К-распределение

Трехпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей

В теории вероятности и статистики обобщенное К-распределение представляет собой трехпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей. Распределение возникает путем объединения двух гамма-распределений . В каждом случае используется повторная параметризация обычной формы семейства гамма-распределений, так что параметры имеют вид:

• среднее значение распределения,
• обычный параметр формы.

K-распределение является частным случаем дисперсионно-гамма распределения , которое в свою очередь является частным случаем обобщенного гиперболического распределения . Более простой частный случай обобщенного K-распределения часто называют K -распределением.

Плотность

Предположим, что случайная величина имеет гамма-распределение со средним значением и параметром формы , причем рассматривается как случайная величина, имеющая другое гамма-распределение, на этот раз со средним значением и параметром формы . Результатом является то, что имеет следующую функцию плотности вероятности (pdf) для : ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f_{X}(x;\mu ,\alpha ,\beta )={\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),}$

где — модифицированная функция Бесселя второго рода. Обратите внимание, что для модифицированной функции Бесселя второго рода имеем . В этом выводе K-распределение является составным распределением вероятностей . Это также распределение произведения : ^[1] это распределение произведения двух независимых случайных величин, одна из которых имеет гамма-распределение со средним значением 1 и параметром формы , а вторая имеет гамма-распределение со средним значением и параметром формы . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\nu }=K_{-\nu }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \beta }$

Более простую двухпараметрическую формализацию K-распределения можно получить, установив как ^{[2] [3]} ${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle f_{X}(x;b,v)={\frac {2b}{\Gamma (v)}}\left({\sqrt {bx}}\right)^{v-1}K_{v-1}(2{\sqrt {bx}}),}$

где — коэффициент формы, — масштабный коэффициент, а — модифицированная функция Бесселя второго рода. Вышеуказанная двухпараметрическая формализация может быть также получена путем задания , , и , хотя и с различной физической интерпретацией параметров и . Эта двухпараметрическая формализация часто называется K -распределением, в то время как трехпараметрическая формализация называется обобщенным K-распределением. ${\displaystyle v=\alpha }$ ${\displaystyle b=\alpha /\mu }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle v=\beta }$ ${\displaystyle b=\beta /\mu }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle v}$

Это распределение получено из статьи Эрика Джейкмана и Питера Пьюзи (1978), которые использовали его для моделирования микроволнового морского эха. ^[4] Джейкман и Таф (1987) вывели распределение из модели смещенного случайного блуждания. ^[5] Кейт Д. Уорд (1981) вывел распределение из произведения двух случайных величин, z = a y , где a имеет распределение хи , а y — комплексное гауссово распределение. Модуль z , |z| , тогда имеет K-распределение. ^[6]

Моменты

Функция генерации момента определяется выражением ^[7]

${\displaystyle M_{X}(s)=\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right),}$

где и — функция Уиттекера . ${\displaystyle \gamma =\beta -\alpha ,}$ ${\displaystyle \delta =\alpha +\beta -1,}$ ${\displaystyle \xi =\alpha \beta /\mu ,}$ ${\displaystyle W_{-\delta /2,\gamma /2}(\cdot )}$

N-е моменты К-распределения определяются по формуле ^[1]

${\displaystyle \mu _{n}=\xi ^{-n}{\frac {\Gamma (\alpha +n)\Gamma (\beta +n)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}.}$

Итак, среднее значение и дисперсия определяются как ^[1]

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}.}$

Другие свойства

Все свойства распределения симметричны по и ^[1] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta .}$

Приложения

K-распределение возникает как следствие статистической или вероятностной модели, используемой в радиолокационных изображениях с синтезированной апертурой (SAR). K-распределение формируется путем объединения двух отдельных распределений вероятностей , одно из которых представляет собой эффективное сечение радара , а другое представляет собой спекл, который является характеристикой когерентного изображения. Оно также используется в беспроводной связи для моделирования составных эффектов быстрого затухания и затенения.

Примечания

1. Реддинг 1999.
2. Лонг 2001.
3. Боке 2011.
4. Джейкман и Пьюзи 1978.
5. Джейкман и Таф 1987.
6. Уорд 1981.
7. Битас и др. 2006.

Источники

• Реддинг, Николас Дж. (1999), Оценка параметров распределения K в области интенсивности (PDF) , Южная Австралия: Лаборатория электроники и наблюдения DSTO, стр. 60, DSTO-TR-0839
• Боке, Стивен (2011), Расчет вероятности обнаружения радаром в условиях K-распределенных морских помех и шумов (PDF) , Канберра, Австралия: Отдел совместных операций, Организация оборонной науки и технологий DSTO, стр. 35, DSTO-TR-0839
• Jakeman, Eric; Pusey, Peter N. (1978-02-27). "Значение K-распределений в экспериментах по рассеянию". Physical Review Letters . 40 (9). Американское физическое общество (APS): 546–550. Bibcode : 1978PhRvL..40..546J. doi : 10.1103/physrevlett.40.546. ISSN  0031-9007.
• Jakeman, Eric; Tough, Robert JA (1987-09-01). "Обобщенное распределение K: статистическая модель слабого рассеяния". Журнал Оптического общества Америки A . 4 (9). Оптическое общество: 1764-1772. Bibcode :1987JOSAA...4.1764J. doi :10.1364/josaa.4.001764. ISSN  1084-7529.
• Уорд, Кит Д. (1981). «Составное представление морских помех с высоким разрешением». Electronics Letters . 17 (16). Институт инженерии и технологий (IET): 561-565. Bibcode : 1981ElL....17..561W. doi : 10.1049/el:19810394. ISSN  0013-5194.
• Bithas, Petros S.; Sagias, Nikos C.; Mathiopoulos, P. Takis; Karagiannidis, George K .; Rontogiannis, Athanasios A. (2006). «Об анализе производительности цифровой связи по обобщенным каналам с замиранием k». IEEE Communications Letters . 10 (5). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 353–355. CiteSeerX  10.1.1.725.7998 . doi :10.1109/lcomm.2006.1633320. ISSN  1089-7798. S2CID  4044765.
• Лонг, Морис В. (2001). Радарная отражательная способность суши и моря (3-е изд.). Норвуд, Массачусетс: Artech House. стр. 560.

Дальнейшее чтение

• Jakeman, Eric (1980-01-01). "О статистике шума с распределением K". Journal of Physics A: Mathematical and General . 13 (1). IOP Publishing: 31–48. Bibcode : 1980JPhA...13...31J. doi : 10.1088/0305-4470/13/1/006. ISSN  0305-4470.
• Уорд, Кит Д.; Таф, Роберт Дж. А.; Уоттс, Саймон (2006) Морские помехи: рассеяние, распределение K и эффективность радаров , Институт инженерии и технологий. ISBN 0-86341-503-2 .