Двойное треугольное число

Тип треугольного числа

Существует 21 раскраска четырех углов квадрата в три цвета (с точностью до симметрии), двоякотреугольное число, образованное сочетанием двух из шести раскрасок двух противоположных углов.

В математике двоякотреугольные числа — это числа, которые появляются в последовательности треугольных чисел в позициях, которые также являются треугольными числами. То есть, если обозначает т-е треугольное число, то двоякотреугольные числа — это числа вида . ${\displaystyle T_{n}=n(n+1)/2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T_{T_{n}}}$

Последовательность и формула

Двоякотреугольные числа образуют последовательность ^[1]

0, 1, 6, 21, 55, 120, 231, 406, 666, 1035, 1540, 2211, ...

Трое двоякотреугольное число задается формулой четвертой степени ^[2] ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle T_{T_{n}}={\frac {n(n+1)(n^{2}+n+2)}{8}}.}$$

Суммы сумм строк треугольника Флойда дают двоякотреугольные числа. Другой способ выразить этот факт состоит в том, что сумма всех чисел в первых строках треугольника Флойда представляет собой двояко-треугольное число. ^{[1] [2]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

В комбинаторном перечислении

Двоякотреугольные числа естественным образом возникают как числа неупорядоченных пар неупорядоченных пар объектов, включая пары, в которых оба объекта одинаковы:

• Примером из математической химии являются числа интегралов перекрытия между орбиталями слейтеровского типа . ^[3]
• Другой пример этого явления из комбинаторики состоит в том, что двоякотреугольные числа подсчитывают количество двуреберных неориентированных мультиграфов на помеченных вершинах. В этом случае ребро — это неупорядоченная пара вершин, а граф с двумя ребрами — неупорядоченная пара ребер. Количество возможных ребер представляет собой треугольное число, а количество пар ребер (позволяющих обоим ребрам соединять одни и те же две вершины) — двояко-треугольное число. ^[4] ${\displaystyle n}$
• Точно так же двоякотреугольные числа также подсчитывают количество различных способов раскрасить четыре угла или четыре края квадрата в цвета , позволяя не использовать некоторые цвета и считать две раскраски одинаковыми, если они отличаются друг от друга. другое только вращением или отражением квадрата. Число вариантов цвета для любых двух противоположных признаков квадрата представляет собой треугольное число, а раскраска всего квадрата объединяет две такие раскраски пар противоположных признаков. ^[1] ${\displaystyle n}$

При исключении пар, в которых оба объекта одинаковы, возникает другая последовательность, трехтреугольные числа , которые задаются формулой . ^[5] ${\displaystyle 3,15,45,105,\dots }$ ${\textstyle {\binom {\binom {n}{2}}{2}}}$

В нумерологии

Некоторые нумерологи и исследователи Библии считают важным тот факт, что 666 , число зверя , представляет собой двоякотреугольное число. ^{[6] [7]}

Рекомендации

1. Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A002817 (двухтреугольные числа)», Интернет- энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
2. Гулливер, Т. Аарон (2002), «Последовательности из квадратов целых чисел», Международный математический журнал , 1 (4): 323–332, MR  1846748
3. Барнетт, Майкл П. (2003), «Молекулярные интегралы и обработка информации», Международный журнал квантовой химии , 95 (6), Wiley: 791–805, doi : 10.1002/qua.10614
4. Матар, Ричард Дж. (2017), Статистика малых графиков , строка 2 таблицы 60, arXiv : 1709.09000
5. Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A050534 (Треугольные числа)», Интернет- энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
6. Ватт, WC (1989), "666", Semiotica , 77 (4), doi : 10.1515/semi.1989.77.4.369, S2CID  263854723
7. Хейк, Отто Уильям (январь 1985 г.), «Антихрист в Книге Откровения», Консенсус , 11 (1), статья 3