символ q-Поххаммера

Понятие в комбинаторике (часть математики)

В математической области комбинаторики символ q -Похгаммера , также называемый q -сдвинутым факториалом , представляет собой произведение

$${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),}$$

q -аналогПохгаммера ${\displaystyle (a;q)_{0}=1.}$ ${\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\dots (x+n-1)}$

$${\displaystyle \lim _{q\to 1}{\frac {(q^{x};q)_{n}}{(1-q)^{n}}}=(x)_{n}.}$$

qqосновных гипергеометрических рядовобобщенных гипергеометрических рядов

В отличие от обычного символа Похгаммера, символ q -Поххаммера можно расширить до бесконечного произведения:

$${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).}$$

аналитическая функцияqкругаформальный степенной рядq

$${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$$

функция Эйлеракомбинаторикетеории чиселмодульных форм

Личности

Конечный продукт можно выразить через бесконечный продукт:

$${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}$$

nn

$${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}$$

$${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$$

$${\displaystyle \prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q)_{\infty }}{(a;q)_{n}}},}$$

Символ q -Поххаммера является предметом ряда тождеств q -ряда, особенно разложений в бесконечный ряд.

$${\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},}$$

q -биномиальной теоремы

$${\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$$

Фридрих Карпелевич

$${\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.}$$

Комбинаторная интерпретация

Символ q -Поххаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент в ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$

$${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}$$

mnmn

$${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}$$

У нас также есть, что коэффициент в ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$

$${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}$$

mnn

Удалив из такого разбиения треугольное разбиение с n - 1 частями, мы получим произвольный разбиение, состоящее не более чем из n частей. Это дает сохраняющую вес биекцию между набором разбиений на n или n - 1 различных частей и набором пар, состоящим из треугольного разбиения, имеющего n - 1 частей, и разбиения, состоящего не более чем из n частей. Путем выявления порождающих рядов это приводит к тождеству

$${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}$$

статистической суммыв ряд q,^[1] ${\displaystyle (q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }}$ ${\displaystyle p(n)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}$$

Саму q - биномиальную теорему также можно решить с помощью немного более сложного комбинаторного аргумента аналогичного характера (см. также расширения, данные в следующем подразделе).

Сходным образом,

$${\displaystyle (q;q)_{\infty }=1-\sum _{n\geq 0}q^{n+1}(q;q)_{n}=\sum _{n\geq 0}q^{\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(-1)^{n}}{(q;q)_{n}}}.}$$

Соглашение о нескольких аргументах

Поскольку тождества, включающие символы q -Pochhammer, очень часто включают в себя произведения многих символов, стандартное соглашение состоит в том, чтобы записать произведение как один символ с несколькими аргументами:

$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$$

q -серия

Ряд q — это ряд , в котором коэффициенты являются функциями q , обычно выражениями . ^[2] Первые результаты принадлежат Эйлеру , Гауссу и Коши . Систематическое исследование начинается с Эдуарда Гейне (1843). ^[3] ${\displaystyle (a;q)_{n}}$

Связь с другими q -функциями

q - аналог n , также известный как q -скобка или q -число n , определяется как

$${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$$

q - аналог факториала- факториал

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[n\right]!_{q}&=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})\\&={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}\\\end{aligned}}}$$

Эти числа являются аналогами в том смысле, что

$${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n,}$$

$${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.}$$

Предельное значение n ! подсчитывает перестановки n - элементного множества S. Аналогично, он подсчитывает количество последовательностей вложенных наборов , содержащих ровно i элементов. ^[4] Для сравнения: когда q — степень простого числа, а V — n -мерное векторное пространство над полем с q элементами, q -аналог — это количество полных флагов в V , то есть это количество последовательностей. подпространств, имеющих размерность i . ^[4] Предыдущие соображения показывают, что можно рассматривать последовательность вложенных наборов как флаг над гипотетическим полем с одним элементом . ${\displaystyle E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle [n]!_{q}}$ ${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$ ${\displaystyle V_{i}}$

Произведение отрицательных целых q -скобок можно выразить через q -факториал как

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}}$$

От q -факториалов можно перейти к определению q -биномиальных коэффициентов, также известных как гауссовы биномиальные коэффициенты , как

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},}$$

где, как легко видеть, треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}}$

для всех . Это можно проверить ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}}$$

Из предыдущих рекуррентных соотношений также видно, что следующие варианты -биномиальной теоремы разлагаются в терминах этих коэффициентов следующим образом: ^[5] ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}}$$

Далее можно определить q -мультиномиальные коэффициенты

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},}$$

nq ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n}$ ${\displaystyle V_{1}\subset \dots \subset V_{m}}$ ${\displaystyle \dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}}$

Предел дает обычный мультиномиальный коэффициент , который подсчитывает слова в n разных символах , каждый из которых появляется раз. ${\displaystyle q\to 1}$ ${\displaystyle {n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}}$ ${\displaystyle \{s_{1},\dots ,s_{m}\}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$

Можно также получить q -аналог гамма-функции , называемый q-гамма-функцией и определяемый как

$${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$$

q

$${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$$

х

$${\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}}$$

nq

Смотрите также

• Список q-аналогов
• Базовый гипергеометрический ряд
• Эллиптическая гамма-функция
• Тета-функция Якоби
• Серия Ламберт
• Теорема о пятиугольных числах
• q -производная
• q -тета-функция
• q - тождество Вандермонда
• Личности Роджерса-Рамануджана
• Продолжительная дробь Роджерса-Рамануджана

Рекомендации

1. Берндт, Британская Колумбия «Что такое q-серия?» (PDF) .
2. Брюс К. Берндт, Что такое q-серия?, В книге «Рамануджан заново открыт: материалы конференции по эллиптическим функциям, разбиениям и q-серии памяти К. Венкатачаленгара: Бангалор, 1–5 июня 2009 г.», Н. Д. Баруа, Б.К. Берндт, С. Купер, Т. Хубер и М.Дж. Шлоссер, ред., Математическое общество Рамануджана, Майсур, 2010, стр. 31–51.
3. Хейне, Э. «Untersuchungen über die Reihe».Дж. Рейн Анжью. Математика. 34 (1847), 285–328.
4. Стэнли, Ричард П. (2011), Исчислительная комбинаторика , том. 1 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, раздел 1.10.2.
5. Олвер; и другие. (2010). «Раздел 17.2». Справочник NIST по математическим функциям. п. 421.

• Джордж Гаспер и Мизан Рахман , Базовая гипергеометрическая серия, 2-е издание , (2004), Энциклопедия математики и ее приложений, 96 , Cambridge University Press, Кембридж. ISBN 0-521-83357-4 . 
• Рулоф Кукук и Рене Ф. Свартау, Схема Аски ортогональных полиномов и ее q-аналоги , раздел 0.2.
• Экстон, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538   
• М. А. Ольшанецкий и В. Б. Рогов (1995), Модифицированные q-функции Бесселя и q-функции Бесселя-Макдональда, arXiv:q-alg/9509013.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «q-аналог». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «q-Bracket». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «q-факториал». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Серия q». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «q-биномиальный коэффициент». Математический мир .