Неопределенная форма

Выражение в математическом анализе

Неопределенная форма — это математическое выражение, которое может принимать любое значение в зависимости от обстоятельств. В исчислении обычно можно вычислить предел суммы, разности, произведения, частного или степени двух функций, взяв соответствующую комбинацию отдельных пределов каждой соответствующей функции. Например,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to c}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}&=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x),\\[3mu]\lim _{x\to c}{\bigl (}f(x)g(x){\bigr )}&=\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x),\end{aligned}}}$$

и аналогично для других арифметических операций; это иногда называют алгебраической предельной теоремой . Однако, некоторые комбинации конкретных предельных значений не могут быть вычислены таким образом, и знание предела каждой функции в отдельности недостаточно для определения предела комбинации. В этих конкретных ситуациях говорят, что предел принимает неопределенную форму , описываемую одним из неформальных выражений

$${\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ or }}\infty ^{0},}$$

где каждое выражение обозначает предел функции, построенной с помощью арифметической комбинации двух функций, пределы которых соответственно стремятся к ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1,}$ или ⁠ ⁠, ${\displaystyle \infty }$ как указано. ^[1]

Предел, принимающий одну из этих неопределенных форм, может стремиться к нулю, может стремиться к любому конечному значению, может стремиться к бесконечности или может расходиться, в зависимости от конкретных задействованных функций. Предел, который однозначно стремится к бесконечности, например, не считается неопределенным. ^[2] Этот термин был первоначально введен учеником Коши Муаньо в середине 19-го века. ${\textstyle \lim _{x\to 0}1/x^{2}=\infty ,}$

Наиболее распространенным примером неопределенной формы является частное двух функций, каждая из которых сходится к нулю. Эта неопределенная форма обозначается как . Например, при приближении отношения , , и переходят в , , и соответственно. В каждом случае, если подставить пределы числителя и знаменателя, результирующее выражение будет , которое является неопределенным. В этом смысле может принимать значения , , или , путем соответствующего выбора функций для подстановки в числитель и знаменатель. Пара функций, для которых пределом является любое конкретное заданное значение, может быть фактически найдена. Еще более удивительным, возможно, является то, что частное двух функций может фактически расходиться, а не просто расходиться в бесконечность. Например, . ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle x/x^{3}}$ ${\displaystyle x/x}$ ${\displaystyle x^{2}/x}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x\sin(1/x)/x}$

Поэтому тот факт, что две функции и сходятся к при приближении к некоторой предельной точке , недостаточен для определения предела ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.}$

Выражение, которое возникает способами, отличными от применения алгебраической предельной теоремы, может иметь ту же форму неопределенной формы. Однако неуместно называть выражение «неопределенной формой», если выражение сделано вне контекста определения пределов. Примером является выражение . Оставлено ли это выражение неопределенным или определено равным , зависит от области применения и может различаться у разных авторов. Подробнее см. статью Ноль в степени нуля . Обратите внимание, что и другие выражения, включающие бесконечность, не являются неопределенными формами. ${\displaystyle 0^{0}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0^{\infty }}$

Некоторые примеры и не примеры

Неопределенная форма 0/0

• 
  Рис. 1: y = ⁠х/х⁠
• 
  Рис. 2: у = ⁠х ²/х⁠
• 
  Рис. 3: у = ⁠грех  х/х⁠
• 
  Рис. 4: у = ⁠х − 49/√ х − 7⁠ (для х = 49)
• 
  Рис. 5: у = ⁠а х/х⁠ где а = 2
• 
  Рис. 6: у = ⁠х/х ³⁠

Неопределенная форма особенно распространена в исчислении , поскольку она часто возникает при оценке производных с использованием их определения в терминах предела. ${\displaystyle 0/0}$

Как уже упоминалось выше,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad }$(см. рис. 1)

пока

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad }$(см. рис. 2)

Этого достаточно, чтобы показать, что это неопределенная форма. Другие примеры с этой неопределенной формой включают ${\displaystyle 0/0}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad }$(см. рис. 3)

и

${\displaystyle \lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad }$(см. рис. 4)

Прямая подстановка числа, которое подходит, в любое из этих выражений показывает, что это примеры, соответствующие неопределенной форме , но эти пределы могут принимать много разных значений. Любое желаемое значение может быть получено для этой неопределенной формы следующим образом: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {ax}{x}}=a.\qquad }$(см. рис. 5)

Значение также можно получить (в смысле расходимости к бесконечности): ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad }$(см. рис. 6)

Неопределенная форма 00

Следующие пределы иллюстрируют, что выражение является неопределенной формой: ${\displaystyle 0^{0}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}&=1,\\\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}&=0.\end{aligned}}}$$

Таким образом, в общем случае, знание того, что и недостаточно для оценки предела ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0}$ ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0}$ $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}.}$$

Если функции и являются аналитическими при , а положительна для достаточно близкого (но не равного) значения , то предел будет равен . ^[3] В противном случае используйте преобразование в таблице ниже, чтобы оценить предел. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ ${\displaystyle 1}$

Выражения, не являющиеся неопределенными формами

Выражение обычно не рассматривается как неопределенная форма, потому что если предел существует, то нет никакой двусмысленности относительно его значения, так как оно всегда расходится. В частности, если приближается и приближается , то и можно выбрать так, чтобы: ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

1. ${\displaystyle f/g}$подходы ${\displaystyle +\infty }$
2. ${\displaystyle f/g}$подходы ${\displaystyle -\infty }$
3. Предела не существует.

В каждом случае абсолютное значение приближается к , и поэтому частное должно расходиться в смысле расширенных действительных чисел (в рамках проективно расширенной действительной прямой пределом является беззнаковая бесконечность во всех трех случаях ^[4] ). Аналогично, любое выражение вида с (включая и ) не является неопределенной формой, поскольку частное, порождающее такое выражение, всегда будет расходиться. ${\displaystyle |f/g|}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle a/0}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle a=+\infty }$ ${\displaystyle a=-\infty }$

Выражение не является неопределенной формой. Выражение, полученное из рассмотрения, дает предел при условии, что остается неотрицательным при приближении к . Выражение аналогично эквивалентно ; если при приближении к , предел получается как . ${\displaystyle 0^{\infty }}$ ${\displaystyle 0^{+\infty }}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0^{-\infty }}$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle f(x)>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle +\infty }$

Чтобы понять, почему, пусть где и Взяв натуральный логарифм обеих сторон и используя, мы получаем, что означает, что ${\displaystyle L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=0,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,}$ ${\displaystyle \ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,}$ ${\displaystyle L={e}^{-\infty }=0.}$

Оценка неопределенных форм

Прилагательное неопределенный не подразумевает , что предел не существует, как показывают многие из приведенных выше примеров. Во многих случаях алгебраическое исключение, правило Лопиталя или другие методы могут быть использованы для манипулирования выражением так, чтобы предел мог быть оценен.

Эквивалентная бесконечно малая величина

Когда две переменные и сходятся к нулю в одной и той же предельной точке и , они называются эквивалентными бесконечно малыми (эквив. ). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1}$ ${\displaystyle \alpha \sim \beta }$

При этом если переменные и таковы, что и , то: ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \beta '}$ ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$

${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$

Вот краткое доказательство:

Предположим, что имеются две эквивалентные бесконечно малые величины и . ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$

$${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$$

Для оценки неопределенной формы можно воспользоваться следующими фактами об эквивалентных бесконечно малых величинах (например, если x становится ближе к нулю): ^[5] ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle x\sim \sin x}$

${\displaystyle x\sim \sin x,}$

${\displaystyle x\sim \arcsin x,}$

${\displaystyle x\sim \sinh x,}$

${\displaystyle x\sim \tan x,}$

${\displaystyle x\sim \arctan x,}$

${\displaystyle x\sim \ln(1+x),}$

${\displaystyle 1-\cos x\sim {\frac {x^{2}}{2}},}$

${\displaystyle \cosh x-1\sim {\frac {x^{2}}{2}},}$

${\displaystyle a^{x}-1\sim x\ln a,}$

${\displaystyle e^{x}-1\sim x,}$

${\displaystyle (1+x)^{a}-1\sim ax.}$

Например:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}$$

Во 2-м равенстве, где по мере приближения y к 0, используется , а в 4-м равенстве используется , а в 5-м равенстве используется . ${\displaystyle e^{y}-1\sim y}$ ${\displaystyle y=x\ln {2+\cos x \over 3}}$ ${\displaystyle y\sim \ln {(1+y)}}$ ${\displaystyle y={{\cos x-1} \over 3}}$ ${\displaystyle 1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}}$

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя — это общий метод оценки неопределенных форм и . Это правило гласит, что (при соответствующих условиях) ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle \infty /\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$

где и являются производными от и . (Обратите внимание, что это правило не применяется к выражениям , и так далее, поскольку эти выражения не являются неопределенными формами.) Эти производные позволят выполнить алгебраическое упрощение и в конечном итоге оценить предел. ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \infty /0}$ ${\displaystyle 1/0}$

Правило Лопиталя можно также применить к другим неопределенным формам, используя сначала соответствующее алгебраическое преобразование. Например, для оценки формы 0 ⁰ :

${\displaystyle \ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.}$

Правая часть имеет вид , поэтому к ней применимо правило Лопиталя. Обратите внимание, что это уравнение справедливо (при условии, что правая часть определена), поскольку натуральный логарифм (ln) является непрерывной функцией ; неважно, насколько хорошо себя ведет и может (или не может) быть, пока асимптотически положительна. (область логарифмов — это множество всех положительных действительных чисел.) ${\displaystyle \infty /\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Хотя правило Лопиталя применимо к обоим и , одна из этих форм может быть более полезной, чем другая, в конкретном случае (из-за возможности алгебраического упрощения впоследствии). Можно перейти от одной формы к другой, преобразовав ее в . ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle \infty /\infty }$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle (1/g)/(1/f)}$

Список неопределенных форм

В следующей таблице перечислены наиболее распространённые неопределённые формы и преобразования для применения правила Лопиталя.

Смотрите также

• Определенные и неопределенные
• Деление на ноль
• Расширенная действительная числовая прямая
• Неопределенное уравнение
• Неопределенная система
• Неопределенный (переменный)
• Правило Лопиталя

Ссылки

Цитаты

1. Варберг, Перселл и Ригдон (2007), стр. 423, 429, 430, 431, 432.
2. Weisstein, Eric W. "Indeterminate". mathworld.wolfram.com . Получено 2019-12-02 .
3. Луис М. Ротандо; Генри Корн (январь 1977). «Неопределенная форма 0 ⁰ ». Mathematics Magazine . 50 (1): 41–42. doi :10.2307/2689754. JSTOR  2689754.
4. «Неопределенное против неопределенного в математике». www.cut-the-knot.org . Получено 2019-12-02 .
5. "Таблица эквивалентных бесконечно малых" (PDF) . Vaxa Software .

Библиографии

• Варберг, Дейл Э.; Перселл, Эдвин Дж.; Ригдон, Стивен Э. (2007). Исчисление (9-е изд.). Пирсон Прентис Холл . ISBN 978-0131469686.