Расширение мультиполя

Математическая серия

Мультипольное разложение — это математический ряд, представляющий функцию , которая зависит от углов — обычно двух углов, используемых в сферической системе координат (полярный и азимутальный углы) для трехмерного евклидова пространства , . Подобно рядам Тейлора , мультипольные разложения полезны, поскольку часто для обеспечения хорошего приближения исходной функции требуются только первые несколько членов. Раскрываемая функция может быть действительной или комплексной и определяется либо на , либо, реже, на для некоторых других . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Мультипольные разложения часто используются при изучении электромагнитных и гравитационных полей , где поля в удаленных точках задаются в терминах источников в малой области. Мультипольное разложение с углами часто сочетается с разложением по радиусу . Такое сочетание дает разложение, описывающее функцию во всем трехмерном пространстве. ^[1]

Мультипольное расширение выражается как сумма членов с постепенно усложняющимися угловыми характеристиками ( моментами ). Первый член (нулевого порядка) называется монопольным моментом, второй член (первого порядка) называется дипольным моментом, третий (второго порядка) — квадрупольным моментом, четвертый (третьего порядка) — октупольным моментом и т. д. Учитывая ограничение греческих числовых префиксов , члены более высокого порядка обычно именуются путем добавления «-полюс» к числу полюсов — например, 32-полюсный (редко дотриаконтаполь или триаконтадиполь) и 64-полюсный (редко тетрагексаконтаполь или гексаконтатетраполь). ^{[2] [3] [4]} Мультипольный момент обычно включает в себя мощности (или обратные мощности) расстояния до начала координат, а также некоторую угловую зависимость.

В принципе, мультипольное разложение дает точное описание потенциала и, как правило, сходится при двух условиях: (1) если источники (например, заряды) локализованы близко к началу координат, а точка, в которой наблюдается потенциал, находится далеко от начала координат; или (2) наоборот, т. е. если источники расположены далеко от начала координат, а потенциал наблюдается близко к началу координат. В первом (более распространенном) случае коэффициенты разложения в ряд называются внешними мультипольными моментами или просто мультипольными моментами , тогда как во втором случае они называются внутренними мультипольными моментами .

Разложение по сферическим гармоникам

Чаще всего ряд записывается как сумма сферических гармоник . Таким образом, мы могли бы записать функцию как сумму , где — стандартные сферические гармоники, а — постоянные коэффициенты, зависящие от функции. Член представляет монополь; представляет диполь; и так далее. Эквивалентно ряд также часто записывается ^[5] как , где представляют компоненты единичного вектора в направлении, заданном углами и , а индексы неявно суммируются . Здесь член — монополь; — набор из трех чисел, представляющих диполь; и так далее. ${\displaystyle f(\theta ,\varphi )}$ $${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }\,C_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle C_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle C_{0}^{0}}$ ${\displaystyle C_{1}^{-1},C_{1}^{0},C_{1}^{1}}$ $${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=C+C_{i}n^{i}+C_{ij}n^{i}n^{j}+C_{ijk}n^{i}n^{j}n^{k}+C_{ijk\ell }n^{i}n^{j}n^{k}n^{\ell }+\cdots }$$ ${\displaystyle n^{i}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{i}}$

В приведенных выше разложениях коэффициенты могут быть действительными или комплексными . Однако, если функция, выраженная как многополюсное разложение, действительна, коэффициенты должны удовлетворять определенным свойствам. В сферическом гармоническом разложении мы должны иметь В многовекторном разложении каждый коэффициент должен быть действительным: $${\displaystyle C_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}C_{\ell }^{m\ast }\,.}$$ $${\displaystyle C=C^{\ast };\ C_{i}=C_{i}^{\ast };\ C_{ij}=C_{ij}^{\ast };\ C_{ijk}=C_{ijk}^{\ast };\ \ldots }$$

Хотя разложения скалярных функций являются наиболее распространенным применением мультипольных разложений, их также можно обобщить для описания тензоров произвольного ранга. ^[6] Это находит применение в мультипольных разложениях векторного потенциала в электромагнетизме или метрических возмущениях при описании гравитационных волн .

Для описания функций трех измерений, вдали от начала координат, коэффициенты мультипольного разложения можно записать как функции расстояния до начала координат, —чаще всего, как ряд Лорана по степеням . Например, для описания электромагнитного потенциала, , от источника в небольшой области вблизи начала координат, коэффициенты можно записать как: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }C_{\ell }^{m}(r)\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=\sum _{j=1}^{\infty }\,\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {D_{\ell ,j}^{m}}{r^{j}}}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Приложения

Мультипольные разложения широко используются в задачах, связанных с гравитационными полями систем масс , электрическими и магнитными полями зарядов и распределений токов, а также распространением электромагнитных волн . Классическим примером является вычисление внешних мультипольных моментов атомных ядер из их энергий взаимодействия с внутренними мультиполями электронных орбиталей. Мультипольные моменты ядер сообщают о распределении зарядов внутри ядра и, таким образом, о форме ядра. Усечение мультипольного разложения до его первого ненулевого члена часто полезно для теоретических расчетов.

Мультипольные разложения также полезны в численном моделировании и составляют основу быстрого мультипольного метода Грингарда и Рохлина , общей методики эффективного вычисления энергий и сил в системах взаимодействующих частиц . Основная идея заключается в разложении частиц на группы; частицы внутри группы взаимодействуют нормально (т. е. полным потенциалом), тогда как энергии и силы между группами частиц вычисляются из их мультипольных моментов. Эффективность быстрого мультипольного метода в целом аналогична эффективности суммирования Эвальда , но выше, если частицы сгруппированы, т. е. система имеет большие флуктуации плотности.

Мультипольное расширение потенциала вне распределения электростатического заряда

Рассмотрим дискретное распределение зарядов, состоящее из N точечных зарядов q _i с векторами положения r _i . Мы предполагаем, что заряды сгруппированы вокруг начала координат, так что для всех i : r _i < r _max , где r _max имеет некоторое конечное значение. Потенциал V ( R ) , обусловленный распределением зарядов, в точке R вне распределения зарядов, т. е. | R | > r _max , может быть разложен по степеням 1/ R . В литературе можно найти два способа сделать это разложение: первый - это ряд Тейлора в декартовых координатах x , y , и z , тогда как второй - в терминах сферических гармоник , которые зависят от сферических полярных координат . Декартов подход имеет то преимущество, что не требуется никаких предварительных знаний о функциях Лежандра, сферических гармониках и т. д. Его недостаток в том, что выводы довольно громоздки (фактически большая их часть представляет собой неявный повторный вывод разложения Лежандра 1 / | r − R | , которое было сделано Лежандром раз и навсегда в 1780-х годах). Также трудно дать замкнутое выражение для общего члена многополюсного разложения — обычно приводятся только первые несколько членов с последующим многоточием.

Разложение в декартовых координатах

Предположим для удобства v ( r ) = v (− r ) . Разложение Тейлора v ( r − R ) вокруг начала координат r = 0 можно записать как с коэффициентами Тейлора Если v ( r − R ) удовлетворяет уравнению Лапласа , то согласно приведенному выше разложению имеем и разложение можно переписать в терминах компонентов бесследового декартова тензора второго ранга : где δ _αβ — символ Кронекера , а r ² ≡ | r | ² . Удаление следа является обычным делом, поскольку оно выводит инвариантный относительно вращения r ² из тензора второго ранга. $${\displaystyle {\begin{aligned}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )&=v(\mathbf {-R} )+\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {-R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {-R} )+\cdots +\cdots \\&=v(\mathbf {R} )-\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )-\cdots +\cdots \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle v_{\alpha }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }\quad {\text{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }.}$$ $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }=\sum _{\alpha =x,y,z}v_{\alpha \alpha }(\mathbf {R} )=0,}$$ $${\displaystyle \sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {1}{3}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}\left(3r_{\alpha }r_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }r^{2}\right)v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} ),}$$

Пример

Рассмотрим теперь следующую форму v ( r − R ) : Тогда путем прямого дифференцирования следует, что Определим монополь, диполь и (бесследовый) квадруполь как, соответственно, и мы получаем в итоге первые несколько членов мультипольного разложения полного потенциала, который является суммой кулоновских потенциалов отдельных зарядов: ^{[7] : 137–138} $${\displaystyle v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\equiv {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}.}$$ $${\displaystyle v(\mathbf {R} )={\frac {1}{R}},\quad v_{\alpha }(\mathbf {R} )=-{\frac {R_{\alpha }}{R^{3}}},\quad {\hbox{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {3R_{\alpha }R_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }R^{2}}{R^{5}}}.}$$ $${\displaystyle q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i},\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad {\text{and}}\quad Q_{\alpha \beta }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}(3r_{i\alpha }r_{i\beta }-\delta _{\alpha \beta }r_{i}^{2}),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {R} )&\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}v(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\\&={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{R}}+{\frac {1}{R^{3}}}\sum _{\alpha =x,y,z}P_{\alpha }R_{\alpha }+{\frac {1}{2R^{5}}}\sum _{\alpha ,\beta =x,y,z}Q_{\alpha \beta }R_{\alpha }R_{\beta }+\cdots \end{aligned}}}$$

Это расширение потенциала дискретного распределения заряда очень похоже на то, что в реальных твердых гармониках, приведенных ниже. Главное отличие в том, что настоящее расширение находится в терминах линейно зависимых величин, для $${\displaystyle \sum _{\alpha }v_{\alpha \alpha }=0\quad {\hbox{and}}\quad \sum _{\alpha }Q_{\alpha \alpha }=0.}$$

Примечание: Если распределение зарядов состоит из двух зарядов противоположного знака, находящихся на бесконечно малом расстоянии d друг от друга, так что d / R ≫ ( d / R ) ² , легко показать, что доминирующим членом в разложении является электрическое дипольное потенциальное поле . $${\displaystyle V(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(\mathbf {P} \cdot \mathbf {R} ),}$$

Сферическая форма

Потенциал V ( R ) в точке R вне распределения заряда, т.е. | R | > r _max , может быть разложен с помощью разложения Лапласа : где — нерегулярная сплошная гармоника (определяемая ниже как сферическая гармоническая функция, деленная на ), а — регулярная сплошная гармоника (сферическая гармоника, умноженная на r ^ℓ ). Мы определяем сферический мультипольный момент распределения заряда следующим образом. Обратите внимание, что мультипольный момент определяется исключительно распределением заряда (положениями и величинами N зарядов). $${\displaystyle V(\mathbf {R} )\equiv \sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} |}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )\sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),}$$ ${\displaystyle I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle R^{\ell +1}}$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),\quad \ -\ell \leq m\leq \ell .}$$

Сферическая гармоника зависит от единичного вектора . (Единичный вектор определяется двумя сферическими полярными углами.) Таким образом, по определению, нерегулярные сплошные гармоники можно записать в виде так, что мультипольное разложение поля V ( R ) в точке R вне распределения заряда задается выражением ${\displaystyle {\hat {R}}}$ $${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {R} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {Y_{\ell }^{m}({\hat {R}})}{R^{\ell +1}}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max} }\end{aligned}}}$$

Это расширение является полностью общим, поскольку оно дает замкнутую форму для всех членов, а не только для первых нескольких. Оно показывает, что сферические мультипольные моменты появляются как коэффициенты в 1/ R -расширении потенциала.

Интересно рассмотреть первые несколько членов в действительной форме, которые являются единственными членами, обычно встречающимися в учебниках для студентов. Поскольку слагаемое суммы m инвариантно относительно унитарного преобразования обоих множителей одновременно и поскольку преобразование комплексных сферических гармоник в действительную форму осуществляется унитарным преобразованием , мы можем просто заменить действительные нерегулярные сплошные гармоники и действительные мультипольные моменты. Член ℓ = 0 становится Это фактически снова закон Кулона . Для члена ℓ = 1 мы вводим Тогда Этот член идентичен найденному в декартовой форме. $${\displaystyle V_{\ell =0}(\mathbf {R} )={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\quad {\hbox{with}}\quad q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} =(R_{x},R_{y},R_{z}),\quad \mathbf {P} =(P_{x},P_{y},P_{z})\quad {\hbox{with}}\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad \alpha =x,y,z.}$$ $${\displaystyle V_{\ell =1}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(R_{x}P_{x}+R_{y}P_{y}+R_{z}P_{z})={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}={\frac {{\hat {\mathbf {R} }}\cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}.}$$

Чтобы записать член ℓ = 2 , нам нужно ввести сокращенные обозначения для пяти действительных компонентов квадрупольного момента и действительных сферических гармоник. Обозначения такого типа можно найти в литературе. Очевидно, что действительные обозначения очень скоро становятся неудобными, что демонстрирует полезность комплексных обозначений. $${\displaystyle Q_{z^{2}}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}\;{\frac {1}{2}}(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}),}$$

Взаимодействие двух неперекрывающихся распределений зарядов

Рассмотрим два набора точечных зарядов, один набор { q _i }, сгруппированный вокруг точки A , и один набор { q _j }, сгруппированный вокруг точки B. Рассмотрим, например, две молекулы и вспомним, что молекула по определению состоит из электронов (отрицательных точечных зарядов) и ядер (положительных точечных зарядов). Полная энергия электростатического взаимодействия U _AB между двумя распределениями равна _Эту энергию можно разложить в степенной ряд по обратному расстоянию между A и B. Это расширение известно как мультипольное расширение U AB . $${\displaystyle U_{AB}=\sum _{i\in A}\sum _{j\in B}{\frac {q_{i}q_{j}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{ij}}}.}$$

Чтобы вывести это мультипольное разложение, мы записываем r _XY = r _Y − r _X , что является вектором, направленным от X к Y . Обратите внимание, что Мы предполагаем, что два распределения не перекрываются: При этом условии мы можем применить разложение Лапласа в следующей форме , где и являются нерегулярными и регулярными сплошными гармониками соответственно. Перевод регулярной сплошной гармоники дает конечное разложение, где величина между заостренными скобками является коэффициентом Клебша–Гордана . Далее мы использовали Использование определения сферических мультиполей Q $${\displaystyle \mathbf {R} _{AB}+\mathbf {r} _{Bj}+\mathbf {r} _{ji}+\mathbf {r} _{iA}=0\quad \iff \quad \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {R} _{AB}-\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {r} _{Bj}.}$$ $${\displaystyle |\mathbf {R} _{AB}|>|\mathbf {r} _{Bj}-\mathbf {r} _{Ai}|{\text{ for all }}i,j.}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|}}={\frac {1}{|\mathbf {R} _{AB}-(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})|}}=\sum _{L=0}^{\infty }\sum _{M=-L}^{L}\,(-1)^{M}I_{L}^{-M}(\mathbf {R} _{AB})\;R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj}),}$$ ${\displaystyle I_{L}^{M}}$ ${\displaystyle R_{L}^{M}}$ $${\displaystyle R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})=\sum _{\ell _{A}=0}^{L}(-1)^{L-\ell _{A}}{\binom {2L}{2\ell _{A}}}^{1/2}\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}R_{\ell _{A}}^{m_{A}}(\mathbf {r} _{Ai})R_{L-\ell _{A}}^{M-m_{A}}(\mathbf {r} _{Bj})\;\langle \ell _{A},m_{A};L-\ell _{A},M-m_{A}\mid LM\rangle ,}$$ $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).}$$ ^м
_ли покрытие диапазонов суммирования в несколько ином порядке (что допускается только для бесконечного диапазона L ) дает в конечном итоге

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{\infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _{B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}\sum _{m_{B}=-\ell _{B}}^{\ell _{B}}(-1)^{m_{A}+m_{B}}I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}}^{m_{A}}Q_{\ell _{B}}^{m_{B}}\;\langle \ell _{A},m_{A};\ell _{B},m_{B}\mid \ell _{A}+\ell _{B},m_{A}+m_{B}\rangle .\end{aligned}}}$$

Это мультипольное разложение энергии взаимодействия двух неперекрывающихся распределений зарядов, находящихся на расстоянии R _AB друг от друга. Поскольку это разложение явно находится в степенях 1 / R _AB . Функция Y ^m _l является нормированной сферической гармоникой . $${\displaystyle I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[{\frac {4\pi }{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\right)}{R_{AB}^{\ell _{A}+\ell _{B}+1}}},}$$

Молекулярные моменты

Все атомы и молекулы (кроме атомов в S -состоянии ) имеют один или несколько неисчезающих постоянных мультипольных моментов. В литературе можно найти различные определения, но следующее определение в сферической форме имеет то преимущество, что оно содержится в одном общем уравнении. Поскольку оно находится в сложной форме, оно имеет еще одно преимущество, что его легче манипулировать в расчетах, чем его реальный аналог.

Рассмотрим молекулу, состоящую из N частиц (электронов и ядер) с зарядами eZ _i . (У электронов значение Z равно −1, тогда как у ядер это атомный номер ). Частица i имеет сферические полярные координаты r _i , θ _i , и φ _i и декартовы координаты x _i , y _i , и z _i . (Комплексный) электростатический мультипольный оператор равен , где — регулярная сплошная гармоническая функция в нормализации Рака (также известной как полунормализация Шмидта). Если молекула имеет полную нормализованную волновую функцию Ψ (зависящую от координат электронов и ядер), то мультипольный момент порядка молекулы задается математическим ожиданием (ожидаемым) значением : Если молекула имеет определенную точечную групповую симметрию , то это отражается в волновой функции: Ψ преобразуется в соответствии с определенным неприводимым представлением λ группы ( «Ψ имеет тип симметрии λ»). Это имеет следствием то, что правила отбора справедливы для ожидаемого значения оператора мультиполя, или, другими словами, что ожидаемое значение может исчезать из-за симметрии. Хорошо известным примером этого является тот факт, что молекулы с центром инверсии не несут диполь (ожидаемые значения исчезают при m = −1, 0, 1) . Для молекулы без симметрии никакие правила отбора не действуют, и такая молекула будет иметь неисчезающие мультиполи любого порядка (она будет нести диполь и одновременно квадруполь, октуполь, гексадекаполь и т. д.). $${\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),}$$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i})}$ ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle M_{\ell }^{m}\equiv \langle \Psi \mid Q_{\ell }^{m}\mid \Psi \rangle .}$$ ${\displaystyle Q_{1}^{m}}$

Низшие явные формы регулярных твердых гармоник (с фазой Кондона-Шортли ) дают: (полный заряд молекулы). (Комплексные) дипольные компоненты: $${\displaystyle M_{0}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i},}$$ $${\displaystyle M_{1}^{1}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}+iy_{i}|\Psi \rangle \quad {\hbox{and}}\quad M_{1}^{-1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}-iy_{i}|\Psi \rangle .}$$ $${\displaystyle M_{1}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |z_{i}|\Psi \rangle .}$$

Обратите внимание, что с помощью простой линейной комбинации можно преобразовать сложные мультипольные операторы в действительные. Действительные мультипольные операторы имеют тип косинуса или синуса . Вот несколько самых низких из них: ${\displaystyle C_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle S_{\ell }^{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}^{0}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}\\C_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}\\S_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;y_{i}\\C_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2})\\C_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}x_{i}\\C_{2}^{2}&={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;(x_{i}^{2}-y_{i}^{2})\\S_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}y_{i}\\S_{2}^{2}&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}y_{i}\end{aligned}}}$$

Примечание по соглашениям

Определение комплексного молекулярного мультипольного момента, данное выше, является комплексно сопряженным определением, данным в этой статье , которое следует определению стандартного учебника по классической электродинамике Джексона, ^{[7] : 137} за исключением нормализации. Более того, в классическом определении Джексона эквивалент N -частичного квантово-механического ожидаемого значения является интегралом по одночастичному распределению заряда. Помните, что в случае одночастичной квантово-механической системы ожидаемое значение есть не что иное, как интеграл по распределению заряда (модуль волновой функции в квадрате), так что определение этой статьи является квантово-механическим N -частичным обобщением определения Джексона.

Определение в этой статье согласуется, среди прочего, с определением Фано и Рака ^[8], а также Бринка и Сэтчлера ^{[9] .}

Примеры

Существует много типов мультипольных моментов, поскольку существует много типов потенциалов и много способов аппроксимации потенциала путем разложения в ряд , в зависимости от координат и симметрии распределения заряда. Наиболее распространенные разложения включают:

• Аксиальные мультипольные моменты потенциала 1/ R ;
• Сферические мультипольные моменты потенциала 1/ R ; и
• Цилиндрические мультипольные моменты потенциала ln  R

Примерами 1/ R -потенциалов являются электрический потенциал , магнитный потенциал и гравитационный потенциал точечных источников. Примером ln  R- потенциала является электрический потенциал бесконечного линейного заряда.

Общие математические свойства

Мультипольные моменты в математике и математической физике образуют ортогональный базис для разложения функции, основанный на реакции поля на точечные источники, которые расположены бесконечно близко друг к другу. Их можно рассматривать как расположенные в различных геометрических формах, или, в смысле теории распределения , как производные по направлению .

Мультипольные разложения связаны с базовой вращательной симметрией физических законов и связанных с ними дифференциальных уравнений . Даже если исходные члены (такие как массы, заряды или токи) могут быть несимметричными, их можно разложить в терминах неприводимых представлений группы вращательной симметрии , что приводит к сферическим гармоникам и связанным с ними наборам ортогональных функций. Используется метод разделения переменных для извлечения соответствующих решений для радиальных зависимостей.

На практике многие поля можно хорошо аппроксимировать конечным числом мультипольных моментов (хотя для точной реконструкции поля может потребоваться бесконечное число). Типичным применением является аппроксимация поля локализованного распределения заряда его монопольными и дипольными членами. Задачи, решенные один раз для заданного порядка мультипольного момента, можно линейно объединить для создания окончательного приближенного решения для заданного источника.

Смотрите также

• Моделирование Барнса–Хатта
• Быстрый мультипольный метод
• расширение Лапласа
• полиномы Лежандра
• Квадрупольные магниты используются в ускорителях частиц.
• Сплошные гармоники
• Тороидальный момент
• Динамический тороидальный диполь

Ссылки

1. Эдмондс, AR (1960). Угловой момент в квантовой механике . Princeton University Press. ISBN 9780691079127.
2. Аузиньш, Марцис; Будкер, Дмитрий; Рочестер, Саймон (2010). Оптически поляризованные атомы: понимание взаимодействия света и атома . Оксфорд: Нью-Йорк. С. 100. ISBN 9780199565122.
3. Окумура, Митчио; Чан, Ман-Чор; Ока, Такеши (2 января 1989 г.). "Инфракрасная спектроскопия высокого разрешения твердого водорода: переходы, вызванные тетрагексаконтаполем" (PDF) . Physical Review Letters . 62 (1): 32–35. Bibcode :1989PhRvL..62...32O. doi :10.1103/PhysRevLett.62.32. PMID  10039541.
4. Икеда, Хироаки; Сузуки, Мичи-То; Арита, Рётаро; Такимото, Тецуя; Сибаучи, Такасада; Мацуда, Юдзи (3 июня 2012 г.). «Эмерджентный нематический порядок 5-го ранга в URu2Si2». Физика природы . 8 (7): 528–533. arXiv : 1204.4016 . Бибкод : 2012NatPh...8..528I. дои : 10.1038/nphys2330. S2CID  119108102.
5. Томпсон, Уильям Дж. Угловой момент . John Wiley & Sons, Inc.
6. Торн, Кип С. (апрель 1980 г.). «Мультипольные разложения гравитационного излучения» (PDF) . Reviews of Modern Physics . 52 (2): 299–339. Bibcode : 1980RvMP...52..299T. doi : 10.1103/RevModPhys.52.299.
7. Джексон, Джон Дэвид (1975). Классическая электродинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 047143132X.
8. У. Фано и Г. Рака, Неприводимые тензорные множества , Academic Press, Нью-Йорк (1959). стр. 31
9. DM Brink и GR Satchler, Angular Momentum , 2-е издание, Clarendon Press, Оксфорд, Великобритания (1968). стр. 64. См. также сноску на стр. 90.