Точные тригонометрические значения

Тригонометрические значения в терминах квадратных корней и дробей

В математике значения тригонометрических функций могут быть выражены приблизительно, как в , или точно, как в . В то время как тригонометрические таблицы содержат много приблизительных значений, точные значения для определенных углов могут быть выражены комбинацией арифметических операций и квадратных корней . Углы с тригонометрическими значениями, которые выражаются таким образом, — это в точности те, которые можно построить с помощью циркуля и линейки , а значения называются конструктивными числами . ${\displaystyle \cos(\pi /4)\approx 0.707}$ ${\displaystyle \cos(\pi /4)={\sqrt {2}}/2}$

Общие углы

Тригонометрические функции углов, кратных 15°, 18° или 22,5°, имеют простые алгебраические значения. Эти значения перечислены в следующей таблице для углов от 0° до 45°. ^[1] В таблице ниже метка «Не определено» представляет отношение Если область значений тригонометрических функций принимается за действительные числа, то эти записи не определены , тогда как если область значений принимается за проективно расширенные действительные числа , то эти записи принимают значение (см. деление на ноль ). ${\displaystyle 1:0.}$ ${\displaystyle \infty }$

Для углов за пределами этого диапазона тригонометрические значения можно найти, применяя тождества отражения и сдвига, такие как

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&&\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&{}=\cos(\theta ),\\[5mu]&&\sin(2\pi +\theta )&{}=\sin(\pi -\theta )&&{}=\sin(\theta ),\quad &&\sin(\pi +\theta )&&{}=\sin(-\theta )&&{}=-\sin(\theta ),\\[5mu]&&\cos(2\pi +\theta )&{}=\cos(-\theta )&&{}=\cos(\theta ),\quad &&\cos(\pi +\theta )&&{}=\cos(\pi -\theta )&&{}=-\cos(\theta ).\end{alignedat}}}$

Тригонометрические числа

Тригонометрическое число — это число, которое можно выразить как синус или косинус рационального кратного π радиан . ^[2] Поскольку случай синуса можно опустить из этого определения. Следовательно, любое тригонометрическое число можно записать как , где k и n — целые числа. Это число можно рассматривать как действительную часть комплексного числа . Формула Муавра показывает, что числа этой формы являются корнями из единицы : ${\displaystyle \sin(x)=\cos(x-\pi /2),}$ ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)}$

${\displaystyle \left(\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)^{n}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1}$

Так как корень из единицы является корнем многочлена x ⁿ  − 1, он является алгебраическим . Так как тригонометрическое число является средним значением корня из единицы и его комплексно сопряженного числа , а алгебраические числа замкнуты относительно арифметических операций, каждое тригонометрическое число является алгебраическим. ^[2] Минимальные многочлены тригонометрических чисел могут быть явно перечислены . ^[3] Напротив, по теореме Линдемана–Вейерштрасса синус или косинус любого ненулевого алгебраического числа всегда трансцендентен. ^[4]

Действительная часть любого корня из единицы является тригонометрическим числом. По теореме Нивена единственными рациональными тригонометрическими числами являются 0, 1, −1, 1/2 и −1/2. ^[5]

Конструктивность

Угол можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда его синус (или, что эквивалентно, косинус) можно выразить комбинацией арифметических операций и квадратных корней, примененных к целым числам. ^[6] Кроме того, угол, являющийся рациональным кратным радианам , можно построить тогда и только тогда, когда он выражен в радианах, где a и b — взаимно простые целые числа, разложение знаменателя на простые множители b является произведением некоторой степени двойки и любого количества различных простых чисел Ферма (простое число Ферма — это простое число, на единицу большее степени двойки). ^[7] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle a\pi /b}$

Так, например, является конструируемым углом, поскольку 15 является произведением простых чисел Ферма 3 и 5. Аналогично является конструируемым углом, поскольку 12 является степенью двойки (4), умноженной на простое число Ферма (3). Но не является конструируемым углом, поскольку не является произведением различных простых чисел Ферма, поскольку содержит 3 в качестве множителя дважды, и ни один из них не является , поскольку 7 не является простым числом Ферма. ^[8] ${\displaystyle 2\pi /15=24^{\circ }}$ ${\displaystyle \pi /12=15^{\circ }}$ ${\displaystyle \pi /9=20^{\circ }}$ ${\displaystyle 9=3\cdot 3}$ ${\displaystyle \pi /7\approx 25.714^{\circ }}$

Из приведенной выше характеристики следует, что угол в целое число градусов может быть построен тогда и только тогда, когда это число градусов кратно 3 .

Конструируемые ценности

45°

Из тождества отражения , . Подставляя в тригонометрическое тождество Пифагора , получаем минимальный многочлен . Взяв положительный корень, находим . ${\displaystyle \cos(45^{\circ })=\sin(90^{\circ }-45^{\circ })=\sin(45^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(45^{\circ })^{2}+\cos(45^{\circ })^{2}=1}$ ${\displaystyle 2\sin(45^{\circ })^{2}-1=0}$ ${\displaystyle \sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })=1/{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}/2}$

30° и 60°

Значения синуса и косинуса 30 и 60 градусов выводятся из анализа равностороннего треугольника . В равностороннем треугольнике 3 угла равны и в сумме составляют 180°, поэтому каждый угол равен 60°. Деля один угол пополам, получаем специальный прямоугольный треугольник с углами 30-60-90. По симметрии сторона, разделенная пополам, составляет половину стороны равностороннего треугольника, поэтому можно заключить . Тогда тождества Пифагора и отражения дают . ${\displaystyle \sin(30^{\circ })=1/2}$ ${\displaystyle \sin(60^{\circ })=\cos(30^{\circ })={\sqrt {1-(1/2)^{2}}}={\sqrt {3}}/2}$

18°, 36°, 54° и 72°

Значение может быть получено с помощью формул множественных углов для синуса и косинуса. ^[9] По формуле двойного угла для синуса: ${\displaystyle \sin(18^{\circ })}$

${\displaystyle \sin(36^{\circ })=2\sin(18^{\circ })\cos(18^{\circ })}$

По формуле тройного угла для косинуса:

${\displaystyle \cos(54^{\circ })=\cos ^{3}(18^{\circ })-3\sin ^{2}(18^{\circ })\cos(18^{\circ })=\cos(18^{\circ })(1-4\sin ^{2}(18^{\circ }))}$

Поскольку sin(36°) = cos(54°), мы приравниваем эти два выражения и сокращаем множитель cos(18°):

${\displaystyle 2\sin(18^{\circ })=1-4\sin ^{2}(18^{\circ })}$

Это квадратное уравнение имеет только один положительный корень:

${\displaystyle \sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$

Тогда тождество Пифагора дает , а формулы двойного и тройного угла дают синус и косинус 36°, 54° и 72°. ${\displaystyle \cos(18^{\circ })}$

Оставшиеся кратные 3°

 На Wikimedia Commons имеется файл с таблицей этих точных значений.

Синусы и косинусы всех других углов между 0 и 90°, кратных 3°, можно вывести из углов, описанных выше, и формул суммы и разности . В частности, ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}3^{\circ }&=18^{\circ }-15^{\circ },&24^{\circ }&=54^{\circ }-30^{\circ },&51^{\circ }&=60^{\circ }-9^{\circ },&78^{\circ }&=60^{\circ }+18^{\circ },&\\6^{\circ }&=36^{\circ }-30^{\circ },&27^{\circ }&=45^{\circ }-18^{\circ },&57^{\circ }&=30^{\circ }+27^{\circ },&81^{\circ }&=45^{\circ }+36^{\circ },&\\9^{\circ }&=45^{\circ }-36^{\circ },&33^{\circ }&=60^{\circ }-27^{\circ },&63^{\circ }&=45^{\circ }+18^{\circ },&84^{\circ }&=54^{\circ }+30^{\circ },&\\12^{\circ }&=30^{\circ }-18^{\circ },&39^{\circ }&=30^{\circ }+9^{\circ },&66^{\circ }&=36^{\circ }+30^{\circ },&87^{\circ }&=60^{\circ }+27^{\circ }.&\\15^{\circ }&=45^{\circ }-30^{\circ },&42^{\circ }&=60^{\circ }-18^{\circ },&69^{\circ }&=60^{\circ }+9^{\circ },&\\21^{\circ }&=30^{\circ }-9^{\circ },&48^{\circ }&=30^{\circ }+18^{\circ },&75^{\circ }&=45^{\circ }+30^{\circ },&\end{aligned}}}$

Например, поскольку , его косинус можно вывести по формуле разности косинусов: ${\displaystyle 24^{\circ }=60^{\circ }-36^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(24^{\circ })&=\cos(60^{\circ })\cos(36^{\circ })+\sin(60^{\circ })\sin(36^{\circ })\\&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}}$

Половинные углы

Если знаменатель b умножить на дополнительные множители 2, синус и косинус можно получить с помощью формул половинного угла . Например, 22,5° ( π /8 рад) составляет половину от 45°, поэтому его синус и косинус равны: ^[11]

${\displaystyle \sin(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1-\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle \cos(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1+\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

Повторное применение формул половинного угла приводит к вложенным радикалам , в частности, вложенным квадратным корням из 2 вида . В общем случае синус и косинус большинства углов вида можно выразить с помощью вложенных квадратных корней из 2 в терминах . В частности, если можно записать угол как , где и равно -1, 0 или 1 для , то ^[12] и если то ^[12] Например, , поэтому имеем и получаем: ${\displaystyle {\sqrt {2\pm \cdots }}}$ ${\displaystyle \beta /2^{n}}$ ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle \alpha =\pi \left({\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\prod _{j=1}^{i}b_{j}}{2^{i+1}}}\right)=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{1}}{4}}-{\frac {b_{1}b_{2}}{8}}-{\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{16}}-\ldots -{\frac {b_{1}b_{2}\ldots b_{k}}{2^{k+1}}}\right)}$$ ${\displaystyle b_{k}\in [-2,2]}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle i<k}$ $${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {b_{1}}{2}}{\sqrt {2+b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}$$ ${\displaystyle b_{1}\neq 0}$ $${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+b_{4}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}}}$$ ${\displaystyle {\frac {13\pi }{32}}=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}\right)}$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,-1,1,-1)}$ $${\displaystyle \cos \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {-\pi }{4}}\right)}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}$$ $${\displaystyle \sin \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}$$

Знаменатель 17

Поскольку 17 является простым числом Ферма, то правильный 17-угольник можно построить, что означает, что синусы и косинусы углов, таких как радианы, можно выразить через квадратные корни. В частности, в 1796 году Карл Фридрих Гаусс показал, что: ^{[13] [14]} ${\displaystyle 2\pi /17}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}$

Синусы и косинусы других возможных углов вида (для целых чисел ) могут быть выведены из этого. ${\displaystyle {\frac {k2^{n}\pi }{17}}}$ ${\displaystyle k,n}$

Неконструктивность 1°

Как обсуждалось в § Конструктивность, только некоторые углы, являющиеся рациональными кратными радианам, имеют тригонометрические значения, которые можно выразить с помощью квадратных корней. Угол 1°, будучи радианным, имеет повторяющийся множитель 3 в знаменателе и, следовательно, не может быть выражен с помощью только квадратных корней. Связанный с этим вопрос заключается в том, можно ли его выразить с помощью кубических корней. Можно использовать следующие два подхода, но оба приводят к выражению, которое включает кубический корень комплексного числа . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi /180=\pi /(2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5)}$ ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$

Используя тройное угловое тождество, мы можем определить как корень кубического многочлена: . Три корня этого многочлена — это , и . Поскольку является конструируемым, выражение для него можно включить в формулу Кардано , чтобы получить выражение для . Однако, поскольку все три корня кубического многочлена являются действительными, это пример casus irreducibilis , и выражение потребовало бы извлечения кубического корня из комплексного числа. ^{[15] [16]} ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(3^{\circ })=-4x^{3}+3x}$ ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(59^{\circ })}$ ${\displaystyle -\sin(61^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(3^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$

Альтернативно, по формуле Муавра :

${\displaystyle {\begin{aligned}(\cos(1^{\circ })+i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ }),\\[4mu](\cos(1^{\circ })-i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ }).\end{aligned}}}$

Беря кубические корни и складывая или вычитая уравнения, имеем: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(1^{\circ })&=\;{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}+{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right),\\[5mu]\sin(1^{\circ })&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}-{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right).\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Прямоугольник Эйлля , используемый для нахождения точных значений для углов, кратных 15°
• Список тригонометрических тождеств

Ссылки

1. Абрамовиц и Стегун 1972, стр. 74, 4.3.46
2. Niven, Ivan. Числа: рациональные и иррациональные , 1961. Random House. Новая математическая библиотека , том 1. ISSN  0548-5932. Гл. 5
3. Лемер, Д. Х. (1933). «Заметка о тригонометрических алгебраических числах». The American Mathematical Monthly . 40 (3): 165–166. doi :10.2307/2301023. JSTOR  2301023.
4. Бергер, Эдвард Б.; Таббс, Роберт (17 апреля 2013 г.). Making Transcendence Transparent: An Intuitive Approach to Classical Transcendal Number Theory. Springer Science & Business Media. стр. 44. ISBN 978-1-4757-4114-8.
5. Шаумбергер, Норман (1974). «Теорема для класса о тригонометрических иррациональностях». Журнал двухгодичной колледжской математики . 5 (1): 73–76. doi :10.2307/3026991. JSTOR  3026991.
6. Мартин, Джордж Э. (1998), Геометрические построения , Тексты для бакалавров по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, doi :10.1007/978-1-4612-0629-3, ISBN 0-387-98276-0, г-н  1483895
7. Мартин, Джордж Э. (1998), Геометрические построения , Бакалаврские тексты по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, стр. 46, doi :10.1007/978-1-4612-0629-3, ISBN 0-387-98276-0, г-н  1483895
8. Фрейли, Джон Б. (1994), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2, МР  0225619
9. "Точное значение sin 18°". math-only-math .
10. Вайс, Адам (1851). Handbuch Der Trigonometerie (на немецком языке). Дж. Л. Шмид. стр. 72–74.
11. Дурбха, Субраманьям (2012). «Геометрический метод нахождения тригонометрических соотношений 22 ½° и 75°». Математика в школе . 41 (3): 22–23. JSTOR  23269221.
12. Servi, LD (апрель 2003 г.). «Вложенные квадратные корни из 2». The American Mathematical Monthly . 110 (4): 326–330. doi :10.1080/00029890.2003.11919968.
13. Артур Джонс, Сидней А. Моррис, Кеннет Р. Пирсон, Абстрактная алгебра и знаменитые невозможности , Springer, 1991, ISBN 0387976612 , стр. 178. 
14. Каллаги, Джеймс Дж. «Центральный угол правильного 17-угольника», Mathematical Gazette 67, декабрь 1983 г., 290–292.
15. Parent, James T. (июнь 2011 г.). "Точные значения для sin всех целых чисел" (PDF) . Интерактивная математика . Получено 5 февраля 2024 г. .
16. Kowalski, Travis (ноябрь 2016 г.). «Синус одной степени» (PDF) . The College Mathematics Journal . 47 (5): 322–332. doi :10.4169/college.math.j.47.5.322. S2CID  125810699.

Библиография

• Лемер, Д. Х. (1933). «Заметка о тригонометрических алгебраических числах». American Mathematical Monthly . 40 (3): 165–166. doi :10.2307/2301023. JSTOR  2301023.
• Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-61272-0.
• Уоткинс, Уильям; Цейтлин, Джоэл (1993). «Минимальный многочлен cos(2*π/n)». American Mathematical Monthly . 100 (5): 471–474. doi :10.2307/2324301. JSTOR  2324301.
• Гирстмайер, Курт (1997). «Некоторые линейные соотношения между значениями тригонометрических функций при k*π/n» (PDF) . Acta Arithmetica . 81 (4): 387–498. doi :10.4064/aa-81-4-387-398. MR  1472818.
• Conway, John H.; Radin, Charles; Sadun, Lorenzo (1999). «Об углах, квадраты тригонометрических функций которых рациональны». Discrete & Computational Geometry . 22 (3): 321–332. arXiv : math-ph/9812019 . doi :10.1007/PL00009463. MR  1706614. S2CID  563915.
• Брэкен, Пол; Чижек, Иржи (2002). «Оценка квантовомеханических пертурбативных сумм в терминах квадратичных иррациональностей и их использование в приближении ζ(3)/π ³ ». Международный журнал квантовой химии . 90 : 42–53. doi :10.1002/qua.1803.
• Servi, LD (2003). «Вложенные квадратные корни из 2». American Mathematical Monthly . 110 (4): 326–330. doi :10.2307/3647881. JSTOR  3647881.
• Беслин, Скотт; де Анджелис, Валерио (2004). «Минимальные многочлены sin(2*π/p) и cos(2*π/p)». Mathematics Magazine . 77 (2): 146–149. doi :10.1080/0025570X.2004.11953242. JSTOR  3219105. S2CID  118497912.
• Tangsupphathawat, Pinthira; Laohakosol, Vichian (2016). "Минимальные многочлены алгебраических косинусных значений при рациональных кратных π". Журнал целочисленных последовательностей . 19 : 16.2.8.