Внешняя мера

Математическая функция

В математической области теории меры внешняя мера или внешняя мера — это функция , определенная на всех подмножествах данного набора со значениями в расширенных действительных числах , удовлетворяющая некоторым дополнительным техническим условиям. Теория внешних мер была впервые введена Константином Каратеодори , чтобы обеспечить абстрактную основу теории измеримых множеств и счетно-аддитивных мер. ^{[1] [2] Работа Каратеодори о внешних мерах нашла множество применений в} теории множеств с мерой (внешние меры, например, используются в доказательстве фундаментальной теоремы Каратеодори о расширении ), и была существенно использована Хаусдорфом для определения метрический инвариант , подобный размерности , теперь называемый размерностью Хаусдорфа . Внешние меры обычно используются в области геометрической теории меры .

Меры — это обобщения длины, площади и объема, но они полезны для гораздо более абстрактных и нерегулярных множеств, чем интервалы в или шары в . Можно было бы ожидать определения обобщенной измерительной функции, удовлетворяющей следующим требованиям: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

1. Любой интервал реалов имеет меру ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle b-a}$
2. Измерительная функция — это неотрицательная расширенная функция с действительным знаком, определенная для всех подмножеств . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. Трансляционная инвариантность: для любого множества и любого вещественного множества множества и имеют одинаковую меру. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+x=\{a+x:a\in A\}}$
4. Счётная аддитивность : для любой последовательности попарно непересекающихся подмножеств ${\displaystyle (A_{j})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i}).}$

Оказывается, эти требования являются несовместимыми условиями; см. неизмеримое множество . Цель построения внешней меры для всех подмножеств состоит в том, чтобы выбрать класс подмножеств (который будет называться измеримым ) таким образом, чтобы удовлетворить свойству счетной аддитивности. ${\displaystyle X}$

Внешние меры

Пусть задано множество, обозначающее совокупность всех подмножеств , включающих пустое множество. Внешняя мера на является функцией множества. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$$

• нулевой пустой набор : ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• счётно субаддитивно : для произвольных подмножеств ${\displaystyle A,B_{1},B_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$
  $${\displaystyle {\text{if }}A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\text{ then }}\mu (A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

Обратите внимание, что в этом определении нет никаких тонкостей относительно бесконечного суммирования. Поскольку все слагаемые считаются неотрицательными, последовательность частичных сумм может расходиться только за счет неограниченного увеличения. Таким образом, бесконечная сумма, фигурирующая в определении, всегда будет четко определенным элементом. Если бы вместо этого внешней мере было позволено принимать отрицательные значения, ее определение пришлось бы изменить, чтобы принять во внимание возможность несходящихся бесконечных сумм. . ${\displaystyle [0,\infty ].}$

Альтернативное и эквивалентное определение. ^[3] Некоторые учебники, такие как Halmos (1950), вместо этого определяют внешнюю меру как функцию такую, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$

• нулевой пустой набор : ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• монотонно : если и являются подмножествами с , то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$
• для произвольных подмножеств ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$
  $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

Измеримость множеств относительно внешней меры

Пусть - множество с внешней мерой. Говорят, что подмножество -измеримо ( иногда называется измеримым по Каратеодори относительно , ​​в честь математика Каратеодори ) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cap E)+\mu (A\setminus E)}$$

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Неформально это говорит о том, что измеримое подмножество можно использовать в качестве строительного блока, разбивая любое другое подмножество на части (а именно, часть, находящаяся внутри измеримого множества, вместе с частью, находящейся за пределами измеримого множества). ). С точки зрения мотивации теории меры можно было бы ожидать, что , например, площадь должна быть внешней мерой на плоскости. Тогда можно было бы ожидать, что каждое подмножество плоскости будет считаться «измеримым», следуя ожидаемому принципу, согласно которому ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \operatorname {area} (A\cup B)=\operatorname {area} (A)+\operatorname {area} (B)}$$

выбранной аксиомы ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Пространство меры, связанное с внешней мерой

Используя приведенное выше определение -измеримости, легко увидеть, что ${\displaystyle \mu }$

• если -измеримо , то и его дополнение -измеримо. ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\setminus A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu }$

Следующее условие известно как «счетная аддитивность на измеримых подмножествах». ${\displaystyle \mu }$

• если -измеримые попарно непересекающиеся ( для ) подмножества , то имеется ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_{j}).}$$

Аналогичное доказательство показывает, что:

• если являются -измеримыми подмножествами, то объединение и пересечение также -измеримы. ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

Приведенные здесь свойства можно обобщить с помощью следующей терминологии:

Для любой внешней меры множества совокупность всех -измеримых подмножеств этого множества является σ-алгеброй . Ограничение на эту -алгебру есть мера. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Таким образом, существует структура пространства с мерой, возникающая естественным образом из спецификации внешней меры. Это пространство с мерой обладает дополнительным свойством полноты , которое содержится в следующем утверждении: ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

• Всякое подмножество такое, что -измеримо . ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu }$

Это легко доказать, используя второе свойство «альтернативного определения» внешней меры.

Ограничение и продвижение внешней меры

Пусть – внешняя мера на множестве . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

Продвигать

Учитывая другой набор и карту , определяемую ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{\sharp }\mu :2^{Y}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle {\big (}f_{\sharp }\mu {\big )}(A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}.}$

Непосредственно из определений можно убедиться, что является внешней мерой на . ${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$ ${\displaystyle Y}$

Ограничение

Пусть B — подмножество X. Определим µ _B  : 2 ^X →[0,∞] формулой

${\displaystyle \mu _{B}(A)=\mu (A\cap B).}$

Непосредственно из определений можно проверить, что µ B _— еще одна внешняя мера на X.

Измеримость множеств относительно продвижения вперед или ограничения

Если подмножество A из X является µ -измеримым, то оно также µ _B -измеримо для любого подмножества B из X .

Учитывая отображение f  : X → Y и подмножество A в Y , если f ⁻¹ ( A ) µ -измеримо , то A является f _# µ -измеримо. В более общем смысле, f ⁻¹ ( A ) является µ -измеримым тогда и только тогда, когда A является f _# ( µ _B ) -измеримым для каждого подмножества B из X .

Регулярные внешние меры

Определение регулярной внешней меры

Для данного множества X внешняя мера µ на ​​X называется регулярной , если любое подмножество может быть аппроксимировано «извне» µ -измеримыми множествами. Формально для этого требуется одно из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle A\subseteq X}$

• ${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (B)\mid A\subseteq B,B{\text{ is μ-measurable}}\}}$
• Существует µ -измеримое подмножество B множества X , содержащее A и такое, что . ${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)}$

Автоматически второе условие влечет за собой первое; из первого следует второе, взяв счетное пересечение с ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle \mu (B_{i})\to \mu (A)}$

Обычная внешняя мера, связанная с внешней мерой

Учитывая внешнюю меру µ на ​​множестве X , определите ν  : 2 ^X →[0,∞] формулой

${\displaystyle \nu (A)=\inf {\Big \{}\mu (B):\mu {\text{-measurable subsets }}B\subset X{\text{ with }}B\supset A{\Big \}}.}$

Тогда ν — регулярная внешняя мера на X , которая ставит в соответствие ту же меру, что и µ , всем µ -измеримым подмножествам X . Каждое µ -измеримое подмножество также является ν -измеримым, и каждое ν -измеримое подмножество конечной ν -меры также µ -измеримо.

Таким образом, пространство меры, связанное с ν, может иметь большую σ-алгебру, чем пространство меры, связанное с µ . Ограничения ν и µ на ​​меньшую σ-алгебру идентичны. Элементы большей σ-алгебры, не входящие в меньшую σ-алгебру, имеют бесконечную ν -меру и конечную µ -меру.

С этой точки зрения ν можно рассматривать как расширение µ .

Внешняя мера и топология

Предположим, что (X, d) — метрическое пространство , а φ — внешняя мера на X. Если φ обладает свойством, что

${\displaystyle \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)}$

в любое время

${\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,}$

тогда ф называется метрической внешней мерой .

Теорема . Если φ — метрическая внешняя мера на X , то каждое борелевское подмножество X является φ -измеримым. ( Борелевские множества X — это элементы наименьшей σ -алгебры, порожденной открытыми множествами. )

Строительство внешних мер

Существует несколько процедур построения внешних мер на множестве. В классической ссылке Манро ниже описаны два особенно полезных метода, которые называются Методом I и Методом II .

Метод I

Пусть X — множество, C — семейство подмножеств X , содержащее пустое множество, а p — неотрицательная расширенная вещественная функция на C , равная нулю на пустом множестве.

Теорема . Предположим, что семейство C и функция p такие же, как указано выше, и определим

${\displaystyle \varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}.}$

То есть нижняя грань распространяется на все последовательности {A _i } элементов C , которые покрывают E , с соглашением, что нижняя грань бесконечна, если такой последовательности не существует. Тогда φ — внешняя мера на X.

Метод II

Второй метод более пригоден для построения внешних мер в метрических пространствах, поскольку он дает метрические внешние меры. Предположим, (X, d) — метрическое пространство. Как указано выше, C — это семейство подмножеств X , содержащее пустое множество, а p — неотрицательная расширенная вещественная функция на C , которая обращается в нуль на пустом множестве. Для каждого δ > 0 пусть

${\displaystyle C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}}$

и

${\displaystyle \varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.}$

Очевидно, φ _δ ≥ φ _δ' , когда δ ≤ δ' , поскольку нижняя грань берется по меньшему классу при уменьшении δ . Таким образом

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]}$

существует (возможно, бесконечно).

Теорема . φ ₀ — метрическая внешняя мера на X .

Это конструкция, используемая при определении мер Хаусдорфа для метрического пространства.

Смотрите также

• Внутренняя мера

Примечания

1. Каратеодори 1968
2. Aliprantis & Border 2006, стр. S379.
3. Исходное определение, данное выше, соответствует широко цитируемым текстам Федерера, Эванса и Гариепи. Обратите внимание, что в обеих этих книгах используется нестандартная терминология при определении «меры» как того, что здесь называется «внешней мерой».

Рекомендации

• Алипрантис, CD; Граница, КЦ (2006). Бесконечномерный анализ (3-е изд.). Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 3-540-29586-0.
• Каратеодори, К. (1968) [1918]. Vorlesungen über reelle Funktionen (на немецком языке) (3-е изд.). Издательство Челси . ISBN 978-0828400381.
• Эванс, Лоуренс К.; Гариепи, Рональд Ф. (2015). Теория меры и тонкие свойства функций. Исправленное издание . CRC Press, Бока-Ратон, Флорида. стр. xiv+299. ISBN 978-1-4822-4238-6. {{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь )
• Федерер, Х. (1996) [1969]. Геометрическая теория меры . Классика по математике (переиздание 1-го изд.). Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 978-3540606567.
• Халмос, П. (1978) [1950]. Теория меры. Тексты для аспирантов по математике (2-е изд.). Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0387900889.
• Манро, Мэн (1953). Введение в измерение и интегрирование (1-е изд.). Эддисон Уэсли . ISBN 978-1124042978.
• Колмогоров А.Н. ; Фомин, С.В. (1970). Вводный реальный анализ. Ричард А. Сильверман перевод. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 0-486-61226-0.

Внешние ссылки

• Внешняя мера в Математической энциклопедии
• Мера Каратеодори в Математической энциклопедии