Число Пелля

Число, используемое для аппроксимации квадратного корня из 2

Стороны квадратов, используемых для построения серебряной спирали, являются числами Пелля.

В математике числа Пелля представляют собой бесконечную последовательность целых чисел , известную с древних времен, которая представляет собой знаменатели ближайших рациональных приближений к квадратному корню из 2. Эта последовательность приближений начинается ⁠1/1⁠ , ⁠3/2⁠ , ⁠7/5⁠ , ⁠17/12⁠ , и ⁠41/29⁠ , поэтому последовательность чисел Пелля начинается с 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений являются половинами сопутствующих чисел Пелля или чисел Пелла–Лукаса ; эти числа образуют вторую бесконечную последовательность, которая начинается с 2, 6, 14, 34 и 82.

Как числа Пелля, так и сопутствующие им числа Пелля могут быть вычислены с помощью рекуррентного соотношения, аналогичного соотношению для чисел Фибоначчи , и обе последовательности чисел растут экспоненциально , пропорционально степеням серебряного отношения 1 +  √ 2. Помимо использования для аппроксимации квадратного корня из двух, числа Пелля могут быть использованы для нахождения квадратных треугольных чисел , для построения целочисленных аппроксимаций прямоугольного равнобедренного треугольника и для решения некоторых комбинаторных задач перечисления . ^[1]

Как и в случае с уравнением Пелля , название чисел Пелля происходит от ошибочного приписывания Леонардом Эйлером уравнения и чисел, полученных из него, Джону Пеллю . Числа Пелля–Лукаса также названы в честь Эдуарда Люка , который изучал последовательности, определяемые рекуррентностями этого типа; числа Пелля и сопутствующие им числа Пелля являются последовательностями Люка .

Числа Пелля

Числа Пелля определяются рекуррентным соотношением :

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

В словах последовательность чисел Пелла начинается с 0 и 1, а затем каждое число Пелла является суммой удвоенного предыдущего числа Пелла, плюс число Пелла перед ним. Первые несколько членов последовательности:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, … (последовательность A000129 в OEIS ).

Аналогично формуле Бине числа Пелля можно также выразить с помощью замкнутой формулы

${\displaystyle P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$При больших значениях n в этом выражении доминирует член (1 + √ 2 ) ⁿ , поэтому числа Пелля приблизительно пропорциональны степеням серебряного сечения 1 + √ 2 , аналогично скорости роста чисел Фибоначчи как степеней золотого сечения .

Возможно третье определение из матричной формулы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

Из этих определений можно вывести или доказать множество тождеств ; например, тождество, аналогичное тождеству Кассини для чисел Фибоначчи,

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

является непосредственным следствием матричной формулы (найденной путем рассмотрения определителей матриц в левой и правой частях матричной формулы). ^[2]

Приближение к квадратному корню из двух

Рациональные приближения к правильным восьмиугольникам с координатами, полученными из чисел Пелля.

Числа Пелля возникают исторически и наиболее заметно в рациональном приближении к √ 2. Если два больших целых числа x и y образуют решение уравнения Пелля

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

тогда их отношение ⁠х/у⁠ обеспечивает близкое приближение к √ 2. Последовательность приближений этой формы:

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

где знаменатель каждой дроби — число Пелля, а числитель — сумма числа Пелля и его предшественника в последовательности. То есть решения имеют вид

${\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}.}$

Приближение

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

такого типа была известна индийским математикам в третьем или четвертом веке до н. э. ^[3] Греческие математики пятого века до н. э. также знали эту последовательность приближений: ^[4] Платон называет числители рациональными диаметрами . ^[5] Во втором веке н. э. Теон из Смирны использовал термин числа сторон и диаметров для описания знаменателей и числителей этой последовательности. ^[6]

Эти приближения можно получить из разложения непрерывной дроби : ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}$

Усечение этого расширения до любого количества членов дает одно из приближений, основанных на числе Пелля в этой последовательности; например,

${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}$

Как описывает Кнут (1994), тот факт, что числа Пелля приближаются к √ 2, позволяет использовать их для точных рациональных приближений к правильному восьмиугольнику с координатами вершин (±  P _i , ±  P _{i  +1} ) и (±  P _{i  +1} , ±  P _i  ) . Все вершины одинаково удалены от начала координат и образуют почти одинаковые углы вокруг начала координат. В качестве альтернативы, точки , и образуют приблизительные восьмиугольники, в которых вершины почти одинаково удалены от начала координат и образуют одинаковые углы. ${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$ ${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$ ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$

Простые числа и квадраты

Простое число Пелла — это число Пелла, которое является простым . Первые несколько простых чисел Пелла — это

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ... (последовательность A086383 в OEIS ).

Индексы этих простых чисел в последовательности всех чисел Пелля равны

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, ... (последовательность A096650 в OEIS )

Все эти индексы сами по себе являются простыми. Как и числа Фибоначчи, число Пелля P _n может быть простым, только если само n является простым, потому что если d является делителем n , то P _d является делителем P _n .

Единственными числами Пелля, которые являются квадратами , кубами или любыми более высокими степенями целых чисел, являются 0, 1 и 169 = 13 ² . ^[7]

Однако, несмотря на то, что у чисел Пелля так мало квадратов или других степеней, они тесно связаны с квадратно-треугольными числами . ^[8] В частности, эти числа возникают из следующего тождества чисел Пелля:

${\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

Левая часть этого тождества описывает квадратное число, а правая часть описывает треугольное число , поэтому результатом является квадратно-треугольное число.

Фалькон и Диас-Барреро (2006) доказали еще одно тождество, связывающее числа Пелля с квадратами и показывающее, что сумма чисел Пелля до P _{4 n  +1} всегда является квадратом:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{\!2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}.}$

Например, сумма чисел Пелля до P ₅ , 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 , является квадратом P ₂ + P ₃ = 2 + 5 = 7 . Числа P _{2 n} + P _{2 n  +1 ,} образующие квадратные корни этих сумм,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (последовательность A002315 в OEIS ),

известны как числа Ньюмена–Шенкса–Вильямса (NSW) .

Пифагоровы тройки

Целочисленные прямоугольные треугольники с почти равными катетами, полученные из чисел Пелля.

Если прямоугольный треугольник имеет целые длины сторон a , b , c (обязательно удовлетворяющие теореме Пифагора a ² + b ² = c ² ), то ( a , b , c ) известно как пифагорейская тройка . Как описывает Мартин (1875), числа Пелля могут быть использованы для формирования пифагорейских троек, в которых a и b находятся на расстоянии одной единицы друг от друга, что соответствует прямоугольным треугольникам, которые являются почти равнобедренными. Каждая такая тройка имеет вид

${\displaystyle \left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right).}$

Последовательность пифагорейских троек, образованная таким образом, имеет вид

(4,3,5), (20,21,29), (120119169), (696697985), …

Числа Пелля–Лукаса

Сопутствующие числа Пелля или числа Пелля–Лукаса определяются рекуррентным соотношением

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Проще говоря: первые два числа в последовательности оба равны 2, и каждое последующее число образуется путем прибавления удвоенного предыдущего числа Пелла–Лукаса к предыдущему числу Пелла–Лукаса или, что эквивалентно, путем прибавления следующего числа Пелла к предыдущему числу Пелла: таким образом, 82 является спутником 29, и 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. Первые несколько членов последовательности (последовательность A002203 в OEIS ): 2 , 2, 6 , 14 , 34 , 82 , 198, 478 , …

Подобно связи между числами Фибоначчи и числами Люка ,

${\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}$

для всех натуральных чисел n .

Сопутствующие числа Пелля можно выразить с помощью замкнутой формулы

${\displaystyle Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}.}$

Все эти числа четные ; каждое такое число в два раза больше числителя в одном из рациональных приближений, рассмотренных выше. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Подобно последовательности Лукаса, если число Пелля–Лукаса ⁠1/2⁠ Q _n — простое число, необходимо, чтобы n было либо простым, либо степенью 2. Простые числа Пелла–Лукаса — это

3, 7, 17, 41, 239, 577, … (последовательность A086395 в OEIS ).

Для этих n есть

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, … (последовательность A099088 в OEIS ).

Вычисления и связи

В следующей таблице приведены первые несколько степеней отношения серебра δ = δ _S = 1 +  √ 2 и его сопряженной величины δ = 1 −  √ 2 .

Коэффициенты — это полукомпаньоны чисел Пелля H _n и числа Пелля P _{n ,} которые являются (неотрицательными) решениями для H ² − 2 P ² = ±1 . Квадратно-треугольное число — это число

${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2},}$

которое является как t -м треугольным числом, так и s -м квадратным числом. Почти равнобедренная пифагорова тройка является целочисленным решением уравнения a ² + b ² = c ^{2 ,} где a + 1 = b .

Следующая таблица показывает, что разбиение нечетного числа H _n на почти равные половины дает квадратно-треугольное число, когда n четное, и почти равнобедренную пифагорову тройку, когда n нечетное. Все решения возникают таким образом.

Определения

Полусопутствующие числа Пелля H _n и числа Пелля P _n можно вывести несколькими легко эквивалентными способами.

Возведение в степень

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$

Из этого следует, что существуют замкнутые формы :

${\displaystyle H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

и

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

Парные рецидивы

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Формулы взаимной рекуррентности

Пусть n будет не менее 2.

${\displaystyle H_{n}=(3P_{n}-P_{n-2})/2=3P_{n-1}+P_{n-2};}$

${\displaystyle P_{n}=(3H_{n}-H_{n-2})/4=(3H_{n-1}+H_{n-2})/2.}$

Матричные формулировки

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Так

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$

Приближения

Разница между H _n и P _n √ 2 составляет

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n},}$

который быстро стремится к нулю. Так что

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

чрезвычайно близок к 2 H _n .

Из этого последнего наблюдения следует, что целочисленные отношения ⁠Н _н/П _н⁠ быстро приближаться к √ 2 ; и ⁠Н _н/Н _{n  −1}⁠ и ⁠П _н/П _{н  −1}⁠ быстро приближаются к 1 +  √ 2 .

ЧАС  2 − 2П  2 = ±1

Поскольку √ 2 иррационально, мы не можем иметь ⁠ЧАС/П⁠  =  √ 2 , т.е.,

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}.}$

Лучшее, чего мы можем добиться, это либо

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}.}$

(Неотрицательные) решения H ² − 2 P ² = 1 — это в точности пары ( H _n , P _n ) с четным n , а решения H ² − 2 P ² = −1 — это в точности пары ( H _n , P _n ) с нечетным n . Чтобы увидеть это, сначала отметим, что

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right),}$

так что эти различия, начиная с H²
₀− 2 П²
₀= 1 , попеременно равны 1 и −1. Затем обратите внимание, что каждое положительное решение получается таким образом из решения с меньшими целыми числами, поскольку

${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right).}$

Меньшее решение также имеет положительные целые числа, за одним исключением: H = P = 1 , что следует из H ₀  = 1 и P ₀  = 0.

Квадратные треугольные числа

Требуемое уравнение

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$

эквивалентно тому , что становится H ² = 2 P ² + 1 с заменами H  = 2 t  + 1 и P  = 2 s . Следовательно, n -е решение равно ${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1,}$

${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{and}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}$

Заметим, что t и t  + 1 являются взаимно простыми, так что ⁠т  ( т  + 1)/2⁠  =  s ² происходит именно тогда, когда они являются соседними целыми числами, одно квадратом H ² , а другое дважды квадратом 2 P ² . Поскольку мы знаем все решения этого уравнения, мы также имеем

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd.}}\end{cases}}}$

и ${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}.}$

Это альтернативное выражение показано в следующей таблице.

Пифагоровы тройки

Равенство c ² = a ² + ( a + 1) ² = 2 a ² + 2 a + 1 имеет место точно тогда, когда 2 c ² = 4 a ² + 4 a + 2 , что становится 2 P ² = H ² + 1 с заменами H = 2 a + 1 и P = c . Следовательно, n -е решение равно a _n = ⁠Н2n _{+1 −} 1_​/2⁠ и c _n = P _{2 n  +1} .

Таблица выше показывает, что в том или ином порядке a _n и b _n = a _n + 1 являются H _n  H _{n  +1} и 2 P _n  P _{n  +1,} в то время как c _n = H _{n  +1}  P _n + P _{n  +1}  H _n .

Примечания

1. Например, Селлерс (2002) доказывает, что количество совершенных паросочетаний в декартовом произведении графа путей и графа K ₄  −  e можно вычислить как произведение числа Пелля на соответствующее число Фибоначчи.
2. О матричной формуле и ее следствиях см. Ercolano (1979) и Kilic and Tasci (2005). Дополнительные тождества для чисел Пелля перечислены Horadam (1971) и Bicknell (1975).
3. Как записано в Шульба-сутрах ; см., например, Дутка (1986), который ссылается на Тибо (1875) для получения этой информации.
4. См. Knorr (1976) для даты пятого века, что соответствует утверждению Прокла о том, что числа сторон и диаметров были открыты пифагорейцами . Для более подробного исследования более поздних греческих знаний об этих числах см. Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) и Filep (1999).
5. Например, как показывают некоторые ссылки из предыдущей заметки, в « Государстве» Платона есть ссылка на «рациональный диаметр 5», под которым Платон подразумевает 7, числитель приближения ⁠7/5⁠ знаменателем которого является 5.
6. Хит, сэр Томас Литтл (1921), История греческой математики: от Фалеса до Евклида, Courier Dover Publications, стр. 112, ISBN 9780486240732.
7. Pethő (1992); Cohn (1996). Хотя числа Фибоначчи определяются очень похожей рекуррентностью с числами Пелля, Cohn пишет, что аналогичный результат для чисел Фибоначчи, по-видимому, гораздо сложнее доказать. (Однако, это было доказано в 2006 году Bugeaud et al.)
8. Sesskin (1962). См. статью о квадратно-треугольном числе для более подробного вывода.

Ссылки

• Бикнелл, Марджори (1975). «Учебник по последовательности Пелла и связанным с ней последовательностям». Fibonacci Quarterly . 13 (4): 345–349. doi :10.1080/00150517.1975.12430627. MR  0387173.
• Cohn, JHE (1996). «Совершенные степени Пелля». Glasgow Mathematical Journal . 38 (1): 19–20. doi : 10.1017/S0017089500031207 . MR  1373953.
• Дутка, Жак (1986). «О квадратных корнях и их представлениях». Архив истории точных наук . 36 (1): 21–39. doi :10.1007/BF00357439. MR  0863340. S2CID  122277481.
• Эрколано, Джозеф (1979). «Генератор матриц последовательностей Пелля». Fibonacci Quarterly . 17 (1): 71–77. doi :10.1080/00150517.1979.12430264. MR  0525602.
• Филеп, Ласло (1999). «Числа Пифагора и диагонали» (PDF) . Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis . 15 : 1–7. Архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2020 г. Проверено 29 января 2007 г.
• Хорадам, А. Ф. (1971). «Тождества Пелла». Fibonacci Quarterly . 9 (3): 245–252, 263. doi :10.1080/00150517.1971.12431004. MR  0308029.
• Килич, Эмра; Таши, Дурсун (2005). «Линейная алгебра матрицы Пелля». Boletín de la Sociedad Matematica Mexicana, Tercera Serie . 11 (2): 163–174. МР  2207722.
• Кнорр, Уилбур (1976). «Архимед и измерение круга: новая интерпретация». Архив истории точных наук . 15 (2): 115–140. doi :10.1007/BF00348496. MR  0497462. S2CID  120954547.
• Кнорр, Уилбур (1998).«Рациональные диаметры» и открытие несоизмеримости». American Mathematical Monthly . 105 (5): 421–429. doi :10.2307/3109803. JSTOR  3109803.
• Кнут, Дональд Э. (1994). «Прыгающие графы». The Mathematical Gazette . 78 (483): 274–297. arXiv : math.CO/9411240 . Bibcode : 1994math.....11240K. doi : 10.2307/3620202. JSTOR  3620202. S2CID  16856513.
• Мартин, Артемас (1875). «Рациональные прямоугольные треугольники, почти равнобедренные». The Analyst . 3 (2): 47–50. doi :10.2307/2635906. JSTOR  2635906.
• Pethő, A. (1992). «Последовательность Пелла содержит только тривиальные совершенные степени». Множества, графы и числа (Будапешт, 1991) . Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 60, North-Holland. стр. 561–568. MR  1218218.
• Ridenhour, JR (1986). «Лестничные приближения иррациональных чисел». Mathematics Magazine . 59 (2): 95–105. doi :10.2307/2690427. JSTOR  2690427.
• Фалькон Сантана, Серхио; Диас-Барреро, Хосе Луис (2006). «Некоторые свойства сумм, включающих числа Пелла». Миссурийский журнал математических наук . 18 (1). дои : 10.35834/2006/1801033 . hdl : 10553/72698 .
• Sellers, James A. (2002). "Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 5 : 12. Bibcode :2002JIntS...5...12S. MR  1919941. Архивировано из оригинала (PDF) 2020-07-05 . Получено 2007-01-28 .
• Сесскин, Сэм (1962). «Обратная» теорема Ферма?». Mathematics Magazine . 35 (4): 215–217. doi :10.2307/2688551. JSTOR  2688551.
• Тибо, Джордж (1875). «О сульвасутрах». Журнал Королевского азиатского общества Бенгалии . 44 : 227–275.
• Томпсон, Д'Арси Уэнтворт (1929). "III.—Избыток и недостаток: или немного больше и немного меньше". Mind . New Series. 38 (149): 43–55. doi :10.1093/mind/XXXVIII.149.43. JSTOR  2249223.
• Ведова, GC (1951). «Заметки о Теоне Смирнском». American Mathematical Monthly . 58 (10): 675–683. doi :10.2307/2307978. JSTOR  2307978.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Число Пелля». MathWorld .
• Последовательность OEIS A001333 (Числители цепной дроби, подходящей к sqrt(2)) — Числители той же последовательности приближений