В топологии колпак дурака — это компактное топологическое пространство , образованное путем склеивания всех трех сторон сплошного треугольника , причем ориентация одной из сторон должна быть изменена на противоположную. Простое склеивание двух сторон, ориентированных в противоположных направлениях, даст конус, очень похожий на колпак дурака , но склеивание третьей стороны приведет к идентификации основания колпака с помощью линии, соединяющей основание с точкой. [1]
Название происходит от EC Zeeman , который заметил, что любой сжимаемый 2-комплекс (такой как шляпа дурака) после взятия декартова произведения с замкнутым единичным интервалом, по-видимому, является сжимаемым. [1] Это наблюдение стало известно как гипотеза Зеемана [2] и, как показал Зееман, влечет гипотезу Пуанкаре . [1]
Шляпа дурака стягиваема , но не сжимаема . Стягиваемость легко увидеть, заметив, что шляпа дурака вкладывается в 3-шар, а деформация 3-шара втягивается в шляпу дурака. В качестве альтернативы, заметьте, что шляпа дурака — это CW-комплекс, полученный путем склеивания границы 2-клетки с окружностью. Карта склеивания гомотопна тождественному отображению на окружности, и поэтому комплекс гомотопически эквивалентен диску. Напротив, он не сжимаем, потому что у него нет свободной грани. [1]