа Рейнольдса частиц

Применение

В элементарной форме уравнения неразрывности массы в гидродинамике : ^[5]

$${\displaystyle \rho _{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {A} _{1}=\rho _{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {A} _{2}.}$$

В элементарной классической механике массовый расход встречается при работе с объектами переменной массы , такими как ракета, выбрасывающая отработанное топливо. Часто описания таких объектов ошибочно ^[6] ссылаются на второй закон Ньютона F = d ( m v )/ dt , рассматривая как массу m, так и скорость v как зависящие от времени, а затем применяя правило производного произведения. Правильное описание такого объекта требует применения второго закона Ньютона ко всей системе постоянной массы, состоящей как из объекта, так и из его выброшенной массы. ^[6]

Массовый расход можно использовать для расчета расхода энергии жидкости: ^[7]

$${\displaystyle {\dot {E}}={\dot {m}}e,}$$

${\displaystyle e}$

Скорость потока энергии имеет единицы СИ: килоджоуль в секунду или киловатт .

Смотрите также

• Уравнение непрерывности
• Динамика жидкостей
• Регулятор массового расхода
• Массовый расходомер
• Массовый поток
• Диафрагма
• Стандартные кубические сантиметры в минуту
• Термальный массовый расходомер
• Объемный расход

Рекомендации

1. Механика жидкости, М. Поттер, DC Виггарт, Очерки Шаума, McGraw Hill (США), 2008, ISBN  978-0-07-148781-8 .
2. «Уравнение массового расхода жидкости - преимущество инженеров» .
3. «Массовый расход» .
4. Линдебург М.Р. Справочное руководство по химической инженерии для экзамена PE. – Профессиональные публикации (Калифорния), 2013.
5. Основные принципы физики, П. М. Уилан, М. Дж. Ходжесон, 2-е издание, 1978 г., Джон Мюррей, ISBN 0-7195-3382-1 . 
6. Холлидей; Резник (1977). Физика . Том. 1. Уайли. п. 199. ИСБН 978-0-471-03710-1. Важно отметить, что мы не можем вывести общее выражение для второго закона Ньютона для систем с переменной массой, рассматривая массу в F = d P / dt = d ( M v ) как переменную . [...] Мы можем использовать F = d P / dt для анализа систем переменной массы, только если мы применим его ко всей системе постоянной массы, имеющей части, между которыми происходит обмен массами.[Выделено как в оригинале]
7. Ченгель, Юнус А.; Болес, Майкл А. (2002). Термодинамика: инженерный подход (4-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-238332-1. ОСЛК  45791449.