Эллиптическое распределение

Семейство распределений, обобщающих многомерное нормальное распределение

В теории вероятности и статистике эллиптическое распределение — это любой член широкого семейства вероятностных распределений , которые обобщают многомерное нормальное распределение . Интуитивно понятно, что в упрощенном двухмерном и трехмерном случае совместное распределение образует эллипс и эллипсоид соответственно на графиках изоплотности.

В статистике нормальное распределение используется в классическом многомерном анализе , а эллиптические распределения используются в обобщенном многомерном анализе, для изучения симметричных распределений с хвостами, тяжелыми , как у многомерного t-распределения , или легкими (по сравнению с нормальным). распределение). Некоторые статистические методы, которые изначально были основаны на изучении нормального распределения, хорошо эффективны для общих эллиптических распределений (с конечной дисперсией), особенно для сферических распределений (которые определены ниже). Эллиптические распределения также используются в надежной статистике для оценки предлагаемых многомерных статистических процедур.

Определение

Эллиптические распределения определяются в терминах характеристической функции теории вероятностей. Случайный вектор в евклидовом пространстве имеет эллиптическое распределение , если его характеристическая функция удовлетворяет следующему функциональному уравнению (для каждого вектора-столбца ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \phi _{X-\mu }(t)=\psi (t'\Sigma t)}$

для некоторого параметра местоположения , некоторой неотрицательно-определенной матрицы и некоторой скалярной функции . ^[1] Определение эллиптических распределений для действительных случайных векторов было расширено для включения случайных векторов в евклидовых пространствах над полем комплексных чисел , что облегчает применение в анализе временных рядов . ^[2] Доступны вычислительные методы для генерации псевдослучайных векторов из эллиптических распределений, например, для использования в моделировании Монте-Карло . ^[3] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \psi }$

Некоторые эллиптические распределения альтернативно определяются через их функции плотности . Эллиптическое распределение с функцией плотности f имеет вид:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))}$

где - нормализующая константа , - -мерный случайный вектор со медианным вектором (который также является средним вектором, если последний существует) и - положительно определенная матрица , которая пропорциональна ковариационной матрице , если последняя существует. ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Примеры

Примеры включают следующие многомерные распределения вероятностей:

• Многомерное нормальное распределение
• Многомерное t -распределение
• Симметричное многомерное устойчивое распределение ^[5]
• Симметричное многомерное распределение Лапласа ^[6]
• Многовариантное логистическое распределение ^[7]
• Многомерное симметричное общее гиперболическое распределение ^[7]

Характеристики

В двумерном случае, если плотность существует, каждый локус изоплотности (набор пар x ₁ , x ₂ , дающих определенное значение ) представляет собой эллипс или объединение эллипсов (отсюда и название эллиптического распределения). В более общем смысле, для произвольного n локусы изоплотности представляют собой объединения эллипсоидов . Все эти эллипсоиды или эллипсы имеют общий центр ц и являются масштабированными копиями (гомотетами) друг друга. ${\displaystyle f(x)}$

Многомерное нормальное распределение является частным случаем, когда . Хотя многомерное нормальное является неограниченным (каждый элемент может принимать сколь угодно большие положительные или отрицательные значения с ненулевой вероятностью, поскольку для всех неотрицательных ), в целом эллиптические распределения могут быть ограниченными или неограниченными - такое распределение ограничено, если для все больше некоторого значения. ${\displaystyle g(z)=e^{-z/2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{-z/2}>0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle g(z)=0}$ ${\displaystyle z}$

Существуют эллиптические распределения с неопределенным средним значением , такие как распределение Коши (даже в одномерном случае). Поскольку переменная x входит в функцию плотности квадратично, все эллиптические распределения симметричны относительно ${\displaystyle \mu .}$

Если два подмножества совместно эллиптического случайного вектора некоррелированы , то, если их средние значения существуют, они являются средними, независимыми друг от друга (среднее значение каждого подвектора, зависящее от значения другого подвектора, равно безусловному среднему). ^{[8] : с. 748}

Если случайный вектор X распределен эллиптически, то так же распределен и DX для любой матрицы D с полным рангом строки . Таким образом, любая линейная комбинация компонентов X является эллиптической (хотя и не обязательно с одинаковым эллиптическим распределением), а любое подмножество X является эллиптическим. ^{[8] : с. 748}

Приложения

Эллиптические распределения используются в статистике и экономике.

В математической экономике эллиптические распределения использовались для описания портфелей в математических финансах . ^{[9] [10]}

Статистика: обобщенный многомерный анализ

В статистике многомерное нормальное распределение (Гаусса) используется в классическом многомерном анализе , в котором большинство методов оценки и проверки гипотез основаны на нормальном распределении. В отличие от классического многомерного анализа, обобщенный многомерный анализ относится к исследованию эллиптических распределений без ограничения нормальности.

Для подходящих эллиптических распределений некоторые классические методы продолжают обладать хорошими свойствами. ^{[11] [12]} При предположениях конечной дисперсии справедливо расширение теоремы Кокрена (о распределении квадратичных форм). ^[13]

Сферическое распределение

Эллиптическое распределение с нулевым средним значением и дисперсией в форме где – единичная матрица, называется сферическим распределением . ^[14] Для сферических распределений были расширены классические результаты по оценке параметров и проверке гипотез. ^{[15] [16]} Аналогичные результаты справедливы для линейных моделей , ^[17] , а также для сложных моделей (особенно для модели кривой роста ). Анализ многомерных моделей использует полилинейную алгебру (в частности , произведение Кронекера и векторизацию ) и матричное исчисление . ^{[12] [18] [19]} ${\displaystyle \alpha I}$ ${\displaystyle I}$

Надежная статистика: асимптотика

Другое использование эллиптических распределений - это робастная статистика , в которой исследователи изучают, как статистические процедуры работают с классом эллиптических распределений, чтобы получить представление об эффективности процедур в еще более общих задачах, ^[20] , например, с помощью предельной теории статистика («асимптотика»). ^[21]

Экономика и финансы

Эллиптические распределения важны в теории портфеля, потому что, если доходность всех активов, доступных для формирования портфеля, совместно распределена эллиптически, то все портфели можно полностью охарактеризовать по их местоположению и масштабу, то есть любые два портфеля с одинаковым местоположением и масштабом портфеля. доходности имеют одинаковое распределение доходности портфеля. ^{[22] [8]} Различные особенности портфельного анализа, включая теоремы о разделении взаимных фондов и модель ценообразования капитальных активов , справедливы для всех эллиптических распределений. ^{[8] : с. 748}

Примечания

1. Камбанис, Хуан и Саймонс (1981, стр. 368)
2. Фанг, Коц и Нг (1990, глава 2.9 «Сложные эллиптически симметричные распределения», стр. 64-66)
3. Джонсон (1987, Глава 6, «Эллиптически очерченные распределения», стр. 106–124): Джонсон, Марк Э. (1987). Многомерное статистическое моделирование: руководство по выбору и созданию непрерывных многомерных распределений . Джон Уайли и сыновья., «на удивление ясное обсуждение» согласно Фангу, Коцу и Нгу (1990, стр. 27).
4. Фрам Г., Юнкер М. и Симайер А. (2003). Эллиптические копулы: применимость и ограничения. Письма о статистике и вероятности , 63 (3), 275–286.
5. Нолан, Джон (29 сентября 2014 г.). «Многомерные стабильные плотности и функции распределения: общий и эллиптический случай» . Проверено 26 мая 2017 г.
6. Паскаль, Ф.; и другие. (2013). «Оценка параметров многомерных обобщенных гауссовских распределений». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 61 (23): 5960–5971. arXiv : 1302.6498 . Бибкод : 2013ITSP...61.5960P. дои :10.1109/TSP.2013.2282909. S2CID  3909632.
7. Шмидт, Рафаэль (2012). «Моделирование и оценка кредитного риска с помощью эллиптических копул». В Боле, Джордж; и другие. (ред.). Кредитный риск: измерение, оценка и управление . Спрингер. п. 274. ИСБН 9783642593659.
8. Оуэн и Рабинович (1983)
9. (Гупта, Варга и Боднар, 2013)
10. (Чемберлен 1983; Оуэн и Рабинович 1983)
11. Андерсон (2004, Последний раздел текста (перед «Проблемы»), который всегда озаглавлен «Эллиптически контурные распределения», из следующих глав: Главы 3 («Оценка среднего вектора и ковариационной матрицы», Раздел 3.6, стр. 101-108), 4 («Распределение и использование выборочных коэффициентов корреляции», раздел 4.5, стр. 158-163), 5 («Обобщенная Т ² -статистика», раздел 5.7, стр. 199-201) , 7 («Распределение выборочной ковариационной матрицы и выборочной обобщенной дисперсии», раздел 7.9, стр. 242-248), 8 («Проверка общей линейной гипотезы; многомерный дисперсионный анализ», раздел 8.11, стр. 370- 374), 9 («Проверка независимости наборов переменных», раздел 9.11, стр. 404-408), 10 («Проверка гипотез о равенстве ковариационных матриц и равенстве векторов средних и векторов ковариации», раздел 10.11, стр. 449). -454), 11 («Главные компоненты», раздел 11.8, стр. 482-483), 13 («Распределение характеристических корней и векторов», раздел 13.8, стр. 563-567))
12. Фанг и Чжан (1990)
13. Фанг и Чжан (1990, глава 2.8 «Распределение квадратичных форм и теорема Кокрена», стр. 74-81)
14. Фанг и Чжан (1990, глава 2.5 «Сферические распределения», стр. 53-64)
15. Фанг и Чжан (1990, глава IV «Оценка параметров», стр. 127-153)
16. Фанг и Чжан (1990, глава V «Проверка гипотез», стр. 154-187)
17. Фанг и Чжан (1990, глава VII «Линейные модели», стр. 188-211)
18. Пан и Клык (2007, стр. ii)
19. Колло и фон Розен (2005, стр. xiii)
20. Кария, Такеаки; Синха, Бимал К. (1989). Надежность статистических тестов . Академическая пресса. ISBN 0123982308.
21. Колло и фон Розен (2005, стр. 221)
22. Чемберлен (1983)

Рекомендации

• Андерсон, Т.В. (2004). Введение в многомерный статистический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 9789812530967.
• Камбанис, Стаматис; Хуанг, Сталь; Саймонс, Гордон (1981). «К теории эллиптически контурных распределений». Журнал многомерного анализа . 11 (3): 368–385. дои : 10.1016/0047-259x(81)90082-8 .
• Чемберлен, Гэри (февраль 1983 г.). «Характеристика распределений, которые подразумевают среднее значение - функции полезности дисперсии». Журнал экономической теории . 29 (1): 185–201. дои : 10.1016/0022-0531(83)90129-1.
• Фанг, Кай-Тай; Чжан, Яо-Тин (1990). Обобщенный многомерный анализ . Science Press (Пекин) и Springer-Verlag (Берлин). ISBN 3540176519. ОКЛК  622932253.
• Фанг, Кай-Тай ; Коц, Сэмюэл ; Нг, Кай Ван («Кай-Ван» на обложке) (1990). Симметричные многомерные и родственные распределения . Монографии по статистике и прикладной вероятности. Том. 36. Лондон: Чепмен и Холл. ISBN 0-412-314-304. ОСЛК  123206055.
• Гупта, Арджун К.; Варга, Тамас; Боднар, Тарас (2013). Эллиптические модели в статистике и теории портфеля (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4614-8154-6. ISBN 978-1-4614-8153-9.

  Первоначально Гупта, Арджун К.; Варга, Тамас (1993). Эллиптические модели в статистике . Математика и ее приложения (1-е изд.). Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0792326083.

• Колло, Тыну; фон Розен, Дитрих (2005). Расширенная многомерная статистика с матрицами . Дордрехт: Спрингер. ISBN 978-1-4020-3418-3.
• Оуэн, Джоэл; Рабинович, Рамон (июнь 1983 г.). «О классе эллиптических распределений и их приложениях к теории выбора портфеля». Журнал финансов . 38 (3): 745–752. дои : 10.2307/2328079. JSTOR  2328079.
• Пан, Цзяньсинь; Фанг, Кайтай (2007). Модели кривой роста и статистическая диагностика (PDF) . Ряд Спрингера в статистике. Science Press (Пекин) и Springer-Verlag (Нью-Йорк). дои : 10.1007/978-0-387-21812-0. ISBN 9780387950532. ОСЛК  44162563.

дальнейшее чтение

• Фанг, Кай-Тай ; Андерсон, Т.В. , ред. (1990). Статистический вывод в эллиптических и связанных с ними распределениях . Нью-Йорк: Аллертон Пресс. ISBN 0898640482. ОСЛК  20490516.Сборник документов.