Косоэрмитова матрица

Матрица, сопряженная транспонированная матрица которой является ее отрицательной (аддитивной обратной)

В линейной алгебре квадратная матрица с комплексными элементами называется косоэрмитовой или антиэрмитовой, если ее сопряженная транспонированная матрица является отрицательной по отношению к исходной матрице. ^[1] То есть матрица является косоэрмитовой, если она удовлетворяет соотношению ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad A^{\mathsf {H}}=-A}$

где обозначает сопряженное транспонирование матрицы . В компонентной форме это означает, что ${\displaystyle A^{\textsf {H}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$

для всех индексов и , где — элемент в -й строке и -м столбце матрицы , а черта сверху обозначает комплексное сопряжение . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A}$

Косоэрмитовые матрицы можно понимать как комплексные версии действительных кососимметричных матриц или как матричный аналог чисто мнимых чисел. ^[2] Множество всех косоэрмитовых матриц образует алгебру Ли , которая соответствует группе Ли U( n ) . Эту концепцию можно обобщить, включив в нее линейные преобразования любого комплексного векторного пространства с полуторалинейной нормой . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle u(n)}$

Обратите внимание, что сопряженный оператор зависит от скалярного произведения, рассматриваемого на размерном комплексном или действительном пространстве . Если обозначает скалярное произведение на , то утверждение, что является кососопряжённым, означает, что для всех имеется . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle (\cdot \mid \cdot )}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in K^{n}}$ ${\displaystyle (A\mathbf {u} \mid \mathbf {v} )=-(\mathbf {u} \mid A\mathbf {v} )}$

Мнимые числа можно рассматривать как кососопряженные (поскольку они подобны матрицам), тогда как действительные числа соответствуют самосопряженным операторам. ${\displaystyle 1\times 1}$

Пример

Например, следующая матрица является косоэрмитовой, потому что $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-i&+2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle -A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {-2+i}}\\{\overline {2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {2+i}}\\{\overline {-2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {H}}}$$

Характеристики

• Собственные значения косоэрмитовой матрицы все чисто мнимые (и, возможно, нулевые). Более того, косоэрмитовые матрицы являются нормальными . Следовательно, они диагонализируемы, и их собственные векторы для различных собственных значений должны быть ортогональны. ^[3]
• Все элементы на главной диагонали косоэрмитовой матрицы должны быть чисто мнимыми , т. е. на мнимой оси (число ноль также считается чисто мнимым). ^[4]
• Если и являются косоэрмитовыми, то ⁠ ⁠ является косоэрмитовым для всех действительных скаляров и . ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle aA+bB}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle A}$является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда (или, что эквивалентно, ) является эрмитовым . ^[5] ${\displaystyle iA}$ ${\displaystyle -iA}$
• ${\displaystyle A}$является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда действительная часть кососимметрична , а мнимая часть симметрична . ${\displaystyle \Re {(A)}}$ ${\displaystyle \Im {(A)}}$
• Если является косоэрмитовым, то является эрмитовым, если является четным целым числом, и косоэрмитовым, если является нечетным целым числом. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle A}$является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда для всех векторов . ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {y} =-{\overline {\mathbf {y} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$
• Если является косоэрмитовой, то матричная экспонента является унитарной . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{A}}$
• Пространство косоэрмитовых матриц образует алгебру Ли группы Ли . ${\displaystyle u(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$

Разложение на эрмитовы и косоэрмитовы

• Сумма квадратной матрицы и ее сопряженной транспонированной матрицы является эрмитовой. ${\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}$
• Разность квадратной матрицы и ее сопряженной транспонированной матрицы косоэрмитова. Это означает, что коммутатор двух эрмитовых матриц косоэрмитов. ${\displaystyle \left(A-A^{\mathsf {H}}\right)}$
• Произвольную квадратную матрицу можно записать в виде суммы эрмитовой матрицы и косоэрмитовой матрицы : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)}$$

Смотрите также

• Бивектор (комплексный)
• Эрмитова матрица
• Нормальная матрица
• Кососимметричная матрица
• Унитарная матрица

Примечания

1. Хорн и Джонсон (1985), §4.1.1; Мейер (2000), §3.2
2. Хорн и Джонсон (1985), §4.1.2
3. Хорн и Джонсон (1985), §2.5.2, §2.5.4
4. Мейер (2000), Упражнение 3.2.5
5. Хорн и Джонсон (1985), §4.1.1

Ссылки

• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.