Теория Эйнштейна–Картана

Классическая теория гравитации

В теоретической физике теория Эйнштейна–Картана , также известная как теория Эйнштейна–Картана–Сиамы–Киббла , является классической теорией гравитации , одной из нескольких альтернатив общей теории относительности . ^[1] Теория была впервые предложена Эли Картаном в 1922 году.

Обзор

Теория Эйнштейна–Картана отличается от общей теории относительности двумя способами:

(1) она сформулирована в рамках геометрии Римана–Картана, которая обладает локально калиброванной симметрией Лоренца, в то время как общая теория относительности сформулирована в рамках римановой геометрии, которая таковой не обладает;

(2) вводится дополнительный набор уравнений, связывающих кручение со спином.

Эту разницу можно учесть

общая теория относительности (Эйнштейн–Гильберт) → общая теория относительности (Палатини) → Эйнштейн–Картан

во-первых, переформулировав общую теорию относительности в геометрию Римана–Картана, заменив действие Эйнштейна–Гильберта над римановой геометрией на действие Палатини над геометрией Римана–Картана; и, во-вторых, удалив ограничение нулевого кручения из действия Палатини, что приводит к дополнительному набору уравнений для спина и кручения, а также к добавлению дополнительных членов, связанных со спином, в сами уравнения поля Эйнштейна.

Теория общей теории относительности была первоначально сформулирована в рамках римановой геометрии действием Эйнштейна–Гильберта , из которого возникают уравнения поля Эйнштейна . Во время ее первоначальной формулировки не существовало концепции геометрии Римана–Картана. Также не было достаточного понимания концепции калибровочной симметрии , чтобы понять, что римановы геометрии не обладают необходимой структурой для воплощения локально калиброванной симметрии Лоренца , такой, которая потребовалась бы для выражения уравнений непрерывности и законов сохранения для вращательных и бустовых симметрий или для описания спиноров в искривленных геометриях пространства-времени. Результатом добавления этой инфраструктуры является геометрия Римана–Картана. В частности, для описания спиноров требуется включение спиновой структуры , которой достаточно для создания такой геометрии.

Главное различие между геометрией Римана–Картана и римановой геометрией заключается в том, что в первой аффинная связность не зависит от метрики, тогда как во второй она выводится из метрики как связность Леви-Чивиты , причем различие между ними называется кручением . В частности, антисимметричная часть связности (называемая кручением ) равна нулю для связностей Леви-Чивиты, что является одним из определяющих условий для таких связностей.

Поскольку кручение может быть выражено линейно в терминах кручения, то также возможно напрямую перевести действие Эйнштейна–Гильберта в геометрию Римана–Картана, результатом чего будет действие Палатини (см. также вариацию Палатини ). Оно выводится путем переписывания действия Эйнштейна–Гильберта в терминах аффинной связности, а затем отдельного наложения ограничения, которое заставляет как кручение, так и кручение быть равными нулю, что, таким образом, заставляет аффинную связность быть равной связности Леви-Чивиты. Поскольку это прямой перевод уравнений действия и поля общей теории относительности, выраженных в терминах связности Леви-Чивиты, это можно рассматривать как саму теорию общей теории относительности, перенесенную в рамки геометрии Римана–Картана.

Теория Эйнштейна–Картана ослабляет это условие и, соответственно, ослабляет предположение общей теории относительности о том, что аффинная связь имеет исчезающую антисимметричную часть ( тензор кручения ). Используемое действие такое же, как действие Палатини, за исключением того, что ограничение на кручение снимается. Это приводит к двум отличиям от общей теории относительности:

(1) уравнения поля теперь выражаются в терминах аффинной связности, а не связности Леви-Чивиты, и поэтому в уравнениях поля Эйнштейна появляются дополнительные члены, включающие искривление, которые отсутствуют в уравнениях поля, полученных из формулировки Палатини;

(2) теперь присутствует дополнительный набор уравнений, который связывает кручение с собственным угловым моментом ( спином ) материи, во многом таким же образом, как аффинная связь связана с энергией и импульсом материи.

В теории Эйнштейна–Картана кручение теперь является переменной в принципе стационарного действия , которое связано с искривленной пространственно-временной формулировкой спина ( тензор спина ). Эти дополнительные уравнения выражают кручение линейно в терминах тензора спина, связанного с источником материи, что подразумевает, что кручение обычно не равно нулю внутри материи.

Следствием линейности является то, что вне материи кручение равно нулю, так что внешняя геометрия остается такой же, как и та, что описывается в общей теории относительности. Различия между теорией Эйнштейна–Картана и общей теорией относительности (сформулированной либо в терминах действия Эйнштейна–Гильберта на римановой геометрии, либо в терминах действия Палатини на геометрии Римана–Картана) основываются исключительно на том, что происходит с геометрией внутри источников материи. То есть: «кручение не распространяется». Были рассмотрены обобщения действия Эйнштейна–Картана, которые допускают распространение кручения. ^[2]

Поскольку геометрии Римана–Картана имеют симметрию Лоренца как локальную калибровочную симметрию, можно сформулировать соответствующие законы сохранения. В частности, рассмотрение метрических и торсионных тензоров как независимых переменных дает правильное обобщение закона сохранения для полного (орбитального плюс собственного) углового момента на наличие гравитационного поля.

История

Теория была впервые предложена Эли Картаном в 1922 году ^[3] и изложена в последующие несколько лет. ^{[4] [5] [6]} Альберт Эйнштейн присоединился к теории в 1928 году во время своей безуспешной попытки сопоставить кручение с тензором электромагнитного поля как часть единой теории поля. Это направление мысли привело его к связанной, но другой теории телепараллелизма . ^[7]

Деннис Скиама ^[8] и Том Киббл ^[9] независимо друг от друга пересмотрели эту теорию в 1960-х годах, и важный обзор был опубликован в 1976 году. ^[10]

Теория Эйнштейна–Картана исторически была затмеваема своим аналогом без кручения и другими альтернативами, такими как теория Бранса–Дикке, поскольку кручение, по-видимому, добавляло мало предсказательной выгоды за счет послушности ее уравнений. Поскольку теория Эйнштейна–Картана является чисто классической, она также не полностью решает проблему квантовой гравитации . В теории Эйнштейна–Картана уравнение Дирака становится нелинейным. ^[11] Несмотря на то, что известные физики, такие как Стивен Вайнберг , «никогда не понимали, что такого важного физически в возможности кручения в дифференциальной геометрии», другие физики утверждают, что теории с кручением являются ценными. ^[12] Теория косвенно повлияла на петлевую квантовую гравитацию (и, похоже, также повлияла на теорию твисторов ^[13] ).

Уравнения поля

Уравнения поля Эйнштейна общей теории относительности можно вывести, постулируя действие Эйнштейна–Гильберта как истинное действие пространства-времени, а затем варьируя это действие относительно метрического тензора. Уравнения поля теории Эйнштейна–Картана исходят из точно такого же подхода, за исключением того, что предполагается общая асимметричная аффинная связь вместо симметричной связи Леви-Чивиты (т. е. предполагается, что пространство-время имеет кручение в дополнение к кривизне ), а затем метрика и кручение изменяются независимо.

Пусть представляем лагранжеву плотность материи и представляем лагранжеву плотность гравитационного поля. Лагранжева плотность для гравитационного поля в теории Эйнштейна–Картана пропорциональна скаляру Риччи : ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }={\frac {1}{2\kappa }}R{\sqrt {|g|}}}$

${\displaystyle S=\int \left({\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right)\,d^{4}x,}$

где — определитель метрического тензора, а — физическая константа, включающая гравитационную постоянную и скорость света . По принципу Гамильтона вариация полного действия для гравитационного поля и материи равна нулю: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 8\pi G/c^{4}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \delta S=0.}$

Изменение относительно метрического тензора приводит к уравнениям Эйнштейна: ${\displaystyle g^{ab}}$

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }}{\delta g^{ab}}}-{\frac {1}{2}}P_{ab}=0}$

где — тензор Риччи , а — канонический тензор напряжения-энергии-импульса . Тензор Риччи больше не симметричен, поскольку связь содержит ненулевой тензор кручения; следовательно, правая часть уравнения также не может быть симметричной, что подразумевает, что должно включать асимметричный вклад, который, как можно показать, связан с тензором спина . Этот канонический тензор энергии-импульса связан с более знакомым симметричным тензором энергии-импульса процедурой Белинфанте–Розенфельда . ${\displaystyle R_{ab}}$ ${\displaystyle P_{ab}}$ ${\displaystyle P_{ab}}$

Изменение относительно тензора кручения приводит к уравнениям спиновой связи Картана ${\displaystyle {T^{ab}}_{c}}$

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }}{\delta {T^{ab}}_{c}}}-{\frac {1}{2}}{\sigma _{ab}}^{c}=0}$

где — тензор спина. Поскольку уравнение кручения является алгебраическим ограничением , а не частным дифференциальным уравнением , поле кручения не распространяется как волна и исчезает вне материи. Поэтому, в принципе, кручение можно алгебраически исключить из теории в пользу тензора спина, который порождает эффективное нелинейное самовзаимодействие «спин–спин» внутри материи. Кручение равно своему исходному члену и может быть заменено границей или топологической структурой с горловиной, такой как «кротовая нора». ^[14] ${\displaystyle {\sigma _{ab}}^{c}}$

Избегание сингулярностей

В последнее время интерес к теории Эйнштейна-Картана был смещен в сторону космологических последствий, наиболее важным из которых является избежание гравитационной сингулярности в начале Вселенной, например, в космологии черной дыры , ^[15] статической Вселенной , ^[16] или циклической модели . ^[17]

Теоремы о сингулярности, которые предполагаются и формулируются в рамках римановой геометрии (например, теоремы о сингулярности Пенроуза–Хокинга ), не обязательно должны выполняться в геометрии Римана–Картана. Следовательно, теория Эйнштейна–Картана способна избежать общерелятивистской проблемы сингулярности при Большом взрыве . ^{[18] [19]} Минимальная связь между торсионными и дираковскими спинорами порождает эффективное нелинейное спин-спиновое самовзаимодействие, которое становится существенным внутри фермионной материи при чрезвычайно высоких плотностях. Предполагается, что такое взаимодействие заменяет сингулярный Большой взрыв на подобный каспу Большой отскок при минимальном, но конечном масштабном факторе , до которого наблюдаемая Вселенная сжималась. Этот сценарий также объясняет, почему нынешняя Вселенная в самых больших масштабах кажется пространственно плоской, однородной и изотропной, что обеспечивает физическую альтернативу космической инфляции . Кручение позволяет фермионам быть пространственно протяженными вместо «точечных» , что помогает избежать образования сингулярностей, таких как черные дыры , и устраняет ультрафиолетовую расходимость в квантовой теории поля. ^[20] Согласно общей теории относительности, гравитационный коллапс достаточно компактной массы образует сингулярную черную дыру. В теории Эйнштейна–Картана, вместо этого, коллапс достигает отскока и образует регулярный мост Эйнштейна–Розена ( кротовую нору ) к новой, растущей вселенной по другую сторону горизонта событий ; рождение пар гравитационным полем после отскока, когда кручение все еще сильно, порождает конечный период инфляции. ^{[21] [22]}

Смотрите также

• Альтернативы общей теории относительности
• Метрически-аффинная теория гравитации
• Калибровочная теория гравитации
• Петлевая квантовая гравитация

Ссылки

1. Кабрал, Франциско; Лобо, Франциско SN; Рубьера-Гарсия, Диего (декабрь 2019 г.). «Гравитация Эйнштейна–Картана–Дирака с нарушением симметрии U(1)». The European Physical Journal C . 79 (12): 1023. arXiv : 1902.02222 . Bibcode :2019EPJC...79.1023C. doi : 10.1140/epjc/s10052-019-7536-3 . ISSN  1434-6044.
2. Невилл, Дональд Э. (15 февраля 1980 г.). «Теории гравитации с распространяющимся кручением». Physical Review D. 21 ( 4): 867–873. Bibcode : 1980PhRvD..21..867N. doi : 10.1103/physrevd.21.867. ISSN  0556-2821.
3. Эли Картан (1922). «Sur une обобщение понятия курбюры Римана и пространств кручения». Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris (на французском языке). 174 : 593–595.
4. Картан, Эли (1923). «Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée (première party)». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (на французском языке). 40 : 325–412. дои : 10.24033/asens.751 . ISSN  0012-9593.
5. Картан, Эли (1924). «Sur les variétés à connexion affine, et la theorie de la relativité généralisée (première party) (Suite)». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (на французском языке). 41 : 1–25. дои : 10.24033/asens.753 . ISSN  0012-9593.
6. Картан, Эли (1925). «Sur les variétés à connexion affine, et la theorie de la relativité généralisée (deuxième party)». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (на французском языке). 42 : 17–88. дои : 10.24033/asens.761 . ISSN  0012-9593.
7. Goenner, Hubert FM (2004). "Об истории единых теорий поля". Living Reviews in Relativity . 7 (1): 2. Bibcode : 2004LRR.....7....2G. doi : 10.12942/lrr-2004-2 . PMC 5256024. PMID  28179864 . 
8. Sciama, DW (1964-01-01). "Физическая структура общей теории относительности". Reviews of Modern Physics . 36 (1): 463–469. Bibcode : 1964RvMP...36..463S. doi : 10.1103/revmodphys.36.463. ISSN  0034-6861.
9. Kibble, TWB (1961). «Лоренц-инвариантность и гравитационное поле». Журнал математической физики . 2 (2): 212–221. Bibcode : 1961JMP.....2..212K. doi : 10.1063/1.1703702. ISSN  0022-2488. S2CID  54806287.
10. Hehl, Friedrich W.; von der Heyde, Paul; Kerlick, G. David; Nester, James M. (1976-07-01). "Общая теория относительности со спином и кручением: основы и перспективы". Reviews of Modern Physics . 48 (3): 393–416. Bibcode : 1976RvMP...48..393H. doi : 10.1103/revmodphys.48.393. ISSN  0034-6861. S2CID  55726649.
11. Hehl, FW; Datta, BK (1971). «Нелинейное спинорное уравнение и асимметричная связь в общей теории относительности». Журнал математической физики . 12 (7): 1334–1339. Bibcode : 1971JMP....12.1334H. doi : 10.1063/1.1665738. ISSN  0022-2488.
12. Хель, Фридрих В. (2007). «Заметка о тензоре кручения». Physics Today . 60 (3): 16. Bibcode : 2007PhT....60c..16H. doi : 10.1063/1.2718743 .
13. Эллис, Джордж Ф.Р.; Пенроуз, сэр Роджер (2010). «Деннис Уильям Шиама. 18 ноября 1926 г. - 19 декабря 1999 г.». Биографические мемуары членов Королевского общества . 56 : 411. дои : 10.1098/rsbm.2009.0023. S2CID  73035217.
14. Ричард Дж. Петти (1986). «О локальной геометрии вращающейся материи». Общая теория относительности и гравитация . 18 (5): 441–460. Bibcode : 1986GReGr..18..441P. doi : 10.1007/bf00770462. ISSN  0001-7701. S2CID  120013580.
15. Н. Поплавский (2023). «Глава 13: Гравитационный коллапс с кручением и Вселенная в черной дыре». В C. Bambi (ред.). Регулярные черные дыры: к новой парадигме гравитационного коллапса . Springer. стр. 485–499. arXiv : 2307.12190 . doi :10.1007/978-981-99-1596-5_13.
16. K. Atazadeh (2014). «Устойчивость статической вселенной Эйнштейна в теории Эйнштейна-Картана». Журнал космологии и астрочастичной физики . 2014 (6): 020. arXiv : 1401.7639 . doi : 10.1088/1475-7516/2014/06/020.
17. Кабрал, Ф.; Лобо, FSN; Рубьера-Гарсия, Д. (2020). «Космологические отскоки, циклические вселенные и эффективная космологическая постоянная в теории Эйнштейна-Картана-Дирака-Максвелла». Physical Review D. 102 ( 8): 083509. arXiv : 2003.07463 . doi : 10.1103/PhysRevD.102.083509.
18. Popławski, Nikodem J. (2010). «Космология с кручением: альтернатива космической инфляции». Physics Letters B. 694 ( 3): 181–185. arXiv : 1007.0587 . Bibcode : 2010PhLB..694..181P. doi : 10.1016/j.physletb.2010.09.056.
19. Popławski, Nikodem J. (2012). "Несингулярная космология большого отскока из спинорно-торсионной связи". Physical Review D. 85 ( 10): 107502. arXiv : 1111.4595 . Bibcode : 2012PhRvD..85j7502P. doi : 10.1103/PhysRevD.85.107502. S2CID  118434253.
20. Popławski, Nikodem J. (2010). «Несингулярные частицы Дирака в пространстве-времени с кручением». Physics Letters B. 690 ( 1): 73–77. arXiv : 0910.1181 . Bibcode : 2010PhLB..690...73P. doi : 10.1016/j.physletb.2010.04.073.
21. Поплавский, Н. (2016). «Вселенная в черной дыре в гравитации Эйнштейна-Картана». Astrophysical Journal . 832 (2): 96. arXiv : 1410.3881 . Bibcode :2016ApJ...832...96P. doi : 10.3847/0004-637X/832/2/96 . S2CID  119771613.
22. Унгер, Г.; Поплавский, Н. (2019). «Большой отскок и закрытая вселенная из спина и кручения». Astrophysical Journal . 870 (2): 78. arXiv : 1808.08327 . Bibcode :2019ApJ...870...78U. doi : 10.3847/1538-4357/aaf169 . S2CID  119514549.

Дальнейшее чтение

• Гронвальд, Ф.; Хель, Ф. В. (1996). «О калибровочных аспектах гравитации». arXiv : gr-qc/9602013 .
• Хаммонд, Ричард Т (2002-03-27). «Торсионная гравитация». Reports on Progress in Physics . 65 (5): 599–649. Bibcode : 2002RPPh...65..599H. doi : 10.1088/0034-4885/65/5/201. ISSN  0034-4885. S2CID  250831296.
• Hehl, FW (1973). «Спин и кручение в общей теории относительности: I. Основы». Общая теория относительности и гравитация . 4 (4): 333–349. Bibcode :1973GReGr...4..333H. doi :10.1007/bf00759853. ISSN  0001-7701. S2CID  120910420.
• Hehl, FW (1974). "Спин и кручение в общей теории относительности II: Геометрия и уравнения поля". Общая теория относительности и гравитация . 5 (5): 491–516. Bibcode :1974GReGr...5..491H. doi :10.1007/bf02451393. ISSN  0001-7701. S2CID  120844152.
• Hehl, Friedrich W.; von der Heyde, Paul; Kerlick, G. David (1974-08-15). «Общая теория относительности со спином и кручением и ее отклонения от теории Эйнштейна». Physical Review D. 10 ( 4): 1066–1069. Bibcode : 1974PhRvD..10.1066H. doi : 10.1103/physrevd.10.1066. ISSN  0556-2821.
• Кляйнерт, Хаген (2000). «Принцип неголономного отображения для классической и квантовой механики в пространствах с кривизной и кручением». Общая теория относительности и гравитация . 32 (5): 769–839. arXiv : gr-qc/9801003 . Bibcode :2000GReGr..32..769K. doi :10.1023/a:1001962922592. ISSN  0001-7701. S2CID  14846186.
• Кухович, Бронислав (1978). «Фридмановские космологические модели без сингулярности». Общая теория относительности и гравитация . 9 (6): 511–517. Bibcode : 1978GReGr...9..511K. doi : 10.1007/bf00759545. ISSN  0001-7701. S2CID  118380177.
• Лорд, Э. А. (1976). «Тензоры, теория относительности и космология» (McGraw-Hill).
• Петти, Р. Дж. (1976). «Некоторые аспекты геометрии первично-квантованных теорий». Общая теория относительности и гравитация . 7 (11): 869–883. Bibcode : 1976GReGr...7..869P. doi : 10.1007/bf00771019. ISSN  0001-7701. S2CID  189851295.
• Petti, RJ (2006-01-12). "Трансляционные симметрии пространства-времени в теориях гравитации". Classical and Quantum Gravity . 23 (3): 737–751. arXiv : 1804.06730 . Bibcode : 2006CQGra..23..737P. doi : 10.1088/0264-9381/23/3/012. ISSN  0264-9381. S2CID  118897253.
• Петти, Р. Дж. (2021). «Вывод теории Эйнштейна–Картана из общей теории относительности». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 18 (6): 2150083–2151205. arXiv : 1301.1588 . Bibcode : 2021IJGMM..1850083P. doi : 10.1142/S0219887821500833. S2CID  119218875.
• Поплавски, Никодем Дж. (2009). «Пространство-время и поля». arXiv : 0911.0334 [gr-qc].
• де Саббата, В. и Гасперини, М. (1985). «Введение в гравитацию» (World Scientific).
• де Саббата, В. и Сиварам, К. (1994). «Спин и кручение в гравитации» (World Scientific).
• Шапиро, Иллинойс (2002). "Физические аспекты кручения пространства–времени". Physics Reports . 357 (2): 113–213. arXiv : hep-th/0103093 . Bibcode :2002PhR...357..113S. doi :10.1016/s0370-1573(01)00030-8. ISSN  0370-1573. S2CID  119356912.
• Траутман, Анджей (1973). «Спин и кручение могут предотвратить гравитационные сингулярности». Nature Physical Science . 242 (114): 7–8. Bibcode :1973NPhS..242....7T. doi :10.1038/physci242007a0. ISSN  0300-8746.
• Траутман, Анджей (2006). «Теория Эйнштейна – Картана». arXiv : gr-qc/0606062 .