Лиса n-раскраска

В математической области теории узлов , n -раскраска Фокса является методом задания представления группы узлов или группы зацепления (не путать с группой зацеплений ) на диэдральной группе порядка n , где n - нечетное целое число , путем раскрашивания дуг в диаграмме зацеплений (само представление также часто называется n -раскраской Фокса ). Ральф Фокс открыл этот метод (и особый случай трехцветности ) "в попытке сделать предмет доступным для всех", когда он объяснял теорию узлов студентам бакалавриата в Хаверфордском колледже в 1956 году. n -раскраска Фокса является примером сопряженного квандла .

Определение

Пусть L будет зацеплением , и пусть будет фундаментальной группой его дополнения . Представление на диэдральной группе порядка 2n называется n -раскраской Фокса (или просто n -раскраской) зацепления L . Зацепление L , допускающее такое представление , называется n -раскрашиваемым и называется n -раскраской зацепления L . Такие представления групп зацеплений рассматривались в контексте покрытия пространств со времен Рейдемейстера в 1929 году. [На самом деле, Рейдемейстер полностью объяснил все это в 1926 году на странице 18 "Knoten und Gruppen" в Hamburger Abhandlungen 5. Название "раскраска Фокса" было дано ему гораздо позже математиками, которые, вероятно, не умели читать по-немецки.] Предпочитаемый Фоксом термин для так называемой "3-раскраски Фокса" был "свойство L"; см. упражнение 6 на стр. 92 его книги «Введение в теорию узлов» (1963). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle D_{2n}}$ ${\displaystyle \rho }$

Группа зацепления генерируется путями из базовой точки в к границе трубчатой ​​окрестности зацепления, вокруг меридиана трубчатой ​​окрестности и обратно к базовой точке. По сюръективности представления эти генераторы должны отображаться в отражения правильного n -угольника. Такие отражения соответствуют элементам диэдральной группы, где t - отражение, а s - порождающее ( ) вращение n -угольника. Генераторы группы зацепления, приведенные выше, находятся во взаимно однозначном соответствии с дугами диаграммы зацепления , и если генератор отображается в , мы раскрашиваем соответствующую дугу . Это называется n -раскраской Фокса диаграммы зацепления и удовлетворяет следующим свойствам: ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle ts^{i}}$ ${\displaystyle 2\pi /n}$ ${\displaystyle ts^{i}\in D_{2p}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

• Используются как минимум два цвета (по принципу сюръективности ). ${\displaystyle \rho }$
• Вблизи перекрестка среднее значение цветов дуг нисходящего пересечения равно цвету дуги нисходящего пересечения (поскольку является представлением группы связи). ${\displaystyle \rho }$

n -раскрашенное зацепление дает 3-многообразие M , взяв (нерегулярное) двугранное покрытие 3-сферы, разветвленное над L с монодромией, заданной . По теореме Монтесиноса и Хильдена любое замкнутое ориентированное 3 -многообразие может быть получено таким образом для некоторого узла K и некоторой трехцветной раскраски K . Это уже не так, когда n больше трех. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Количество окрасок

Число различных раскрасок Fox n для ссылки L обозначается

${\displaystyle \mathrm {col} _{n}(L),}$

является инвариантом зацепления, который легко вычислить вручную на любой диаграмме зацепления, раскрасив дуги в соответствии с правилами раскраски. При подсчете раскрасок мы по соглашению также рассматриваем случай, когда всем дугам задан один и тот же цвет, и называем такую ​​раскраску тривиальной.

Все возможные трехцветные варианты узла-трилистника.

Например, стандартная минимальная диаграмма пересечения узла Трилистник имеет 9 различных трехцветных узоров, как показано на рисунке:

• 3 «тривиальных» раскраски (каждая дуга синяя, красная или зеленая)
• 3 раскраски в порядке Синий→Зеленый→Красный
• 3 раскраски в порядке Синий→Красный→Зеленый

Множество 'n'-раскрасок Fox зацепления образует абелеву группу , где сумма двух n -раскрасок есть n -раскраска, полученная путем сложения по нитям. Эта группа распадается как прямая сумма ${\displaystyle C_{n}(K)\,}$

${\displaystyle C_{n}(K)\cong \mathbb {Z} _{n}\oplus C_{n}^{0}(K)\,}$,

где первое слагаемое соответствует n тривиальным (постоянным) цветам, а ненулевые элементы слагаемого соответствуют нетривиальным n -раскраскам ( модульным переводам, полученным путем добавления константы к каждой нити). ${\displaystyle C_{n}^{0}(K)}$

Если — оператор связанной суммы , а и — связи, то ${\displaystyle \#}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$

${\displaystyle \mathrm {col} _{n}(L_{1})\mathrm {col} _{n}(L_{2})=n\mathrm {col} _{n}(L_{1}\#L_{2}).}$

Обобщение кГ-окраска

Пусть L — зацепление, и пусть π — фундаментальная группа его дополнения, и пусть G — группа. Гомоморфизм π в G называется G -раскраской L . G -раскраска диаграммы узла — это индуцированное назначение элемента G нитям L таким образом, что на каждом перекрестке, если c — элемент G , назначенный пересекающей нити, и если a и b — элементы G , назначенные двум пересекающим нитям, то a = c ⁻¹ bc или b = c ⁻¹ ac , в зависимости от ориентации пересекающей нити. Если группа G является диэдральной порядка 2n , это диаграммное представление G -раскраски сводится к Fox n -раскраске. Торический узел T(3,5) имеет только постоянные n -раскраски, но для группы G, равной знакопеременной группе A ₅ , T(3,5) имеет непостоянные G -раскраски. ${\displaystyle \rho }$

Дальнейшее чтение

• Ричард Х. Кроуэлл, Ральф Х. Фокс , «Введение в теорию узлов», Ginn and Co., Бостон, 1963. MR 0146828
• Ральф Х. Фокс , Быстрый обзор теории узлов , в: MK Fort (ред.), «Топология 3-многообразий и смежные темы», Prentice-Hall, NJ, 1961, стр. 120–167. MR 0140099
• Ральф Х. Фокс , Метациклические инварианты узлов и зацеплений , Канадский журнал математики 22 (1970) 193–201. MR 0261584
• Юзеф Х. Пшитицкий , 3-раскраска и другие элементарные инварианты узлов. Banach Center Publications, том 42, «Теория узлов», Варшава, 1998, 275–295.
• Курт Райдемейстер , Knoten und Verkettungen , Math. З. 29 (1929), 713-729. МР 1545033