Задача о складывании салфетки — это задача в геометрии и математике складывания бумаги , которая исследует, можно ли сложить квадратную или прямоугольную салфетку, чтобы увеличить ее периметр . Задача известна под несколькими названиями, включая задачу о салфетке Маргулиса , предполагающую, что она принадлежит Григорию Маргулису , и задачу Арнольда о рубле, ссылающуюся на Владимира Арнольда и складывание российской рублевой банкноты. Это первая задача, перечисленная Арнольдом в его книге « Проблемы Арнольда» , где он называет ее задачей о помятом долларе . [1] Некоторые версии задачи были решены Робертом Дж. Лэнгом , Светланой Крат, Алексеем С. Тарасовым и Иваном Ященко. Одна из форм задачи остается открытой.
Существует несколько способов определения понятия складывания , дающих различные толкования. По соглашению салфетка всегда представляет собой единичный квадрат .
Рассматривая складывание как отражение вдоль линии, отражающей все слои салфетки, периметр всегда не увеличивается, поэтому никогда не превышает 4. [1] [2] [3]
Рассматривая более общие складывания, которые, возможно, отражают только один слой салфетки (в этом случае каждое складывание является отражением связанного компонента сложенной салфетки с одной стороны прямой линии), все еще остается открытым вопрос, может ли последовательность этих складываний увеличить периметр. [4] Другими словами, все еще неизвестно, существует ли решение, которое можно сложить, используя некоторую комбинацию горных складок, долинных складок, обратных складок и/или складок-ракушек (при этом все складки в последних двух случаях образуются вдоль одной линии). Также неизвестно, конечно, будет ли такая складка возможна с использованием более ограниченного чистоземельного оригами .
Можно попросить о реализуемой конструкции в рамках ограничений жесткого оригами , где салфетка никогда не растягивается при складывании. В 2004 году А. Тарасов показал, что такие конструкции действительно могут быть получены. Это можно считать полным решением исходной задачи. [5]
Можно задаться вопросом, существует ли сложенная плоская салфетка (независимо от того, как она была сложена в такую форму).
Роберт Дж. Лэнг в 1997 году [2] показал , что несколько классических конструкций оригами приводят к простому решению. [6] [7] Фактически, Лэнг показал, что периметр можно сделать сколь угодно большим, усложнив конструкцию, при этом все равно получая плоское сложенное решение. Однако его конструкции не обязательно являются жесткими оригами из-за использования складок с углублением и связанных с ними форм. Хотя в складках с углублением и без углубления не требуется растяжения, часто (хотя и не всегда) необходимо изгибать грани и/или непрерывно прокладывать одну или несколько складок через бумагу на промежуточных этапах, прежде чем получить плоский результат. Существует ли общее жестко складываемое решение на основе складок с углублением, является открытой проблемой. [ требуется ссылка ]
В 1998 году И. Ященко построил 3D-складку с проекцией на плоскость, имеющую больший периметр. [3]
Такой же вывод сделала Светлана Крат. Ее подход иной, она дает очень простую конструкцию "смятия", которая увеличивает периметр, а затем доказывает, что любое "смятие" может быть сколь угодно хорошо аппроксимировано "складыванием". По сути, она показывает, что точные детали того, как делать складки, не имеют большого значения, если допускается растяжение на промежуточных этапах. [8]
Ланг придумал два разных решения. [6] [9] Оба решения включали в себя тонувшие клапаны и поэтому не обязательно были жестко складывающимися. Самое простое решение было основано на основе оригами-птицы и давало решение с периметром около 4,12 по сравнению с исходным периметром 4.
Второе решение можно использовать для создания фигуры с периметром любого желаемого размера. Он делит квадрат на большое количество меньших квадратов и использует конструкцию оригами типа « морской еж », описанную в его книге 1990 года «Оригами морской жизни » . [9] Показанный рисунок сгиба соответствует случаю n = 5 и может использоваться для создания плоской фигуры с 25 крыльями, по одному на каждый из больших кругов, а опускание используется для их утончения. Когда они очень тонкие, 25 лучей дадут 25-конечную звезду с маленьким центром и периметром, приближающимся к N 2 /( N − 1). В случае N = 5 это около 6,25, а общая длина увеличивается примерно как N . [10]
Арнольд утверждает в своей книге « Проблемы Арнольда » , что он сформулировал эту проблему в 1956 году. [1] [11] Он назвал ее «проблемой помятого рубля» (или, в английском издании книги, «проблемой помятого доллара»), и это была первая из многих интересных задач, которые он ставил на семинарах в Москве в течение 40 лет. На Западе она стала известна как проблема салфетки Маргулис после публикации Джима Проппа в группе новостей в 1996 году. [2] [3] [7] Несмотря на внимание, она получила статус фольклора , а ее происхождение часто называют «неизвестным». [3]