цис (математика)

$cis$ — это математическая нотация , определяемая как $cis x = cos x + i sin x$ ,^{[nb 1]} где $cos$ — функция косинуса , $i$ — мнимая единица , а $sin$ — функция синуса . $x$ — аргумент комплексного числа (угол между прямой и точкой и осью x в полярной форме ). Эта нотация используется в математике реже, чем формула Эйлера $e$ ix , которая предлагает еще более короткую запись для $cos x + i sin x$ , ноcis(x)широко используется в качестве имени для этой функции в $библиотеках$ программного обеспечения .

Обзор

Обозначение $цис$ является сокращением для комбинации функций в правой части формулы Эйлера :

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

где $i 2 = -1$ . Итак,

\operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,

^[1]^[2]^[3]^[4]

т.е. « $цис$ » — это аббревиатура от « $Cos i Sin$ ».

Он связывает тригонометрические функции с показательными функциями в комплексной плоскости через формулу Эйлера. Хотя область определения обычно , возможны также и комплексные значения : $x\in \mathbb {R}$ $z\in \mathbb {C}$

\operatorname {cis} z=\cos z+i\sin z,

поэтому функцию $цис$ можно использовать для расширения формулы Эйлера до более общей комплексной версии . ^[5]

Функция в основном используется как удобная сокращенная запись для упрощения некоторых выражений, ^[6]^[7]^[8], например, в сочетании с преобразованиями Фурье и Хартли , ^[9]^[10]^[11] или когда по каким-то причинам экспоненциальные функции не должны использоваться в математическом образовании.

В области информационных технологий эта функция имеет специальную поддержку в различных высокопроизводительных математических библиотеках (таких как Intel Math Kernel Library ( MKL ) ^[12] или MathCW ^[13] ), доступных для многих компиляторов и языков программирования (включая C , C++ , ^[14] Common Lisp , ^[15]^[16] D , ^[17] Haskell , ^[18] Julia , ^[19] и Rust ^[20] ). В зависимости от платформы объединенная операция примерно в два раза быстрее вызова функций синуса и косинуса по отдельности. ^[17]^[3]

Математические тождества

Производный

{\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}

^[1]^[21]

Интеграл

\int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}

^[1]

Другие свойства

Они непосредственно следуют из формулы Эйлера .

\cos(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)+\operatorname {cis} (-x)}{2}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}

\sin(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (-x)}{2i}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}

\operatorname {цис} (x+y)=\operatorname {цис} x\,\operatorname {цис} y

^[22]

\operatorname {цис} (xy)={\operatorname {цис} x \over \operatorname {цис} y}

Вышеуказанные тождества справедливы, если $x$ и $y$ — любые комплексные числа. Если $x$ и $y$ — действительные числа, то

|\operatorname {цис} x-\operatorname {цис} y|\leq |xy|.

^[22]

История

Обозначение $цис$ впервые было введено Уильямом Эдвином Гамильтоном в работе «Элементы кватернионов» (1866) ^[23]^[24] и впоследствии использовалось Ирвингом Стрингхэмом (который также называл его « сектором x ») в таких работах, как «Унипланарная алгебра» $($ 1893), ^[25]^[26]Джеймсом Харкнессом и Фрэнком Морли в их «Введении в теорию аналитических функций» (1898), ^[26]^[27] или Джорджем Эшли Кэмпбеллом (который также называл его «цисоидальным колебанием») в своих работах о линиях передачи (1901) и интегралах Фурье (1928). ^[28]^[29]^[30]

В 1942 году, вдохновленный $цис-$ нотацией, Ральф В. Л. Хартли ввел функцию $cas$ (для косинуса и синуса ) для действительного ядра Хартли , которая к тому времени стала общепринятым сокращением в сочетании с преобразованиями Хартли : ^[31]^[32]

\operatorname {cas} x=\cos x+\sin x.

Мотивация

Обозначение $cis$ иногда используется для того, чтобы подчеркнуть один метод рассмотрения и решения проблемы по сравнению с другим. ^[33] Математика тригонометрии и экспонент связана, но не совсем одно и то же; экспоненциальная запись подчеркивает целое, тогда как обозначения $cis x$ и $cos x + i sin x$ подчеркивают части. Это может быть риторически полезно для математиков и инженеров при обсуждении этой функции, а также служить мнемоническим знаком (для $cos + i sin$ ). ^[30]

Обозначение $cis$ удобно для студентов-математиков, чьи знания тригонометрии и комплексных чисел допускают это обозначение, но чьи концептуальные представления еще не допускают обозначение $e ix$ . Обычное доказательство того, что $cis x = e ix ,$ требует исчисления , которое студент мог не изучать до того, как столкнулся с выражением $cos x + i sin x$ .

Такая запись была более распространена, когда для передачи математических выражений использовались пишущие машинки. ^{[ необходима ссылка ]}

Смотрите также

Примечания

^ Здесь $i$ относится к мнимой единице в математике . Поскольку $i$ обычно используется для обозначения электрического тока в электротехнике и проектировании систем управления , мнимая единица в этих контекстах также обозначается как $j$ вместо $i$ . Независимо от контекста, это не влияет на устоявшееся название функции как $cis$ .

Ссылки

^ abc Weisstein, Eric Wolfgang (2015) [2000]. "Cis". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 2016-01-27 . Получено 2016-01-09 .
^ Симмонс, Брюс (28.07.2014) [2004]. «Цис». Mathwords: Термины и формулы от алгебры I до исчисления . Орегон-Сити, штат Орегон, США: Общественный колледж Клакамас , математический факультет. Архивировано из оригинала 16.07.2023 . Получено 15.01.2016 .
^ ab "Rationale for International Standard - Programming Languages - C" (PDF) . 5.10. Апрель 2003 г. стр. 114, 117, 183, 186–187. Архивировано (PDF) из оригинала 2016-06-06 . Получено 2010-10-17 .
^ Аманн, Герберт [в Викиданных] ; Эшер, Иоахим [на немецком языке] (2006). Анализ И. Grundstudium Mathematik (на немецком языке) (3-е изд.). Базель, Швейцария: Birkhäuser Verlag . стр. 292, 298. ISBN. 978-3-76437755-7. ISBN 3-76437755-0 . (445 страниц)
^ Московиц, Мартин А. (2002). "Глава 1. Первые концепции". Написано в Городском университете Нью-Йорка Graduate Center, Нью-Йорк, США. Курс комплексного анализа в одной переменной . Сингапур: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. стр. 7. ISBN 981-02-4780-X.(ix+149 страниц)
^ Своковски, Эрл Уильям [на Wikidata] ; Коул, Джеффри (2011). Precalculus: Функции и графики. Серия Precalculus (12-е изд.). Cengage Learning . ISBN 978-0-84006857-6. Получено 18.01.2016 .
^ Рейс, Клайв (2011). Абстрактная алгебра: Введение в группы, кольца и поля (1-е изд.). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. стр. 434–438. ISBN 978-9-81433564-5.
^ Вайц, Эдмунд [на немецком языке] (2016). «Основная теорема алгебры — наглядное доказательство». Гамбург, Германия: Гамбургский университет прикладных наук (HAW), кафедра Medientechnik. Архивировано из оригинала 2019-08-03 . Получено 2019-08-03 .
^ Л.-Рундблад, Екатерина; Майдан, Алексей; Новак, Питер; Лабунец, Валерий (2004). "Быстрые цветные вейвлет-преобразования Хаара-Хартли-Прометея для обработки изображений". Написано в Prometheus Inc., Ньюпорт, США. В Byrnes, Jim (ред.). Computational Noncommutative Algebra and Applications (PDF) . NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry (NAII). Том 136. Дордрехт, Нидерланды: Springer Science + Business Media, Inc. стр. 401–411. doi :10.1007/1-4020-2307-3. ISBN 978-1-4020-1982-1. ISSN 1568-2609. Архивировано (PDF) из оригинала 2017-10-28 . Получено 2017-10-28 .
^ Каммлер, Дэвид В. (2008-01-17). Первый курс анализа Фурье (2-е изд.). Cambridge University Press . ISBN 978-1-13946903-6. Получено 28.10.2017 .
^ Лоренцо, Карл Ф.; Хартли, Том Т. (2016-11-14). Дробная тригонометрия: с приложениями к дробным дифференциальным уравнениям и науке. John Wiley & Sons . ISBN 978-1-11913942-3. Получено 28.10.2017 .
^ "v?CIS". Справочник разработчика по Intel Math Kernel Library (Intel MKL) 2017 - C. Документация MKL; Библиотека документации IDZ. Intel Corporation . 2016-09-06. стр. 1799. 671504. Получено 2016-01-15 .
^ Beebe, Nelson HF (2017-08-22). "Глава 15.2. Комплексное абсолютное значение". The Mathematical-Function Computation Handbook - Programming Using the MathCW Portable Software Library (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . стр. 443. doi :10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446. S2CID 30244721.
^ "Intel C++ Compiler Reference" (PDF) . Intel Corporation . 2007 [1996]. стр. 34, 59–60. 307777-004US. Архивировано (PDF) из оригинала 2023-07-16 . Получено 2016-01-15 .
^ "CIS". Common Lisp Hyperspec . The Harlequin Group Limited . 1996. Архивировано из оригинала 2023-07-16 . Получено 2016-01-15 .
^ "CIS". LispWorks, Ltd. 2005 [1996]. Архивировано из оригинала 2023-07-16 . Получено 2016-01-15 .
^ ab "std.math: expi". Язык программирования D. Digital Mars . 2016-01-11 [2000]. Архивировано из оригинала 2023-07-16 . Получено 2016-01-14 .
^ "CIS". Справочник по Haskell . ZVON. Архивировано из оригинала 2023-07-16 . Получено 2016-01-15 .
^ "Математика; Математические операторы". Язык Julia . Архивировано из оригинала 2020-08-19 . Получено 2019-12-05 .
^ "Struct num_complex::Complex". Архивировано из оригинала 2023-07-16 . Получено 2022-08-05 .
^ Фукс, Мартин (2011). «Глава 11: Differenzierbarkeit von Funktionen». Анализ I (PDF) (на немецком языке) (изд. WS 2011/2012). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Университет Саара , Германия. стр. 3, 13. Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
^ аб Фукс, Мартин (2011). «Глава 8.IV: Специальные функции – Die trigonometrischen Funktionen». Анализ I (PDF) (на немецком языке) (изд. WS 2011/2012). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Университет Саара , Германия. стр. 16–20. Архивировано (PDF) из оригинала 16 июля 2023 г. Проверено 15 января 2016 г.
^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1866-01-01). "Книга II, Глава II. Дробные степени, Общие корни из единицы". Написано в Дублине, Ирландия. В Гамильтон, Уильям Эдвин (ред.). Элементы кватернионов (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Longmans, Green & Co. , University Press , Майкл Генри Гилл . стр. 250–257, 260, 262–263 . Получено 17.01.2016 . стр. 250, 252: [...] cos [...] + i sin [...] мы будем иногда сокращать до следующего: [...] cis [...]. Что касается знаков [...], их следует рассматривать как в основном доступные для настоящего изложения системы и как нечасто требуемые или используемые в последующей практике ; и то же замечание относится к недавнему сокращению cis вместо cos + i sin [...]([1], [2][3]) (Примечание. Эта работа была опубликована посмертно, Гамильтон умер в 1865 году.)
^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1899) [1866-01-01]. Гамильтон, Уильям Эдвин ; Джоли, Чарльз Джаспер (ред.). Элементы кватернионов. Том I (2-е изд.). Лондон, Великобритания: Longmans, Green & Co. стр. 262 . Получено 03.08.2019 . стр. 262: [...] недавнее сокращение cis для cos + i sin [...](Примечание. Это издание было переиздано издательством Chelsea Publishing Company в 1969 году.)
^ Стрингем, Ирвинг (1893-07-01) [1891]. Унипланарная алгебра, являющаяся частью 1 пропэдевтики к высшему математическому анализу. Том 1. CA Mordock & Co. (печатник) (1-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния, США: The Berkeley Press . стр. 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 . Получено 18.01.2016 . стр. 71: В качестве сокращения для cos θ + i sin θ удобно использовать cis θ , что можно прочитать: сектор θ .
^ ab Cajori, Florian (1952) [март 1929]. История математических обозначений. Том 2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 года, 2-е изд.). Чикаго, Иллинойс, США: Open court publishing company . стр. 133. ISBN 978-1-60206-714-1. Получено 18.01.2016 . стр. 133: Стрингем обозначил cos β + i sin β как «cis β », обозначение, также используемое Харкнессом и Морли.(Примечание. ISBN и ссылка на переиздание 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
^ Харкнесс, Джеймс ; Морли, Фрэнк (1898). Введение в теорию аналитических функций (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Macmillan and Company . стр. 18, 22, 48, 52, 170. ISBN 978-1-16407019-1. Получено 18.01.2016 .(Примечание. ISBN для переиздания Kessinger Publishing , 2010 г.)
^ Кэмпбелл, Джордж Эшли (1903) [1901-06-07]. "Глава XXX. О нагруженных линиях в телефонной передаче" (PDF) . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . Серия 6. 5 (27). Тейлор и Фрэнсис : 313–330. doi :10.1080/14786440309462928. Архивировано (PDF) из оригинала 2023-07-16 . Получено 2023-07-16 .(2+18 страниц)
^ Кэмпбелл, Джордж Эшли (апрель 1911 г.). «Цизоидальные колебания» (PDF) . Труды Американского института инженеров-электриков . XXX (1–6). Американский институт инженеров-электриков : 789–824. doi :10.1109/PAIEE.1911.6659711. S2CID 51647814 . Получено 24.06.2023 .(37 страниц)
^ ab Campbell, George Ashley (1928-10-01) [1927-09-13]. "Практическое применение интеграла Фурье" (PDF) . The Bell System Technical Journal . 7 (4). American Telephone and Telegraph Company : 639–707 [641]. doi :10.1002/j.1538-7305.1928.tb00347.x. S2CID 53552671 . Получено 2023-06-24 . стр. 641: Однако почти с самого начала было признано, что форма, которая наилучшим образом сочетает математическую простоту и полную общность, использует экспоненциальную осциллирующую функцию e ⁱ^2π^ft . Совсем недавно подавляющее преимущество использования этой осциллирующей функции при обсуждении синусоидальных колебательных систем было общепризнанным. Поэтому очевидно, что эта колеблющаяся функция должна быть принята в качестве основного колебания для обеих предложенных таблиц. Название для этого колебания, связывающее его с синусами и косинусами, а не с реальной показательной функцией, кажется желательным. Сокращение cis x для (cos x + i sin x ) предполагает, что мы называем эту функцию cis или cisoidal колебанием.(69 страниц)
^ Хартли, Ральф ВЛ (март 1942 г.). «Более симметричный анализ Фурье, применяемый к проблемам передачи». Труды IRE . 30 (3). Институт радиоинженеров : 144–150. doi :10.1109/JRPROC.1942.234333. S2CID 51644127. Архивировано из оригинала 05.04.2019 . Получено 16.07.2023 .
^ Брейсвелл, Рональд Н. (июнь 1999 г.) [1985, 1978, 1965]. Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). McGraw-Hill . ISBN 978-0-07303938-1.
^ Диль, Кристина; Леупп, Марсель (январь 2010 г.). Koplexe Zahlen: Ein Leitprogramm in Mathematik (PDF) (на немецком языке). Базель и Херизо, Швейцария: Eidgenössische Technische Hochschule Zürich (ETH). п. 41. Архивировано (PDF) из оригинала 27 августа 2017 г. п. 41: [...] Bitte vergessen Sie aber nicht, dass e ^iφ für uns bisher nur eine Schreibweise für den Einheitszeiger mit Winkel φ ist. В anderen Büchern wird dafür часто der Ausdruck cis( φ ) anstelle von e ^iφ verwendet. [...](109 страниц)