Простое расширение

В теории поля простое расширение — это расширение поля , возникающее в результате присоединения одного элемента, называемого примитивным элементом . Простые расширения хорошо изучены и могут быть полностью классифицированы.

Теорема о примитивном элементе дает характеристику конечных простых расширений.

Определение

Расширение поля L / K называется простым расширением , если в L существует элемент θ с

${\displaystyle L=K(\theta ).}$

Это означает, что каждый элемент L может быть выражен как рациональная дробь от θ с коэффициентами из K ; то есть он создается из θ и элементов K с помощью полевых операций +, −, •, / . Эквивалентно, L — наименьшее поле, содержащее как K , так и θ .

Существует два разных типа простых расширений (см. «Структура простых расширений» ниже).

Элемент θ может быть трансцендентным над K , что означает, что он не является корнем какого -либо многочлена с коэффициентами из K. В этом случае изоморфно полю рациональных функций ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K(X).}$

В противном случае θ алгебраична над K ; то есть θ является корнем многочлена над K . Монический полином минимальной степени n с корнем θ называется минимальным многочленом θ . Его степень равна степени расширения поля , то есть размерности L , рассматриваемой как K - векторное пространство . В этом случае каждый элемент может быть однозначно выражен как многочлен от θ степени меньше n и изоморфен факторкольцу ${\displaystyle p(X)}$ ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K[X]/(p(X)).}$

В обоих случаях элемент θ называется порождающим элементом или примитивным элементом расширения; говорят также, что L порождается над K посредством θ .

Например, каждое конечное поле является простым расширением простого поля той же характеристики . Точнее, если p — простое число, а поле из q элементов — простое расширение степени n . Фактически, L порождается как поле любым элементом θ , который является корнем неприводимого многочлена степени n в . ${\displaystyle q=p^{n},}$ ${\displaystyle L=\mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}.}$ ${\displaystyle K[X]}$

Однако в случае конечных полей термин « примитивный элемент» обычно зарезервирован для более сильного понятия, элемента γ , который порождает как мультипликативную группу , так что каждый ненулевой элемент L является степенью γ , т.е. получается из γ с использованием только групповая операция • . Чтобы различать эти значения, используется термин «генератор» или примитивный элемент поля для более слабого значения, оставляя «примитивный элемент» или групповой примитивный элемент для более сильного значения. ^[1] (См. Конечное поле § Мультипликативная структура и Примитивный элемент (конечное поле) ). ${\displaystyle L^{\times }=L-\{0\}}$

Структура простых расширений

Пусть L — простое расширение K , порожденное θ . Для кольца многочленов K [ X ] одним из его основных свойств является единственный гомоморфизм колец

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :K[X]&\rightarrow L\\f(X)&\mapsto f(\theta )\,.\end{aligned}}}$

Могут возникнуть два случая.

Если инъективно , то оно может быть инъективно продолжено до поля частных K ( X ) из K [ X ]. Поскольку L порождается θ , это означает, что это изоморфизм K ( X ) на L. Это означает, что каждый элемент L равен неприводимой дроби многочленов от θ и что две такие неприводимые дроби равны тогда и только тогда, когда можно перейти от одной к другой путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое значение. элемент К. _ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Если не инъективно, пусть p ( X ) — генератор его ядра , которое, таким образом, является минимальным полиномом θ . Образ является подкольцом L и, следовательно , областью целостности . Отсюда следует, что p — неприводимый многочлен и, следовательно, факторкольцо является полем. Поскольку L порождается θ , является сюръективным и индуцирует изоморфизм из на L. _ Это означает, что каждый элемент L равен уникальному многочлену от θ степени ниже степени . То есть у нас есть K- базис L , заданный формулой . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$ ${\displaystyle n=\operatorname {deg} p(X)}$ ${\displaystyle 1,\theta ,\theta ^{2},\ldots ,\theta ^{n-1}}$

Примеры

• C / R генерируется . ${\displaystyle \theta =i={\sqrt {-1}}}$
• Q ( ) / Q, генерируемый . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \theta ={\sqrt {2}}}$
• Любое числовое поле (т. е. конечное расширение Q ) является простым расширением Q ( θ ) для некоторого θ . Например, генерируется . ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})}$ ${\displaystyle \theta ={\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}$
• F ( X )/ F — поле рациональных функций, порождается формальной переменной X.

Смотрите также

• Сопутствующая матрица для карты умножения на простом расширении поля

Рекомендации

1. (Роман, 1995)

Литература

• Роман, Стивен (1995). Теория поля . Тексты для аспирантов по математике . Том. 158. Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94408-7. Збл  0816.12001.