Преобразование Меллина

Математическая операция

В математике преобразование Меллина — это интегральное преобразование , которое можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа . Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел , математической статистике и теории асимптотических разложений ; оно тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье , а также с теорией гамма-функции и родственных им специальных функций .

Преобразование Меллина комплекснозначной функции f, определенной на , является функцией комплексной переменной, заданной (где она существует, см. раздел «Основная полоса» ниже) выражением Обратите внимание, что является мерой Хаара на мультипликативной группе и является (в общем случае неунитарным) мультипликативным характером . Обратное преобразование равно Обозначение подразумевает, что это линейный интеграл, взятый по вертикальной линии в комплексной плоскости, действительная часть c которого должна удовлетворять только умеренной нижней границе. Условия, при которых эта инверсия действительна, приведены в теореме об инверсии Меллина . ${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{\times }=(0,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}f}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\int _{\mathbf {R} _{+}^{\times }}f(x)x^{s}{\frac {dx}{x}}.}$$ ${\displaystyle dx/x}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{\times }}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{s}}$ $${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.}$$

Преобразование названо в честь финского математика Ялмара Меллина , который представил его в статье, опубликованной в 1897 году в Acta Societatis Scientiarum Fennicæ. ^[1]

Связь с другими преобразованиями

Двустороннее преобразование Лапласа можно определить через преобразование Меллина, и наоборот, мы можем получить преобразование Меллина из двустороннего преобразования Лапласа: $${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}$$ $${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).}$$

Преобразование Меллина можно рассматривать как интегрирование с использованием ядра x ^s относительно мультипликативной меры Хаара , которая инвариантна относительно растяжения , так что двустороннее преобразование Лапласа интегрируется относительно аддитивной меры Хаара , которая инвариантна относительно трансляции, так что . ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$ ${\displaystyle x\mapsto ax}$ ${\textstyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}};}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle d(x+a)=dx}$

Мы также можем определить преобразование Фурье в терминах преобразования Меллина и наоборот; в терминах преобразования Меллина и двустороннего преобразования Лапласа, определенного выше. Мы также можем обратить процесс и получить $${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)\ .}$$ $${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)\ .}$$

Преобразование Меллина также связывает ряд Ньютона или биномиальное преобразование с производящей функцией Пуассона посредством цикла Пуассона–Меллина–Ньютона .

Преобразование Меллина можно также рассматривать как преобразование Гельфанда для алгебры свертки локально компактной абелевой группы положительных действительных чисел с умножением.

Примеры

Интеграл Каэна–Меллина

Преобразование Меллина функции равно , где — гамма-функция . — мероморфная функция с простыми полюсами в . ^[2] Следовательно, является аналитической для . Таким образом, допуская и на главной ветви , обратное преобразование дает ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}dx}$$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle z=0,-1,-2,\dots }$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>0}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle z^{-s}}$ $${\displaystyle e^{-z}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)z^{-s}\;ds.}$$

Этот интеграл известен как интеграл Каэна–Меллина. ^[3]

Полиномиальные функции

Так как не сходится ни для какого значения , преобразование Меллина не определено для полиномиальных функций, определенных на всей положительной действительной оси. Однако, определяя его равным нулю на различных участках действительной оси, можно взять преобразование Меллина. Например, если тогда ${\textstyle \int _{0}^{\infty }x^{a}dx}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{a}&x<1,\\0&x>1,\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{1}x^{s-1}x^{a}dx=\int _{0}^{1}x^{s+a-1}dx={\frac {1}{s+a}}.}$$

Таким образом, имеет простой полюс при и, таким образом, определяется для . Аналогично, если то Таким образом, имеет простой полюс при и, таким образом, определяется для . ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle s=-a}$ ${\displaystyle \Re (s)>-a}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x<1,\\x^{b}&x>1,\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{1}^{\infty }x^{s-1}x^{b}dx=\int _{1}^{\infty }x^{s+b-1}dx=-{\frac {1}{s+b}}.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle s=-b}$ ${\displaystyle \Re (s)<-b}$

Экспоненциальные функции

Для , пусть . Тогда ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle f(x)=e^{-px}}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-px}{\frac {dx}{x}}=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {u}{p}}\right)^{s}e^{-u}{\frac {du}{u}}={\frac {1}{p^{s}}}\int _{0}^{\infty }u^{s}e^{-u}{\frac {du}{u}}={\frac {1}{p^{s}}}\Gamma (s).}$$

Дзета-функция

Можно использовать преобразование Меллина для получения одной из основных формул для дзета-функции Римана , . Пусть . Тогда Таким образом, ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\textstyle f(x)={\frac {1}{e^{x}-1}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {1}{e^{x}-1}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {e^{-x}}{1-e^{-x}}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-nx}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\Gamma (s)=\Gamma (s)\zeta (s).}$$ $${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {1}{e^{x}-1}}dx.}$$

Обобщенный гауссов

Для , пусть (т.е. является обобщенным гауссовым распределением без масштабного коэффициента.) Тогда В частности, задание восстанавливает следующую форму гамма-функции ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle f(x)=e^{-x^{p}}}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x^{p}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}x^{s-p}e^{-x^{p}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}(x^{p})^{s/p-1}e^{-x^{p}}dx={\frac {1}{p}}\int _{0}^{\infty }u^{s/p-1}e^{-u}du={\frac {\Gamma (s/p)}{p}}.}$$ ${\displaystyle s=1}$ $${\displaystyle \Gamma \left(1+{\frac {1}{p}}\right)=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{p}}dx.}$$

Степенные ряды и ряды Дирихле

В общем случае, предполагая необходимую сходимость, мы можем связать ряды Дирихле и связанные с ними степенные ряды формальным тождеством, включающим преобразование Меллина: ^[4] $${\displaystyle F(s)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},\quad f(z)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)F(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(e^{-x})dx}$$

Основная полоса

Для пусть открытая полоса определяется как вся такая, что при Фундаментальная полоса определяется как самая большая открытая полоса, на которой она определена. Например, для фундаментальной полосы определяется как Как видно из этого примера, асимптотика функции как определяет левую конечную точку ее фундаментальной полосы, а асимптотика функции как определяет ее правую конечную точку. Подводя итог с использованием нотации Big O , если есть как и как то определяется в полосе ^[5] ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s=\sigma +it}$ ${\displaystyle \alpha <\sigma <\beta .}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle a>b}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{a}&x<1,\\x^{b}&x>1,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \langle -a,-b\rangle .}$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle O(x^{a})}$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle O(x^{b})}$ ${\displaystyle x\to +\infty ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle \langle -a,-b\rangle .}$

Применение этого можно увидеть в гамма-функции, поскольку и для всех то должно быть определено в полосе , которая подтверждает, что является аналитической для ${\displaystyle \Gamma (s).}$ ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$ ${\displaystyle O(x^{0})}$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle O(x^{k})}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \Gamma (s)={\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle \langle 0,+\infty \rangle ,}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>0.}$

Характеристики

Свойства в этой таблице можно найти в работах Брейсвелла (2000) и Эрдели (1954).

Теорема Парсеваля и теорема Планшереля

Пусть и будут функциями с хорошо определенными преобразованиями Меллина в фундаментальных полосах . Пусть с . Если функции и также квадратично интегрируемы на интервале , то справедлива формула Парсеваля : ^[6] Интегрирование в правой части выполняется вдоль вертикальной линии , которая полностью лежит в пределах перекрытия (подходящим образом преобразованных) фундаментальных полос. ${\displaystyle f_{1}(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{1,2}(s)={\mathcal {M}}\{f_{1,2}\}(s)}$ ${\displaystyle \alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \max(\alpha _{1},1-\beta _{2})<c<\min(\beta _{1},1-\alpha _{2})}$ ${\displaystyle x^{c-1/2}\,f_{1}(x)}$ ${\displaystyle x^{1/2-c}\,f_{2}(x)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{1}(x)\,f_{2}(x)\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\tilde {f_{1}}}(s)\,{\tilde {f_{2}}}(1-s)\,ds}$$ ${\displaystyle \Re r=c}$

Мы можем заменить на . Это дает следующую альтернативную форму теоремы: Пусть и будут функциями с хорошо определенными преобразованиями Меллина в фундаментальных полосах . Пусть с и выберем с . Если функции и также квадратично интегрируемы на интервале , то имеем ^[6] Мы можем заменить на . Это дает следующую теорему: Пусть будет функцией с хорошо определенным преобразованием Меллина в фундаментальной полосе . Пусть с . Если функция также квадратично интегрируема на интервале , то теорема Планшереля верна: ^[7] ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)\,x^{s_{0}-1}}$ ${\displaystyle f_{1}(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{1,2}(s)={\mathcal {M}}\{f_{1,2}\}(s)}$ ${\displaystyle \alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha _{1}<c<\beta _{1}}$ ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \alpha _{2}<\Re s_{0}-c<\beta _{2}}$ ${\displaystyle x^{c-1/2}\,f_{1}(x)}$ ${\displaystyle x^{s_{0}-c-1/2}\,f_{2}(x)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{1}(x)\,f_{2}(x)\,x^{s_{0}-1}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\tilde {f_{1}}}(s)\,{\tilde {f_{2}}}(s_{0}-s)\,ds}$$ ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle {\overline {f_{1}(x)}}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\mathcal {M}}\{f\}(s)}$ ${\displaystyle \alpha <\Re s<\beta }$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha <c<\beta }$ ${\displaystyle x^{c-1/2}\,f(x)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|^{2}\,x^{2c-1}dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {f}}(c+it)|^{2}\,dt}$$

Как изометрия наЛ2пространства

При изучении пространств Гильберта преобразование Меллина часто ставится несколько иначе. Для функций в (см. пространство Lp ) фундаментальная полоса всегда включает , поэтому мы можем определить линейный оператор как Другими словами, мы установили Этот оператор обычно обозначается просто и называется «преобразованием Меллина», но используется здесь для отличия от определения, используемого в других местах этой статьи. Теорема об обращении Меллина затем показывает, что обратимо с обратным Кроме того, этот оператор является изометрией , то есть для всех (это объясняет, почему был использован фактор ). ${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ $${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),}$$ $${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx.}$$ $${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}+is).}$$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ $${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),}$$ $${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.}$$ ${\displaystyle \|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(0,\infty )}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

В теории вероятностей

В теории вероятностей преобразование Меллина является важным инструментом для изучения распределений произведений случайных величин. ^[8] Если X — случайная величина, а X ⁺ = max{ X ,0 } обозначает ее положительную часть, а X ⁻ = max{− X ,0 } — ее отрицательную часть, то преобразование Меллина для X определяется как ^[9] где γ — формальная неопределенность с γ ² = 1. Это преобразование существует для всех s в некоторой комплексной полосе D = { s  : a ≤ Re( s ) ≤ b } , где a ≤ 0 ≤ b . ^[9] $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+\gamma \int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),}$$

Преобразование Меллина случайной величины X однозначно определяет ее функцию распределения F _X . ^[9] Важность преобразования Меллина в теории вероятностей заключается в том, что если X и Y — две независимые случайные величины, то преобразование Меллина их произведения равно произведению преобразований Меллина X и Y : ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(it)}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)}$$

Проблемы с Лапласианом в цилиндрической системе координат

В лапласиане в цилиндрических координатах в общем измерении (ортогональные координаты с одним углом и одним радиусом, а также остальные длины) всегда есть член: $${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)=f_{rr}+{\frac {f_{r}}{r}}}$$

Например, в двумерных полярных координатах лапласиан равен: а в трехмерных цилиндрических координатах лапласиан равен: $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

Этот термин можно обработать с помощью преобразования Меллина ^[11] , поскольку: $${\displaystyle {\mathcal {M}}\left(r^{2}f_{rr}+rf_{r},r\to s\right)=s^{2}{\mathcal {M}}\left(f,r\to s\right)=s^{2}F}$$

Например, двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах представляет собой уравнение в частных производных с двумя переменными: и путем умножения: с преобразованием Меллина по радиусу становится простым гармоническим осциллятором : с общим решением: $${\displaystyle r^{2}f_{rr}+rf_{r}+f_{\theta \theta }=0}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}=0}$$ $${\displaystyle F_{\theta \theta }+s^{2}F=0}$$ $${\displaystyle F(s,\theta )=C_{1}(s)\cos(s\theta )+C_{2}(s)\sin(s\theta )}$$

Теперь давайте применим, например, некоторые простые граничные условия клина к исходному уравнению Лапласа: они особенно просты для преобразования Меллина и принимают вид: $${\displaystyle f(r,-\theta _{0})=a(r),\quad f(r,\theta _{0})=b(r)}$$ $${\displaystyle F(s,-\theta _{0})=A(s),\quad F(s,\theta _{0})=B(s)}$$

Эти условия, предъявляемые к решению, делают его: $${\displaystyle F(s,\theta )=A(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}-\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}+B(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}+\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}}$$

Теперь по теореме о свертке для преобразования Меллина решение в области Меллина может быть обращено: где было использовано следующее соотношение обратного преобразования: где . $${\displaystyle f(r,\theta )={\frac {r^{m}\cos(m\theta )}{2\theta _{0}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {a(x)}{x^{2m}+2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}+{\frac {b(x)}{x^{2m}-2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}\right)x^{m-1}\,dx}$$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}^{-1}\left({\frac {\sin(s\varphi )}{\sin(2\theta _{0}s)}};s\to r\right)={\frac {1}{2\theta _{0}}}{\frac {r^{m}\sin(m\varphi )}{1+2r^{m}\cos(m\varphi )+r^{2m}}}}$$ ${\displaystyle m={\frac {\pi }{2\theta _{0}}}}$

Приложения

Преобразование Меллина широко используется в информатике для анализа алгоритмов ^[12] из-за его свойства масштабной инвариантности . Величина преобразования Меллина масштабированной функции идентична величине исходной функции для чисто мнимых входных данных. Это свойство масштабной инвариантности аналогично свойству инвариантности сдвига преобразования Фурье. Величина преобразования Фурье сдвинутой во времени функции идентична величине преобразования Фурье исходной функции.

Это свойство полезно при распознавании изображений . Изображение объекта легко масштабируется, когда объект перемещается к камере или от нее.

В квантовой механике и особенно в квантовой теории поля пространство Фурье чрезвычайно полезно и широко используется, поскольку импульс и положение являются преобразованиями Фурье друг друга (например, диаграммы Фейнмана гораздо легче вычислить в пространстве импульса). В 2011 году А. Лиам Фицпатрик, Джаред Каплан, Жуан Пенедонес , Суврат Раджу и Балт К. ван Риз показали, что пространство Меллина играет аналогичную роль в контексте соответствия AdS/CFT . ^{[13] [14] [15]}

Примеры

• Формула Перрона описывает обратное преобразование Меллина, примененное к ряду Дирихле .
• Преобразование Меллина используется при анализе функции подсчета простых чисел и встречается при обсуждении дзета-функции Римана .
• Обратные преобразования Меллина обычно встречаются в средних Рисса .
• Преобразование Меллина может быть использовано для модификации шкалы времени и высоты тона аудио ^{[ необходима ссылка ]} .

Таблица избранных преобразований Меллина

Следующий список интересных примеров преобразования Меллина можно найти в работах Брейсвелла (2000) и Эрдели (1954):

Смотрите также

• Теорема обращения Меллина
• Формула Перрона
• Основная теорема Рамануджана

Примечания

1. Меллин, Hj. «Zur Theorie zweier allgemeinen Klassen bestimmter Integrale». Acta Societatis Scientiarum Fennicæ . XXII, № 2: 1–75.
2. Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1996). Курс современного анализа . Cambridge University Press.
3. Харди, GH ; Литтлвуд, JE (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел». Acta Mathematica . 41 (1): 119–196. doi : 10.1007/BF02422942 . (См. примечания к нему для получения дополнительных ссылок на работы Кэхена и Меллина, включая тезис Кэхена.)
4. Винтнер, Аурел (1947). «О сведении Риманом рядов Дирихле к степенным рядам». American Journal of Mathematics . 69 (4): 769–789. doi : 10.2307/2371798 .
5. Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). "Преобразования Меллина и асимптотика: Гармонические суммы" (PDF) . Теоретическая информатика . 144 (1–2): 3–58. doi :10.1016/0304-3975(95)00002-e.
6. Titchmarsh (1948, стр. 95).
7. Титчмарш (1948, стр. 94).
8. Галамбос и Симонелли (2004, стр. 15)
9. Галамбос и Симонелли (2004, стр. 16)
10. Галамбос и Симонелли (2004, стр. 23)
11. Бхимсен, Шивамогги, Глава 6: Преобразование Меллина, пар. 4.3: Распределение потенциала в клине, стр. 267–28
12. Филипп Флажоле и Роберт Седжвик. Анализ алгоритмов в среднем случае: асимптотика преобразования Меллина. Отчет об исследовании 2956. 93 страницы. Национальный институт исследований информатики и автоматизации (INRIA), 1996.
13. А. Лиам Фицпатрик, Джаред Каплан, Жоао Пенедонес, Суврат Раджу, Балт К. ван Рис. «Естественный язык для корреляторов AdS/CFT».
14. А. Лиам Фицпатрик, Джаред Каплан. «Унитарность и голографическая S-матрица»
15. А. Лиам Фицпатрик. «AdS/CFT и голографическая S-матрица», видеолекция.
16. Жаклин Бертран, Пьер Бертран, Жан-Филипп Оварлез. Преобразование Меллина. Справочник по преобразованиям и их применению, 1995, 978-1420066524. ffhal-03152634f

Ссылки

• Локенат Дебнат; Дамбару Бхатта (19 апреля 2016 г.). Интегральные преобразования и их приложения. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4200-1091-6.
• Галамбос, Янос; Симонелли, Итало (2004). Произведения случайных величин: приложения к проблемам физики и арифметическим функциям . Marcel Dekker, Inc. ISBN 0-8247-5402-6.
• Париж, Р. Б.; Камински, Д. (2001). Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса . Cambridge University Press. ISBN 9780521790017.
• Полянин, АД; Манжиров, АВ (1998). Справочник по интегральным уравнениям . Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.
• Брейсвелл, Рональд Н. (2000). Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.).
• Эрдейи, Артур (1954). Таблицы интегральных преобразований . Т. 1. McGraw-Hill.
• Титчмарш, EC (1948). Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.).
• Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). "Преобразования Меллина и асимптотика: Гармонические суммы" (PDF) . Теоретическая информатика . 144 (1–2): 3–58. doi :10.1016/0304-3975(95)00002-e.
• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: Мир математических уравнений.
• «Преобразование Меллина», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Меллина». MathWorld .
• Некоторые применения преобразования Меллина в статистике (статья)

Внешние ссылки

• Филипп Флажоле, Ксавье Гурдон, Филипп Дюма, Преобразования Меллина и асимптотики: гармонические суммы.
• Антонио Гонсалес, Марко Ридель Celebrando un clásico, группа новостей es.ciencia.matematicas
• Хуан Сакердоти, Funciones Eulerianas (на испанском языке).
• Методы преобразования Меллина, Цифровая библиотека математических функций , 2011-08-29, Национальный институт стандартов и технологий
• Антонио Де Сена и Давиде Рокчессо, Быстрое преобразование Меллина с приложениями в DAFX