G-модуль

Абелева группа

Тор можно сделать абелевой группой , изоморфной произведению группы окружности . Эта абелева группа является четырехгрупповым -модулем Клейна, где группа действует посредством отражения в каждом из координатных направлений (здесь изображено красными и синими стрелками, пересекающимися в единичном элементе).

В математике , если задана группа G , G -модулем называется абелева группа M , на которой G действует совместимо со структурой абелевой группы на M. Это широко применимое понятие обобщает понятие представления G. Групповые (ко)гомологии предоставляют важный набор инструментов для изучения общих G - модулей.

Термин G -модуль также используется для более общего понятия R -модуля , на котором G действует линейно (т.е. как группа автоморфизмов R -модуля ).

Определение и основы

Пусть будет группой. Левый -модуль состоит из ^[1] абелевой группы вместе с действием левой группы, таким что ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho :G\times M\to M}$

г ·( а ₁ + а ₂ ) = г · а ₁ + г · а ₂

для всех a ₁ и a ₂ в M и всех g в G , где g · a обозначает ρ( g , a ). Правый G -модуль определяется аналогично. Если задан левый G -модуль M , его можно превратить в правый G -модуль, определив a · g = g ⁻¹ · a .

Функция f  : M → N называется морфизмом G -модулей (или G -линейным отображением , или G -гомоморфизмом ) , если f является одновременно групповым гомоморфизмом и G -эквивариантной .

Совокупность левых (соответственно правых) G -модулей и их морфизмов образует абелеву категорию G -Mod (соответственно Mod- G ). Категорию G - Mod (соответственно Mod - G ) можно отождествить с категорией левых (соответственно правых) ZG -модулей , т.е. с модулями над групповым кольцом Z [ G ].

Подмодулем G -модуля M называется подгруппа A ⊆ M , которая устойчива относительно действия G , то есть g · a ∈ A для всех g ∈ G и a ∈ A. Для данного подмодуля A модуля M фактор -модуль M / A является фактор -группой с действием g ·( m + A ) = g · m + A .

Примеры

• Для группы G абелева группа Z является G -модулем с тривиальным действием g · a = a .
• Пусть M — множество бинарных квадратичных форм f ( x , y ) = ax ² + 2 bxy + cy ² с целыми числами a , b , c , и пусть G = SL(2, Z ) ( специальная линейная группа 2×2 над Z ). Определим

${\displaystyle (g\cdot f)(x,y)=f((x,y)g^{t})=f\left((x,y)\cdot {\begin{bmatrix}\alpha &\gamma \\\beta &\delta \end{bmatrix}}\right)=f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y),}$

где

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$

и ( x , y ) g — матричное умножение . Тогда M — G -модуль, изученный Гауссом . ^[2] Действительно, мы имеем

${\displaystyle g(h(f(x,y)))=gf((x,y)h^{t})=f((x,y)h^{t}g^{t})=f((x,y)(gh)^{t})=(gh)f(x,y).}$

• Если V — представление группы G над полем K , то V — G -модуль (это абелева группа относительно сложения).

Топологические группы

Если G — топологическая группа , а M — абелева топологическая группа, то топологический G -модуль — это G -модуль, в котором отображение действия G × M → M непрерывно (где топология произведения берется на G × M ). ^[3]

Другими словами, топологический G-модуль — это абелева топологическая группа M вместе с непрерывным отображением G × M → M, удовлетворяющим обычным соотношениям g ( a + a′ ) = ga + ga′ , ( gg′ ) a = g ( g′a ) и 1 a = a .

Примечания

1. Кертис, Чарльз В .; Райнер, Ирвинг (1962), Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр , John Wiley & Sons (переиздание 2006 г. издательством AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7.
2. Ким, Мён-Хван (1999), Целочисленные квадратичные формы и решетки: Труды Международной конференции по целочисленным квадратичным формам и решеткам, 15–19 июня 1998 г., Сеульский национальный университет, Корея , Американское математическое общество.
3. Д. Вигнер (1973). «Алгебраические когомологии топологических групп». Trans. Amer. Math. Soc . 178 : 83–93. doi : 10.1090/s0002-9947-1973-0338132-7 .

Ссылки

• Глава 6 Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Том 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.