В математике теория высших категорий является частью теории категорий более высокого порядка , что означает, что некоторые равенства заменяются явными стрелками , чтобы иметь возможность явно изучать структуру, стоящую за этими равенствами. Теория высших категорий часто применяется в алгебраической топологии (особенно в теории гомотопий ), где изучаются алгебраические инварианты пространств , такие как фундаментальный слабый ∞-группоид .
В теории высших категорий концепция высших категориальных структур, таких как ( ∞-категории ), позволяет более надежно трактовать гомотопическую теорию , позволяя улавливать более тонкие гомотопические различия, такие как дифференциация двух топологических пространств , имеющих одну и ту же фундаментальную группу, но различающихся по своим высшим гомотопическим группам . Этот подход особенно ценен при работе с пространствами со сложными топологическими характеристиками, [1] такими как пространство Эйленберга-Маклейна .
Обычная категория имеет объекты и морфизмы , которые в контексте теории высших категорий называются 1-морфизмами . 2-категория обобщает это, включая также 2-морфизмы между 1-морфизмами . Продолжая это до n -морфизмов между ( n − 1)-морфизмами, получаем n -категорию .
Так же, как категория, известная как Cat , которая является категорией малых категорий и функторов, на самом деле является 2-категорией с естественными преобразованиями в качестве ее 2-морфизмов , категория n - Cat (малых) n -категорий на самом деле является ( n + 1)-категорией.
n -категория определяется индукцией по n следующим образом :
Таким образом, категория 1 — это просто ( локально небольшая ) категория.
Моноидальная структура Set задается декартовым произведением как тензором и синглтоном как единицей. Фактически, любой категории с конечными произведениями можно задать моноидальную структуру. Рекурсивная конструкция n - Cat работает отлично, потому что если категория C имеет конечные произведения, то категория C -обогащенных категорий также имеет конечные произведения.
Хотя эта концепция слишком строга для некоторых целей, например, для теории гомотопий , где «слабые» структуры возникают в форме высших категорий, [2] строгие кубические высшие гомотопические группоиды также возникли как дающие новую основу для алгебраической топологии на границе между гомологией и теорией гомотопий ; см. статью Неабелева алгебраическая топология , на которую ссылаются в книге ниже.
В слабых n -категориях условия ассоциативности и тождественности больше не являются строгими (то есть они не задаются равенствами), а выполняются с точностью до изоморфизма следующего уровня. Примером в топологии является композиция путей , где условия тождественности и тождественности выполняются только с точностью до репараметризации , а значит, и до гомотопии , которая является 2-изоморфизмом для этой 2 -категории . Эти n -изоморфизмы должны хорошо вести себя между hom-множествами , и выражение этого является трудностью определения слабых n -категорий . Слабые 2 -категории , также называемые бикатегориями , были первыми, которые были определены явно. Их особенностью является то, что бикатегория с одним объектом является в точности моноидальной категорией , так что бикатегории можно назвать «моноидальными категориями со многими объектами». Слабые 3 -категории , также называемые трикатегориями , и обобщения более высокого уровня все сложнее определить явно. Было дано несколько определений, и попытка выяснить, когда они эквивалентны и в каком смысле, стала новым объектом изучения в теории категорий.
Слабые комплексы Кана, или квазикатегории, являются симплициальными множествами, удовлетворяющими слабой версии условия Кана. Андре Джойал показал, что они являются хорошей основой для теории высших категорий. Недавно, в 2009 году, теория была дополнительно систематизирована Якобом Лурье , который просто назвал их категориями бесконечности, хотя последний термин также является общим термином для всех моделей категорий (бесконечность, k ) для любого k .
Симплициально обогащенные категории, или симплициальные категории, являются категориями, обогащенными над симплициальными множествами. Однако, когда мы смотрим на них как на модель для (бесконечности, 1)-категорий , то многие категориальные понятия (например, пределы ) не согласуются с соответствующими понятиями в смысле обогащенных категорий. То же самое касается других обогащенных моделей, таких как топологически обогащенные категории.
Топологически обогащенные категории (иногда называемые просто топологическими категориями) — это категории, обогащенные относительно некоторой удобной категории топологических пространств, например категории компактно порожденных хаусдорфовых пространств .
Это модели высших категорий, введенные Хиршовицем и Симпсоном в 1998 году [3], частично вдохновленные результатами Грэма Сигала, полученными в 1974 году.
