Прямоугольная волна — это несинусоидальный периодический сигнал , в котором амплитуда чередуется с постоянной частотой между фиксированными минимальными и максимальными значениями, с одинаковой длительностью в минимальном и максимальном значениях. В идеальной прямоугольной волне переходы между минимумом и максимумом происходят мгновенно.
Прямоугольная волна — это особый случай пульсовой волны , которая допускает произвольную длительность при минимальной и максимальной амплитуде. Отношение высокого периода к общему периоду пульсовой волны называется рабочим циклом . Настоящая прямоугольная волна имеет рабочий цикл 50% (равные высокие и низкие периоды).
Прямоугольные волны часто встречаются в электронике и обработке сигналов , особенно в цифровой электронике и цифровой обработке сигналов . Ее стохастический аналог — траектория с двумя состояниями .
Прямоугольные волны повсеместно встречаются в цифровых переключающих схемах и естественным образом генерируются устройствами двоичной (двухуровневой) логики. Они используются в качестве опорных сигналов синхронизации или « тактовых сигналов », поскольку их быстрые переходы подходят для запуска синхронных логических схем через точно определенные интервалы времени. Однако, как показывает график в частотной области, прямоугольные волны содержат широкий диапазон гармоник; они могут генерировать электромагнитное излучение или импульсы тока, которые мешают работе других близлежащих цепей, вызывая шум или ошибки. Чтобы избежать этой проблемы в очень чувствительных схемах, таких как прецизионные аналого-цифровые преобразователи , в качестве опорных сигналов синхронизации вместо прямоугольных сигналов используются синусоидальные сигналы .
В музыкальном плане их часто описывают как полые по звучанию, и поэтому они используются в качестве основы для звуков духовых инструментов , созданных с помощью субтрактивного синтеза . Кроме того, эффект искажения, используемый на электрогитарах , отсекает самые отдаленные области сигнала, в результате чего по мере увеличения искажений он все больше напоминает прямоугольную волну.
Простые двухуровневые функции Радемахера представляют собой прямоугольные волны.
Прямоугольная волна в математике имеет множество определений, которые эквивалентны, за исключением разрывов:
Его можно определить просто как знаковую функцию синусоиды:
Прямоугольная волна также может быть определена относительно ступенчатой функции Хевисайда u ( t ) или прямоугольной функции Π ( t ):
Прямоугольную волну также можно сгенерировать напрямую с помощью функции пола :
Используя ряд Фурье (ниже), можно показать, что функцию пола можно записать в тригонометрической форме [1]
Используя разложение Фурье с частотой цикла f по времени t , идеальную прямоугольную волну с амплитудой 1 можно представить как бесконечную сумму синусоидальных волн:
Идеальная прямоугольная волна содержит только компоненты нечетно-целых гармонических частот (формы 2π(2 k − 1) f ).
Интересной особенностью сходимости представления прямоугольной волны в ряд Фурье является явление Гиббса . Можно показать, что артефакты звона в неидеальных прямоугольных волнах связаны с этим явлением. Феномен Гиббса можно предотвратить с помощью σ-аппроксимации , которая использует сигма-факторы Ланцоша, чтобы помочь последовательности сходиться более плавно.
Идеальная математическая прямоугольная волна мгновенно переключается между высоким и низким состоянием, без занижения или превышения. Этого невозможно достичь в физических системах, поскольку для этого потребуется бесконечная полоса пропускания .
Прямоугольные волны в физических системах имеют только конечную полосу пропускания и часто демонстрируют эффекты звона , подобные эффектам явления Гиббса, или эффекты пульсации, аналогичные эффектам σ-приближения.
Для разумного приближения к форме прямоугольной волны должны присутствовать как минимум основная и третья гармоника, причем пятая гармоника желательна. Эти требования к полосе пропускания важны в цифровой электронике, где используются аналоговые аппроксимации сигналов прямоугольной формы с конечной полосой пропускания. (Звенящие переходные процессы являются здесь важным электронным фактором, поскольку они могут выйти за пределы электрических характеристик цепи или привести к многократному пересечению неудачно установленного порога.)
Как уже упоминалось, идеальная прямоугольная волна имеет мгновенные переходы между высоким и низким уровнями. На практике этого никогда не достигается из-за физических ограничений системы, генерирующей сигнал. Время, необходимое для того, чтобы сигнал поднялся с низкого уровня до высокого уровня и обратно, называется временем нарастания и временем спада соответственно.
Если система чрезмерно демпфирована , то форма волны может никогда не достичь теоретических высокого и низкого уровней, а если система недостаточно демпфирована, она будет колебаться около высокого и низкого уровней, прежде чем успокоиться. В этих случаях время нарастания и спада измеряется между указанными промежуточными уровнями, например 5 % и 95 % или 10 % и 90 %. Пропускная способность системы связана со временем перехода формы сигнала; существуют формулы, позволяющие приближенно определить одно из другого.
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=2\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {2(t-nT)} {T}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]-1\\&=2\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[u\left( {\frac {t}{T}}-n\right)-u\left({\frac {t}{T}}-n-{\frac {1}{2}}\right)\right]- 1.\end{выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64023feb7c2635877ec4a5e073e8ab92e0223396)
