Нигде плотный набор

Математическое множество, замыкание которого имеет пустую внутреннюю часть

В математике подмножество топологического пространства называется нигде не плотным ^{[1] [2]} или редким ^[3], если его замыкание имеет пустую внутреннюю часть . В очень свободном смысле это множество, элементы которого нигде не сгруппированы плотно (как определено топологией на пространстве ). Например, целые числа нигде не плотны среди действительных чисел , тогда как интервал (0, 1) нигде не плотен.

Счетное объединение нигде не плотных множеств называется разреженным множеством . Разреженные множества играют важную роль в формулировке теоремы Бэра о категории , которая используется при доказательстве нескольких фундаментальных результатов функционального анализа .

Определение

Плотность нигде не может быть охарактеризована разными (но эквивалентными) способами. Простейшее определение — это определение из плотности:

Подмножество топологического пространства называется плотным в другом множестве, если пересечение является плотным подмножеством , нигде не плотно или редко в , если не плотно ни в каком непустом открытом подмножестве ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S\cap U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Расширяя отрицание плотности, получаем, что каждое непустое открытое множество содержит непустое открытое подмножество, не пересекающееся с ^[4]. Достаточно проверить любое условие на базе для топологии на В частности, плотность нигде в часто описывается как плотная ни в каком открытом интервале . ^{[5] [6]} ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Определение по закрытию

Второе определение выше эквивалентно требованию, что замыкание не может содержать никакого непустого открытого множества. ^[7] Это то же самое, что сказать, что внутренняя часть замыкания пуста ; то есть, ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\varnothing .}$^{[8] [9]}

В качестве альтернативы, дополнение замыкания должно быть плотным подмножеством ^{[4] [8]} другими словами, внешность плотна в ${\displaystyle X\setminus \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

Характеристики

Понятие нигде не плотного множества всегда относительно данного окружающего пространства. Предположим, что топология подпространства индуцирована из Множество может быть нигде не плотным в , но не нигде не плотным в Примечательно, что множество всегда плотно в своей собственной топологии подпространства. Так что если непусто, оно не будет нигде не плотным как подмножество самого себя. Однако справедливы следующие результаты: ^{[10] [11]} ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A}$

• Если нигде не плотный в то нигде не плотный в ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Если открыто в , то нигде не плотно в тогда и только тогда, когда нигде не плотно в ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Если является плотным в , то является нигде не плотным в тогда и только тогда, когда является нигде не плотным в ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда его замыкание нигде не плотно. ^[1]

Каждое подмножество нигде не плотного множества является нигде не плотным, а конечное объединение нигде не плотных множеств является нигде не плотным. ^{[12] [13]} Таким образом, нигде не плотные множества образуют идеал множеств , подходящее понятие пренебрежимого множества . В общем случае они не образуют 𝜎-идеал , поскольку тощие множества , которые являются счетными объединениями нигде не плотных множеств, не обязаны быть нигде не плотными. Например, множество не является нигде не плотным в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Граница каждого открытого множества и каждого замкнутого множества замкнута и нигде не плотна. ^{[14] [2]} Замкнутое множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда оно равно своей границе, [ ^14] тогда и только тогда, когда оно равно границе некоторого открытого множества ^[2] (например, открытое множество можно взять как дополнение к множеству). Произвольное множество нигде не плотно тогда и только тогда, когда оно является подмножеством границы некоторого открытого множества (например , открытое множество можно взять как внешность ). ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$

Примеры

• Множество и его замыкание нигде не плотные, поскольку замыкание имеет пустую внутреннюю часть. ${\displaystyle S=\{1/n:n=1,2,...\}}$ ${\displaystyle S\cup \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• Множество Кантора — это несчетное нигде не плотное множество ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$рассматриваемая как горизонтальная ось в евклидовой плоскости нигде не плотная ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$нигде не плотен, но рациональные числа не плотны (они плотны везде). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \cup [(a,b)\cap \mathbb {Q} ]}$не является нигде плотным в : он плотен в открытом интервале и, в частности, внутренняя часть его замыкания является ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle (a,b).}$
• Пустое множество нигде не плотно. В дискретном пространстве пустое множество — единственное нигде не плотное множество. ^[15]
• В пространстве T1 любое одноэлементное множество, не являющееся изолированной точкой, _нигде не плотно.
• Векторные подпространства топологического векторного пространства либо плотны, либо нигде не плотны. ^[16]

Нигде не плотные множества с положительной мерой

Нигде не плотное множество не обязательно пренебрежимо мало во всех смыслах. Например, если — единичный интервал, то возможно не только плотное множество нулевой меры Лебега (такое как множество рациональных чисел), но также возможно нигде не плотное множество с положительной мерой. Одним из таких примеров является множество Смита–Вольтерра–Кантора . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1],}$

Для другого примера (варианта множества Кантора ) удалите из всех двоичных дробей , то есть дроби вида в наименьших членах для положительных целых чисел и интервалы вокруг них: Поскольку для каждого это удаляет интервалы, в сумме составляющие не более нигде не плотное множество, оставшееся после удаления всех таких интервалов, имеет меру не менее (фактически чуть более из-за перекрытий ^[17] ) и, таким образом, в некотором смысле представляет большую часть окружающего пространства Это множество нигде не плотно, поскольку оно замкнуто и имеет пустую внутреннюю часть: ни один интервал не содержится в множестве, поскольку двоичные дроби в были удалены. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle a/2^{n}}$ ${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \left(a/2^{n}-1/2^{2n+1},a/2^{n}+1/2^{2n+1}\right).}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/2^{n+1},}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 0.535\ldots }$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Обобщая этот метод, можно построить в единичном интервале нигде не плотные множества любой меры, меньшей, чем , хотя мера не может быть ровно 1 (потому что в противном случае дополнением к ее замыканию было бы непустое открытое множество с мерой нуль, что невозможно). ^[18] ${\displaystyle 1,}$

Для другого более простого примера, если — любое плотное открытое подмножество с конечной мерой Лебега , то — обязательно замкнутое подмножество с бесконечной мерой Лебега, которое также нигде не плотно в (потому что его топологическая внутренность пуста). Такое плотное открытое подмножество с конечной мерой Лебега обычно строится при доказательстве того, что мера Лебега рациональных чисел равна Это можно сделать, выбрав любую биекцию (на самом деле достаточно, чтобы она была просто сюръекцией ) и для каждого допуска (здесь для упрощения описания интервалов использовалась нотация суммы Минковского ). Открытое подмножество плотно в , потому что это верно для его подмножества , и его мера Лебега не больше, чем Объединение замкнутых, а не открытых интервалов дает F 𝜎 -подмножество , которое удовлетворяет Поскольку является подмножеством нигде не плотного множества, оно также нигде не плотно в Поскольку является пространством Бэра , множество является плотным подмножеством (что означает, что подобно его подмножеству, возможно, не может быть нигде не плотным в ) с мерой Лебега, которая также является нетощим подмножеством (то есть принадлежит второй категории в ), что делает подмножество -комагер , внутренняя часть которого в также пуста; однако, является нигде не плотным в тогда и только тогда, когда его замыкание в имеет пустую внутреннюю часть. Подмножество в этом примере можно заменить любым счетным плотным подмножеством и , более того, даже множество можно заменить на для любого целого числа ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle U_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)~=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right)}$$ ${\displaystyle f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right):=\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)}$ ${\displaystyle U_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }2r/2^{n}=2r.}$ $${\displaystyle S_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left[-r/2^{n},r/2^{n}\right]}$$ ${\displaystyle S_{r/2}\subseteq U_{r}\subseteq S_{r}\subseteq U_{2r}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus S_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U_{r},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle D:=\bigcap _{m=1}^{\infty }U_{1/m}=\bigcap _{m=1}^{\infty }S_{1/m}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>0.}$

Смотрите также

• Пространство Бэра  – Понятие в топологии
• Множество Смита–Вольтерра–Кантора  – множество, которое нигде не плотно (в частности, не содержит интервалов), но имеет положительную меру.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Тощее множество  – «Малое» подмножество топологического пространства.

Ссылки

1. Бурбаки 1989, гл. IX, раздел 5.1.
2. Уиллард 2004, Задача 4G.
3. Наричи и Бекенштейн 2011, раздел 11.5, стр. 387-389.
4. Фремлин 2002, 3A3F(a).
5. Окстоби, Джон К. (1980). Мера и категория (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 1–2. ISBN 0-387-90508-1. Множество нигде не плотно, если оно не плотно ни в каком интервале.; хотя следует отметить, что Окстоби позже дает определение внутренней части замыкания на странице 40.
6. Натансон, Израиль П. (1955). Теория функций вещественной переменной . Т. I (Главы 1-9). Перевод Борона, Лео Ф. Нью-Йорк: Фредерик Унгар. стр. 88. hdl :2027/mdp.49015000681685. LCCN  54-7420.
7. Стин, Линн Артур; Сибах-младший, Дж. Артур (1995). Контрпримеры в топологии (Дуврское переиздание Springer-Verlag, изд. 1978 г.). Нью-Йорк: Дувр. п. 7. ISBN 978-0-486-68735-3Подмножество называется нигде не плотным в, если в нем не содержится ни одного непустого открытого множества ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {A}}.}$
8. Gamelin, Theodore W. (1999). Введение в топологию (2-е изд.). Mineola: Dover. стр. 36–37. ISBN 0-486-40680-6– через ProQuest ebook Central.
9. Рудин 1991, стр. 41.
10. Наричи и Бекенштейн, 2011, Теорема 11.5.4.
11. Хаворт и Маккой 1977, Предложение 1.3.
12. Фремлин 2002, 3A3F(c).
13. Уиллард 2004, Задача 25А.
14. Narici & Beckenstein 2011, пример 11.5.3(e).
15. Наричи и Бекенштейн 2011, пример 11.5.3(а).
16. Наричи и Бекенштейн 2011, пример 11.5.3(f).
17. «Некоторые нигде не плотные множества с положительной мерой и строго монотонная непрерывная функция с плотным множеством точек с нулевой производной».
18. Фолланд, ГБ (1984). Реальный анализ: современные методы и их применение. Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 41. hdl :2027/mdp.49015000929258. ISBN 0-471-80958-6.

Библиография

• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Фремлин, Д. Х. (2002). Теория меры . Lulu.com. ISBN 978-0-9566071-1-9.
• Хаворт, Колорадо; Маккой, Р.А. (1977), Baire Spaces, Варшава: Instytut Matematyczny Polskiej Polskiej Akademi Nauk
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.

Внешние ссылки

• Некоторые нигде не плотные множества с положительной мерой