Строго положительная мера

В математике строгая положительность — это концепция в теории меры . Интуитивно, строго положительная мера — это та, которая «нигде не равна нулю» или равна нулю «только в точках».

Определение

Пусть будет хаусдорфовым топологическим пространством и пусть будет -алгеброй на , содержащей топологию (так что каждое открытое множество является измеримым множеством и по крайней мере столь же тонким, как борелевская -алгебра на ). Тогда мера на называется строго положительной , если каждое непустое открытое подмножество имеет строго положительную меру. ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$

Более кратко, строго положительно тогда и только тогда, когда для всех таких, что ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U\in T}$ ${\displaystyle U\neq \varnothing ,\mu (U)>0.}$

Примеры

• Мера подсчета на любом множестве (с любой топологией) строго положительна. ${\displaystyle X}$
• Мера Дирака обычно не является строго положительной, если только топология не является особенно «грубой» (не содержит «мало» множеств). Например, на вещественной прямой с ее обычной топологией Бореля и -алгеброй не является строго положительной; однако, если снабжена тривиальной топологией, то является строго положительной. Этот пример иллюстрирует важность топологии в определении строгой положительности. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T=\{\varnothing ,\mathbb {R} \},}$ ${\displaystyle \delta _{0}}$
• Гауссова мера на евклидовом пространстве (с его топологией Бореля и -алгеброй) строго положительна. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$
  • Мера Винера на пространстве непрерывных путей в является строго положительной мерой — мера Винера является примером гауссовой меры на бесконечномерном пространстве. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Мера Лебега на (с ее топологией Бореля и -алгеброй) строго положительна. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$
• Тривиальная мера никогда не бывает строго положительной, независимо от используемого пространства или топологии, за исключением случаев, когда она пуста. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

• Если и — две меры на измеримом топологическом пространстве со строго положительным и также абсолютно непрерывным относительно , ​​то также строго положительно. Доказательство простое: пусть — произвольное открытое множество; поскольку также строго положительно, по абсолютной непрерывности . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (U)>0;}$ ${\displaystyle \nu (U)>0}$
• Следовательно, строгая положительность является инвариантом относительно эквивалентности мер .

Смотрите также

• Носитель (теория меры)  — понятие в математике: мера строго положительна тогда и только тогда, когда ее носителем является все пространство.

Ссылки