Центрированное девятиугольное число

Центрированное фигурное число, представляющее девятиугольник с точкой в ​​центре.

Центрированное девятиугольное число (или центрированное эннеагональное число ) — это центрированное фигурное число , которое представляет девятиугольник с точкой в ​​центре и всеми остальными точками, окружающими центральную точку, в последовательных девятагональных слоях. Центрированное девятиугольное число для n слоев определяется формулой ^[1]

${\displaystyle Nc(n)={\frac {(3n-2)(3n-1)}{2}}.}$

Умножение ( n - 1)-го треугольного числа на 9 и последующее добавление 1 дает n -е центрированное девятиугольное число, но центрированные девятиугольные числа имеют еще более простое отношение к треугольным числам: каждое третье треугольное число (1-е, 4-е, 7-е и т. д.) .) также является центрированным девятиугольным числом. ^[1]

Таким образом, первые несколько центрированных девятиугольных чисел равны ^[1]

1 , 10 , 28 , 55 , 91 , 136 , 190 , 253, 325, 406, 496 , 595, 703, 820, 946.

В приведенный выше список входят совершенные числа 28 и 496. Все четные совершенные числа являются треугольными числами, индекс которых представляет собой нечетное простое число Мерсенна . ^[2] Поскольку каждое простое число Мерсенна больше 3 конгруэнтно 1 по  модулю  3, отсюда следует, что каждое четное совершенное число больше 6 является центрированным девятиугольным числом.

В 1850 году сэр Фредерик Поллок предположил, что каждое натуральное число представляет собой сумму не более одиннадцати центрированных девятиугольных чисел. ^[3] Гипотеза Поллока подтвердилась в 2023 году. ^[4]

Отношения конгруэнтности

• Все центрированные девятиугольные числа конгруэнтны 1 по модулю 3.
  • Следовательно, сумма любых трехцентрированных девятиугольных чисел и разность любых двух центрированных девятиугольных чисел делятся на 3.

Смотрите также

• Неугольное число

Рекомендации

1. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060544 (Центрированные 9-угольные (также известные как девятиугольные или эннеагональные) числа)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
2. Коши, Томас (2014), Числа Пелла и Пелла-Лукаса с приложениями, Springer, стр. 90, ISBN 9781461484899.
3. Диксон, Л.Е. (2005), Диофантовый анализ, История теории чисел , том. 2, Нью-Йорк: Дувр, стр. 22–23, ISBN. 9780821819357.
4. Куреш, Мирослав (27 октября 2023 г.). «Доказательство гипотезы Поллока о центрированных неугольных числах». Математический интеллект . дои : 10.1007/s00283-023-10307-0. ISSN  0343-6993.