Лагранжева когерентная структура

Выделенные поверхности динамических траекторий

Отдельные траектории в модельном потоке обычно демонстрируют поведение, сильно отличающееся от поведения траекторий, начинающихся с того же начального состояния реального потока. Это происходит из-за неизбежного накопления ошибок и неопределенностей, а также чувствительной зависимости от начальных условий в любой реалистичной модели потока. Тем не менее, притягивающая LCS (такая как неустойчивое многообразие седловой точки) является удивительно устойчивой по отношению к ошибкам моделирования и неопределенностям. LCS, таким образом, являются идеальными инструментами для проверки и сравнительного анализа моделей

Лагранжевы когерентные структуры ( LCS ) — это выделенные поверхности траекторий в динамической системе , которые оказывают большое влияние на близлежащие траектории в течение интересующего интервала времени. ^{[1] [2] [3] [4]} Тип этого влияния может варьироваться, но он неизменно создает когерентную траекторную схему, для которой лежащая в основе LCS служит теоретическим центральным элементом. При наблюдении за трассерными схемами в природе легко идентифицируются когерентные особенности, но часто именно лежащая в основе структура создает эти особенности, которая представляет интерес.

Как показано справа, отдельные траектории трассеров, формирующие когерентные паттерны, как правило, чувствительны к изменениям в их начальных условиях и параметрах системы. Напротив, LCS, создающие эти траекторные паттерны, оказываются надежными и предоставляют упрощенный скелет общей динамики системы. ^{[1] [4] [5] [6]} Надежность этого скелета делает LCS идеальными инструментами для проверки, сравнения и бенчмаркинга моделей. LCS также можно использовать для текущего прогнозирования и даже краткосрочного прогнозирования эволюции паттернов в сложных динамических системах.

Физические явления, регулируемые LCS, включают плавающий мусор, разливы нефти ^[7] , поверхностные дрейфующие объекты ^{[8] [9]} и хлорофилловые структуры ^[10] в океане; облака вулканического пепла ^[11] и споры в атмосфере ^[12] ; и когерентные структуры толпы, образованные людьми ^[13] и животными.

Хотя ЛСК обычно существуют в любой динамической системе, их роль в создании когерентных структур, пожалуй, наиболее легко наблюдать в потоках жидкости.

Общие определения

Материальные поверхности

Рисунок 1: Инвариантное многообразие в расширенном фазовом пространстве, образованное эволюционирующей материальной поверхностью.

На фазовом пространстве и на временном интервале рассмотрим неавтономную динамическую систему, определенную через отображение потока , отображающее начальные условия в их положение для любого времени . Если отображение потока является диффеоморфизмом для любого выбора , то для любого гладкого набора начальных условий в , набор ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=[t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle F_{t_{0}}^{t}\colon x_{0}\mapsto x(t,t_{0},x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle x(t,t_{0},x_{0})\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle t\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle F_{t_{0}}^{t}}$ ${\displaystyle t\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{(x,t)\in {\mathcal {P}}\times {\mathcal {I}}\,\colon [F_{t_{0}}^{t}]^{-1}(x)\in {\mathcal {M}}(t_{0})\}}$$

является инвариантным многообразием в расширенном фазовом пространстве . Заимствуя терминологию из гидродинамики , мы называем эволюционирующий временной срез многообразия материальной поверхностью (см. рис. 1). Поскольку любой выбор начального набора условий приводит к инвариантному многообразию , инвариантные многообразия и связанные с ними материальные поверхности широко распространены и, как правило, неразличимы в расширенном фазовом пространстве. Лишь немногие из них будут действовать как ядра когерентных траекторных моделей. ${\displaystyle {\mathcal {P}}\times {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)=F_{t_{0}}^{t}({\mathcal {M}}(t_{0}))}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\in {\mathcal {P}}\times {\mathcal {I}}}$

LCS как исключительные материальные поверхности

Рисунок 2а: Гиперболическая ЛСК (притягивающая в красном и отталкивающая в синем) и эллиптическая ЛСК (границы зеленых областей) в двумерном моделировании турбулентности. (Изображение: Мохаммад Фаразманд)

Для создания связного рисунка материальная поверхность должна оказывать устойчивое и последовательное воздействие на близлежащие траектории в течение всего временного интервала . Примерами такого воздействия являются притяжение, отталкивание или сдвиг. В принципе, любое четко определенное математическое свойство подходит для создания связных рисунков из случайно выбранных близлежащих начальных условий. ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Большинство таких свойств можно выразить строгими неравенствами . Например, мы называем материальную поверхность притягивающей на интервале , если все достаточно малые начальные возмущения до переносятся потоком в еще меньшие конечные возмущения до . В классической теории динамических систем инвариантные многообразия , удовлетворяющие такому свойству притяжения на протяжении бесконечного времени, называются аттракторами . Они не только являются специальными, но даже локально уникальными в фазовом пространстве: не может существовать непрерывного семейства аттракторов. ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{1})}$

Напротив, в динамических системах, определенных на конечном временном интервале , строгие неравенства не определяют исключительные (т.е. локально уникальные) материальные поверхности. Это следует из непрерывности отображения потока на . Например, если материальная поверхность притягивает все близлежащие траектории на временном интервале , то так же будет делать любая достаточно близкая другая материальная поверхность. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle F_{t_{0}}^{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Таким образом, притягивающие, отталкивающие и сдвигающие материальные поверхности обязательно накладываются друг на друга, т. е. встречаются в непрерывных семействах. Это приводит к идее поиска LCS в динамических системах с конечным временем как исключительных материальных поверхностей, которые проявляют свойство, вызывающее когерентность, сильнее, чем любые соседние материальные поверхности. Такие LCS, определяемые как экстремумы (или, в более общем смысле, стационарные поверхности) для свойства когерентности с конечным временем, действительно будут служить наблюдаемыми центральными элементами траекторных моделей. Примеры притягивающих, отталкивающих и сдвигающих LCS в прямом численном моделировании двумерной турбулентности показаны на рис. 2а.

LCS против классических инвариантных многообразий

Классические инвариантные многообразия являются инвариантными множествами в фазовом пространстве автономной динамической системы. Напротив, LCS должны быть инвариантными только в расширенном фазовом пространстве. Это означает, что даже если базовая динамическая система является автономной , LCS системы на интервале будут, как правило, зависеть от времени , выступая в качестве эволюционирующих скелетов наблюдаемых когерентных траекторных моделей. Рисунок 2b показывает разницу между притягивающим LCS и классическим неустойчивым многообразием седловой точки для эволюционирующих времен в автономной динамической системе. ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle I}$

Рис. 2b: Притягивающая LCS является локально наиболее притягивающей материальной линией (инвариантное многообразие в расширенном фазовом пространстве положения и времени), действующей как хребтовая кривая деформирующихся шаблонов трассеров на конечном интервале времени. Напротив, неустойчивое многообразие неподвижной точки седлового типа является инвариантной кривой в фазовом пространстве, действующей как асимптотическая цель для шаблонов трассеров на бесконечных интервалах времени. Изображение: Мохаммад Фаразманд.

Объективность LCS

Предположим, что фазовое пространство базовой динамической системы является материальным конфигурационным пространством континуума, например, жидкости или деформируемого тела. Например, для динамической системы, созданной нестационарным полем скорости $${\displaystyle v=v(x,t),\qquad x\in U\subset \mathbb {R} ^{3},}$$

открытое множество возможных положений частиц является материальным конфигурационным пространством. В этом пространстве ЛСК являются материальными поверхностями, образованными траекториями. Содержится ли материальная траектория в ЛСК или нет, является свойством, которое не зависит от выбора координат, и, следовательно, не может зависеть от наблюдателя. Как следствие, ЛСК подчиняются основному требованию объективности (безразличие к материальной системе отсчета) механики сплошной среды. ^[4] Объективность ЛСК требует, чтобы они были инвариантны относительно всех возможных изменений наблюдателя, т. е. линейных изменений координат вида где — вектор преобразованных координат; — произвольная правильная ортогональная матрица, представляющая зависящие от времени вращения; и — произвольный -мерный вектор, представляющий зависящие от времени трансляции. Как следствие, любое самосогласованное определение или критерий ЛСК должны быть выражены в терминах величин, которые являются инвариантными относительно системы отсчета. Например, скорость деформации и тензор спина, определяемые как преобразование при евклидовых изменениях системы отсчета в величины ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle x=Q(t)y+b(t),}$$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle b(t)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle S(x,t)}$ ${\displaystyle W(x,t)}$ $${\displaystyle S(x,t)={\frac {1}{2}}\left(\nabla v(x,t)+(\nabla v(x,t))^{T}\right),\qquad W(x,t)={\frac {1}{2}}\left(\nabla v(x,t)-(\nabla v(x,t))^{T}\right),}$$ $${\displaystyle {\tilde {S}}(y,t)=Q(t)^{T}S(x,t)Q(t),\qquad {\tilde {W}}(y,t)=Q(t)^{T}S(x,t)Q(t)-Q(t)^{T}{\dot {Q}}(t).}$$

Таким образом, изменение евклидовой системы отсчета эквивалентно преобразованию подобия для , и, следовательно, подход LCS, зависящий только от собственных значений и собственных векторов ^{[14] [15]} , автоматически инвариантен относительно системы отсчета. Напротив, подход LCS, зависящий от собственных значений , в общем случае не инвариантен относительно системы отсчета. ${\displaystyle S(x,t)}$ ${\displaystyle S(x,t)}$ ${\displaystyle W(x,t)}$

Ряд зависящих от кадра величин, таких как , , , а также средние или собственные значения этих величин, обычно используются в эвристическом обнаружении LCS. Хотя такие величины могут эффективно отмечать особенности мгновенного поля скорости , способность этих величин фиксировать смешивание материалов, перенос и когерентность ограничена и априори неизвестна в любой заданной системе отсчета. В качестве примера рассмотрим линейное нестационарное движение частиц жидкости ^[4] ${\displaystyle \nabla v(x,t)}$ ${\displaystyle {W}(y,t)}$ ${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t}}$ ${\displaystyle v(x,t)}$

$${\displaystyle {\dot {x}}=v(x,t)={\begin{pmatrix}\sin {4t}&2+\cos {4t}\\-2+\cos {4t}&-\sin {4t}\end{pmatrix}}x,}$$

что является точным решением двумерных уравнений Навье–Стокса . Критерий Окубо-Вейсса (зависящий от системы отсчета) классифицирует всю область в этом потоке как эллиптическую (вихревую), поскольку выполняется, со ссылкой на норму евклидовой матрицы. Однако, как видно на рис. 3, траектории экспоненциально растут вдоль вращающейся линии и экспоненциально сжимаются вдоль другой вращающейся линии. ^[4] Таким образом, в материальных терминах поток является гиперболическим (седловым) в любой системе отсчета. ${\displaystyle q={\frac {1}{2}}({\vert S\vert }^{2}-{\vert W\vert }^{2})<0}$ ${\displaystyle \vert \,\cdot \,\vert }$

Рисунок 3: Мгновенные линии тока и эволюция траекторий, начинающихся изнутри одной из них в линейном решении уравнения Навье–Стокса. Эта динамическая система классифицируется как эллиптическая по ряду диагностик когерентности, зависящих от кадра, таких как критерий Окубо–Вейсса. (Изображение: Франциско Берон-Вера)

Поскольку хорошо известно, что уравнение Ньютона для движения частиц и уравнения Навье–Стокса для движения жидкости зависят от системы отсчета, может показаться нелогичным требовать инвариантности системы отсчета для ЛСК, которые состоят из решений этих уравнений, зависящих от системы отсчета. Однако вспомним, что уравнения Ньютона и Навье–Стокса представляют собой объективные физические принципы для материальных траекторий частиц . При условии правильного преобразования из одной системы отсчета в другую эти уравнения физически генерируют те же материальные траектории в новой системе отсчета. Фактически, мы решаем, как преобразовать уравнения движения из -системы отсчета в -систему отсчета посредством изменения координат , именно придерживаясь того, что траектории отображаются в траектории, т. е. требуя соблюдения для всех времен. Временная дифференциация этой идентичности и подстановка в исходное уравнение в -системе отсчета затем дает преобразованное уравнение в -системе отсчета. Хотя этот процесс добавляет новые члены (инерционные силы) в уравнения движения, эти инерционные члены возникают именно для того, чтобы гарантировать инвариантность материальных траекторий. Полностью состоящие из материальных траекторий, LCS остаются инвариантными в преобразованном уравнении движения, определенном в -системе отсчета. Следовательно, любое самосогласованное определение LCS или метод обнаружения также должны быть инвариантными по отношению к системе отсчета. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=Q(t)y+b(t)}$ ${\displaystyle x(t)=Q(t)y(t)+b(t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

Гиперболические НКП

Рисунок 4. Притягивающие и отталкивающие ЛСК в расширенном фазовом пространстве двумерной динамической системы.

Исходя из вышеизложенного обсуждения, простейший способ определения притягивающей LCS — потребовать, чтобы она была локально сильнейшей притягивающей материальной поверхностью в расширенном фазовом пространстве (см. Рис. 4). Аналогично, отталкивающая LCS может быть определена как локально сильнейшая отталкивающая материальная поверхность. Притягивающие и отталкивающие LCS вместе обычно называются гиперболическими LCS , ^{[2] [4],} поскольку они обеспечивают конечновременное обобщение классической концепции нормально гиперболических инвариантных многообразий в динамических системах . ${\displaystyle {\mathcal {P}}\times {\mathcal {I}}}$

Диагностический подход: гребни конечно-временного показателя Ляпунова (FTLE)

Эвристически можно искать начальные положения отталкивающих LCS как набор начальных условий, при которых бесконечно малые возмущения траекторий, начинающихся с , растут локально с самой высокой скоростью относительно траекторий, начинающихся с . ^{[2] [16]} Эвристический элемент здесь заключается в том, что вместо построения сильно отталкивающей материальной поверхности просто ищут точки большого разделения частиц. Такое разделение вполне может быть вызвано сильным сдвигом вдоль набора точек, идентифицированных таким образом; этот набор вовсе не гарантирует, что будет оказывать какое-либо нормальное отталкивание на близлежащие траектории. ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$

Рост бесконечно малого возмущения вдоль траектории управляется градиентом отображения потока . Пусть будет малым возмущением начального условия , причем , и обозначая произвольный единичный вектор в . Это возмущение обычно растет вдоль траектории в вектор возмущения . Тогда максимальное относительное растяжение бесконечно малых возмущений в точке может быть вычислено как ${\displaystyle {\xi }(t)}$ ${\displaystyle x(t,t_{0},x_{0})}$ ${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t}}$ ${\displaystyle \epsilon {\xi }(t_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle 0<\epsilon \ll 1}$ ${\displaystyle \xi (t_{0})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x(t,t_{0},x_{0})}$ ${\displaystyle {\xi }_{\epsilon }(t_{1};x_{0})=\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\epsilon {\xi }(t_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})&=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\max _{\left|\xi (t_{0})\right|=1}\left|\xi _{\epsilon }(t_{1};x_{0})\right|\\&=\max _{\left|\xi (t_{0})\right|=1}{\sqrt {\left\langle \nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\xi (t_{0}),\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\xi (t_{0})\right\rangle }}\\&=\max _{\left|\xi (t_{0})\right|=1}{\sqrt {\left\langle \xi (t_{0}),C_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\xi (t_{0})\right\rangle }}\\\end{aligned}}}$$

где обозначает правый тензор деформации Коши–Грина . Затем можно сделать вывод ^[2] , что максимальное относительное растяжение, испытываемое вдоль траектории, начинающейся с , равно просто . Поскольку это относительное растяжение имеет тенденцию к быстрому росту, удобнее работать с его показателем роста , который тогда является в точности показателем Ляпунова с конечным временем (FTLE) ${\displaystyle C_{t_{0}}^{t_{1}}=\left[\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\right]^{T}\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \delta _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})={\sqrt {\lambda _{n}(x_{0})}}}$ ${\displaystyle (\log {\delta _{t_{0}}^{t_{1}}})/(t_{1}-t_{0})}$

$${\displaystyle \mathrm {FTLE} _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})={\frac {1}{2(t_{1}-t_{0})}}\log \lambda _{n}(x_{0}).}$$

Рисунок 5а. Притягивающие (красные) и отталкивающие (синие) LCS, извлеченные как гребни FTLE из эксперимента по двумерной турбулентности (Изображение: Manikandan Mathur) ^[17]

Поэтому можно ожидать, что гиперболические LCS будут выглядеть как локальные максимизирующие поверхности (или хребты ) поля FTLE коразмерности один. ^{[2] [18]} Это ожидание оказывается оправданным в большинстве случаев: временные позиции отталкивающих LCS отмечены хребтами . Применяя тот же аргумент в обратном времени, мы получаем, что временные позиции притягивающих LCS отмечены хребтами обратного поля FTLE . ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {FTLE} _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {FTLE} _{t_{1}}^{t_{0}}}$

Классический способ вычисления показателей Ляпунова — решение линейного дифференциального уравнения для линеаризованной карты потока . Более целесообразный подход — вычисление поля FTLE из простого конечно-разностного приближения градиента деформации. ^[2] Например, в трехмерном потоке мы запускаем траекторию из любого элемента сетки начальных условий. Используя координатное представление для развивающейся траектории , мы аппроксимируем градиент карты потока как ${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t}(x_{0})}$ ${\displaystyle x(t;t_{0},x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x=(x^{1},x^{2},x^{3})}$ ${\displaystyle x(t;t_{0},x_{0})}$ $${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t}(x_{0})\approx {\begin{pmatrix}{\frac {x^{1}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{1})-x^{1}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{1})}{\left|2\delta _{1}\right|}}&{\frac {x^{1}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{2})-x^{1}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{2})}{\left|2\delta _{2}\right|}}&{\frac {x^{1}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{3})-x^{1}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{3})}{\left|2\delta _{3}\right|}}\\{\frac {x^{2}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{1})-x^{2}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{1})}{\left|2\delta _{1}\right|}}&{\frac {x^{2}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{2})-x^{2}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{2})}{\left|2\delta _{2}\right|}}&{\frac {x^{2}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{3})-x^{2}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{3})}{\left|2\delta _{3}\right|}}\\{\frac {x^{3}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{1})-x^{3}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{1})}{\left|2\delta _{1}\right|}}&{\frac {x^{3}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{2})-x^{3}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{2})}{\left|2\delta _{2}\right|}}&{\frac {x^{3}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{3})-x^{3}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{3})}{\left|2\delta _{3}\right|}}\end{pmatrix}},}$$

Рисунок 5б. Притягивающие (синие) и отталкивающие (красные) LCS, извлеченные как гребни FTLE из двумерного моделирования вихревой дорожки фон Кармана (Изображение: Йенс Кастен) ^[19]

с малым вектором, указывающим в направлении координат. Для двумерных потоков важна только первая младшая матрица из приведенной выше матрицы. ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

Рисунок 6. Хребты FTLE выделяют как гиперболическую LCS, так и линии сдвигового материала, такие как границы русла реки в трехмерной модели залива Нью-Ривер, Онслоу, Северная Каролина (изображение: Аллен Сандерсон). ^[20]

Проблемы с выводом гиперболических LCS из гребней FTLE

Гребни FTLE оказались простым и эффективным инструментом для визуализации гиперболических LCS в ряде физических задач, давая интригующие изображения начальных положений гиперболических LCS в различных приложениях (см., например, рис. 5a-b). Однако гребни FTLE, полученные в течение скользящих временных окон, не образуют материальных поверхностей. Таким образом, гребни при изменении не могут быть использованы для определения лагранжевых объектов, таких как гиперболические LCS. Действительно, локально наиболее сильно отталкивающая материальная поверхность над обычно не будет играть ту же роль над и, следовательно, ее развивающееся положение во времени не будет гребнем для . Тем не менее, развивающиеся гребни FTLE второй производной ^[21], вычисленные в течение скользящих интервалов формы, были идентифицированы некоторыми авторами в целом с LCS. ^[21] В поддержку этой идентификации также часто утверждается, что материальный поток над такими гребнями FTLE со скользящим окном должен быть обязательно небольшим. ^{[21] [22] [23] [24]} ${\displaystyle [t_{0}+T,t_{1}+T]}$ ${\displaystyle \mathrm {FTLE} _{t_{0}+T}^{t_{1}+T}(x_{0})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle [t_{0}+T,t_{1}+T]}$ ${\displaystyle t_{0}+T}$ ${\displaystyle \mathrm {FTLE} _{t_{0}+T}^{t_{1}+T}}$ ${\displaystyle [t_{0}+T,t_{1}+T]}$

Однако идентификация «гребень FTLE=LCS» ^{[21] [22]} страдает от следующих концептуальных и математических проблем:

• Гребни FTLE второй производной обязательно являются прямыми линиями и, следовательно, не существуют в физических задачах. ^{[25] [26]}
• Гребни FTLE, вычисленные по скользящим временным окнам с изменяющимся , как правило, не являются лагранжевыми, и поток через них, как правило, не мал. ^[27] ${\displaystyle [t_{0}+T,t_{1}+T]}$ ${\displaystyle T}$
• В частности, широко используемая формула потока материала ^{[21] [22] [23]} для гребней FTLE неверна , ^{[4] [27]} даже для прямых гребней FTLE .
• Гребни FTLE отмечают гиперболические положения LCS, но также выделяют поверхности высокого сдвига. ^[18] В приложениях часто возникает извилистая смесь обоих типов поверхностей (см. пример на рис. 6).
• Помимо гиперболических LCS, выделенных гребнями FTLE, существует несколько других типов LCS (эллиптические и параболические) ^[4].

Локальный вариационный подход: поверхности сжатия и растяжения

Локальная вариационная теория гиперболических ЛСК строится на их исходном определении как наиболее сильно отталкивающих или отталкивающих материальных поверхностей в потоке на интервале времени . ^[2] В начальной точке пусть обозначает единичную нормаль к начальной материальной поверхности (ср. рис. 6). В силу инвариантности материальных линий касательное пространство отображается в касательное пространство линеаризованным отображением потока . В то же время изображение нормальной нормали при в общем случае не остается нормальным к . Поэтому в дополнение к нормальной составляющей длины адвективная нормаль также развивает тангенциальную составляющую длины (ср. рис. 7). ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{0})}$ ${\displaystyle T_{x_{0}}{\mathcal {M}}(t_{0})}$ ${\displaystyle T_{x_{1}}{\mathcal {M}}(t_{1})}$ ${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t_{1})}$ ${\displaystyle \rho _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0,}n_{0})}$ ${\displaystyle \sigma _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0},n_{0})}$

Рисунок 7. Линеаризованная геометрия потока вдоль развивающейся материальной поверхности.

Если , то развивающаяся материальная поверхность строго отталкивает близлежащие траектории к концу временного интервала . Аналогично сигналы , которые строго притягивают близлежащие траектории вдоль своих нормальных направлений. Отталкивающая (притягивающая) ЛСК на интервале может быть определена как материальная поверхность , чистое отталкивание которой является точечно максимальным (минимальным) по отношению к возмущениям начального нормального векторного поля . Как и ранее, мы называем отталкивающие и притягивающие ЛСК в совокупности гиперболическими ЛСК . ^[2] ${\displaystyle \rho _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0},n_{0})>1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle \rho _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0},n_{0})<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$ ${\displaystyle \rho _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0},n_{0})}$ ${\displaystyle n_{0}}$

Решение этих локальных экстремальных принципов для гиперболических LCS в двух и трех измерениях дает единичные нормальные векторные поля, к которым гиперболические LCS должны быть везде касательными. ^{[28] [29] [30]} Существование таких нормальных поверхностей также требует условия интегрируемости типа Фробениуса в трехмерном случае. Все эти результаты можно суммировать следующим образом: ^[4]

Отталкивающие ЛСК получаются как наиболее отталкивающие линии сжатия, начиная с локальных максимумов . Притягивающие ЛСК получаются как наиболее притягивающие линии растяжения, начиная с локальных минимумов . Эти отправные точки служат начальными положениями исключительных седловых траекторий в потоке. Пример локального вариационного вычисления отталкивающей ЛСК показан на ФИГ. 8. Вычислительный алгоритм доступен в LCS Tool. ${\displaystyle \lambda _{2}(x_{0})}$ ${\displaystyle \lambda _{1}(x_{0})}$

Рисунок 8. Отталкивающая LCS, визуализированная как гребень FTLE (слева) и вычисленная точно как линия сжатия (справа), т.е. решение ОДУ, начинающееся с глобального максимума . ^[28] (Изображение: Мохаммад Фаразманд) ${\displaystyle x_{0}^{\prime }=\xi _{1}(x_{0})}$ ${\displaystyle \lambda _{2}(x_{0})}$

В трехмерных потоках вместо решения уравнения Фробениуса в частных производных (см. таблицу выше) для гиперболических LCS более простым подходом является построение пересечений гиперболических LCS с выбранными двумерными плоскостями и численное соответствие поверхности большому числу таких кривых пересечения. Обозначим единичную нормаль двумерной плоскости как . Кривая пересечения двумерной отталкивающей поверхности LCS с плоскостью нормальна как к единичной нормали LCS , так и к единичной нормали LCS. Как следствие, кривая пересечения удовлетворяет ОДУ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle n_{\Pi }}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle n_{\Pi }}$ ${\displaystyle \xi _{3}(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}(s)}$

$${\displaystyle x_{0}^{\prime }=\xi _{3}(x_{0})\times n_{\Pi },}$$

чьи траектории мы называем приведенными линиями сжатия . ^[30] (Строго говоря, это уравнение не является обыкновенным дифференциальным уравнением, учитывая, что его правая часть является не векторным полем, а полем направлений, которое, как правило, не является глобально ориентируемым). Пересечения гиперболических LCS с являются наиболее быстро сжимающимися приведенными линиями сжатия. Определение таких линий сжатия в гладком семействе соседних плоскостей, а затем подгонка поверхности к полученному таким образом семейству кривых дает численное приближение двумерного отталкивающего LCS. ^[30] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$

Глобальный вариационный подход: линии сжатия и растяжения как нулевые геодезические

Общая материальная поверхность испытывает сдвиг и деформацию при своей деформации, и оба они непрерывно зависят от начальных условий из-за непрерывности карты . Усредненная деформация и сдвиг в пределах полосы -близких материальных линий, таким образом, обычно показывают вариацию в пределах такой полосы. Двумерная геодезическая теория LCS ищет исключительно когерентные местоположения, где эта общая тенденция не выполняется, что приводит к порядку величины меньшей изменчивости сдвига или деформации, чем то, что обычно ожидается поперек полосы . В частности, геодезическая теория ищет LCS как особые материальные линии, вокруг которых материальные полосы не показывают изменчивости ни в усредненном по материальной линии сдвиге ( Shearless LCS ), ни в усредненной по материальной линии деформации ( Strainless или Elliptic LCS ). Такие LCS оказываются нулевыми геодезическими соответствующих метрических тензоров, определяемых полем деформации, — отсюда и название этой теории. ${\displaystyle F_{t_{0}}^{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$

Обнаружено, что бессдвиговые НКП являются нулевыми геодезическими лоренцевского метрического тензора , определяемого как ^[31] ${\displaystyle D_{t_{0}}^{t_{1}}}$

$${\displaystyle D_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})={\frac {1}{2}}\left[C_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\Omega -\Omega C_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\right],\qquad \Omega ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}.}$$

Можно доказать, что такие нулевые геодезические являются тензорными линиями тензора деформации Коши–Грина, т. е. касаются поля направлений, образованного полями собственных векторов деформации . ^[31] В частности, отталкивающие LCS являются траекториями, начинающимися с локальных максимумов поля собственных значений. Аналогично, притягивающие LCS являются траекториями, начинающимися с локальных минимумов поля собственных значений. Это согласуется с выводом локальной вариационной теории LCS. Однако геодезический подход также проливает больше света на надежность гиперболических LCS: гиперболические LCS преобладают только как стационарные кривые усредненного функционала сдвига при вариациях, которые оставляют их конечные точки фиксированными. Это следует противопоставлять параболическим LCS (см. ниже), которые также являются бессдвиговыми LCS, но преобладают как стационарные кривые к функционалу сдвига даже при произвольных вариациях. Вследствие этого индивидуальные траектории объективны, и утверждения о образуемых ими связных структурах также должны быть объективными. ${\displaystyle \xi _{i}(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}^{\prime }=\xi _{1}(x_{0})}$ ${\displaystyle \lambda _{2}(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}^{\prime }=\xi _{2}(x_{0})}$ ${\displaystyle \lambda _{1}(x_{0})}$

Пример применения показан на рис. 9, где внезапное появление гиперболического ядра (самой сильно притягивающей части растягивающейся линии) внутри нефтяного пятна вызвало заметную неустойчивость «хвоста тигра» в форме нефтяного пятна.

Эллиптические LCS

Эллиптические LCS — это замкнутые и вложенные материальные поверхности, которые действуют как строительные блоки лагранжевых эквивалентов вихрей, т. е. областей траекторий с преобладанием вращения, которые обычно пересекают фазовое пространство без существенного растяжения или складывания. Они имитируют поведение торов Колмогорова–Арнольда–Мозера (КАМ) , которые образуют эллиптические области в гамильтоновых системах . К их когерентности можно приблизиться либо через их однородное материальное вращение, либо через их однородные свойства растяжения.

Вращательная когерентность от угла полярного вращения (PRA)

В качестве простейшего подхода к вращательной когерентности можно определить эллиптическую ЛСК как трубчатую материальную поверхность, вдоль которой малые объемы материала совершают одно и то же чистое вращение за интересующий интервал времени. ^[32] Проблема в том, что в каждом элементе объема материала все отдельные волокна материала (касательные векторы к траекториям) совершают различные вращения. ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$

Чтобы получить четко определенное объемное вращение для каждого материального элемента, можно использовать уникальные лево- и правополярные разложения градиента потока в форме

$${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}=R_{t_{0}}^{t_{1}}U_{t_{0}}^{t_{1}}=V_{t_{0}}^{t_{1}}R_{t_{0}}^{t_{1}},}$$где собственный ортогональный тензор называется тензором вращения , а симметричные положительно определенные тензоры называются левым тензором растяжения и правым тензором растяжения соответственно. ${\displaystyle R_{t_{0}}^{t_{1}}}$ ${\displaystyle U_{t_{0}}^{t_{1}},V_{t_{0}}^{t_{1}}}$

Так как тензор деформации Коши–Грина можно записать как локальную материальную деформацию, описываемую собственными значениями и собственными векторами , то полностью захватываются сингулярными значениями и сингулярными векторами тензоров растяжения. Оставшийся фактор в градиенте деформации представлен как , интерпретируемый как компонент вращения объемного твердого тела объемных элементов. В плоских движениях это вращение определяется относительно нормали плоскости. В трех измерениях вращение определяется относительно оси, определяемой собственным вектором , соответствующим его единичному собственному значению. В многомерных потоках тензор вращения нельзя рассматривать как вращение вокруг одной оси. $${\displaystyle C_{t_{0}}^{t_{1}}=[\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}]^{T}\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}=U_{t_{0}}^{t_{1}}U_{t_{0}}^{t_{1}}=V_{t_{0}}^{t_{1}}V_{t_{0}}^{t_{1}},}$$ ${\displaystyle C_{t_{0}}^{t_{1}}}$ ${\displaystyle R_{t_{0}}^{t_{1}}}$ ${\displaystyle R_{t_{0}}^{t_{1}}}$

Рисунок 10а. Эллиптические LCS, выявленные с помощью замкнутых кривых уровня распределения PRA в двумерном моделировании турбулентности. (Изображение: Мохаммад Фаразманд) ^[32]

Рисунок 10b. Эллиптические LCS, выявленные с помощью замкнутых кривых уровня распределения PRA в стационарном потоке ABC . (Изображение: Мохаммад Фаразманд) ^[32]

В двух и трех измерениях, следовательно, существует полярный угол вращения (PRA) , который характеризует вращение материала, генерируемое для элемента объема, центрированного в начальном состоянии . Этот PRA хорошо определен вплоть до кратных . Для двумерных потоков PRA можно вычислить из инвариантов с использованием формул ^[32] ${\displaystyle \theta _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})}$ ${\displaystyle R_{t_{0}}^{t_{1}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle C_{t_{0}}^{t_{1}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta _{t_{0}}^{t_{1}}&={\frac {\langle \xi _{i},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{i}\rangle }{\sqrt {\lambda _{i}}}},\quad i=1\,\,or\,\,\,2,\\\sin \theta _{t_{0}}^{t_{1}}&=\left(-1\right)^{j}{\frac {\langle \xi _{i},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{j}\rangle }{\sqrt {\lambda _{j}}}},\qquad (i,j)=(1,2)\,\,or\,\,(2,1),\\\end{aligned}}}$$

которые дают четырехквадрантную версию PRA по формуле

$${\displaystyle \theta _{t_{0}}^{t}=\left[1-{\rm {sign\,}}\left(\sin \theta _{t_{0}}^{t}\right)\right]\pi +{\rm {sign\,}}\left(\sin \theta _{t_{0}}^{t}\right)\cos ^{-1}\left(\cos \theta _{t_{0}}^{t}\right).}$$

Для трехмерных потоков PRA снова можно вычислить из инвариантов по формулам ^[32] ${\displaystyle C_{t_{0}}^{t_{1}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta _{t_{0}}^{t}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{3}{\frac {\left\langle \xi _{i},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{i}\right\rangle }{\sqrt {\lambda _{i}}}}-1\right),\\\sin \theta _{t_{0}}^{t}&={\frac {\left\langle \xi _{i},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{j}\right\rangle -\left\langle \xi _{j},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{i}\right\rangle }{2\epsilon _{ijk}e_{k}}},\qquad i\neq j,\end{aligned}}}$$где — символ Леви-Чивита , — собственный вектор, соответствующий единичному собственному вектору матрицы . ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} =\left\{e_{k}\right\}}$ ${\displaystyle \left[K_{t_{0}}^{t}\right]_{jk}=\left\langle \xi _{j},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{k}\right\rangle /{\sqrt {\lambda _{k}}}}$

Временные положения эллиптических LCS визуализируются как трубчатые уровни распределения PRA . Таким образом, в двух измерениях (полярные) эллиптические LCS являются просто замкнутыми кривыми уровня PRA, которые оказываются объективными. ^[32] В трех измерениях (полярные) эллиптические LCS являются тороидальными или цилиндрическими поверхностями уровня PRA, которые, однако, не являются объективными и, следовательно, будут, как правило, изменяться во вращающихся системах отсчета. Когерентные границы вихрей Лагранжа могут быть визуализированы как самые внешние члены вложенных семейств эллиптических LCS. Двумерные и трехмерные примеры эллиптических LCS, выявленные трубчатыми поверхностями уровня PRA, показаны на рис. 10a-b. ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \theta _{t_{0}}^{t}}$

Вращательная когерентность из усредненного по Лагранжу отклонения вихреобразования (LAVD)

Уровни PRA объективны в двух измерениях, но не в трех. Дополнительным недостатком тензора полярного вращения является его динамическая непоследовательность: полярные вращения, вычисленные по смежным подынтервалам полной деформации, не суммируются с вращением, вычисленным для полного временного интервала той же деформации. ^[33] Следовательно, в то время как является ближайшим тензором вращения к в норме по фиксированному временному интервалу , эти кусочно-наилучшие соответствия не образуют семейство вращений твердого тела, поскольку и изменяются. По этой причине вращения, предсказанные тензором полярного вращения по изменяющимся временным интервалам, отклоняются от экспериментально наблюдаемого среднего материального вращения жидких элементов. ^{[33] [34]} ${\displaystyle R_{t_{0}}^{t_{1}}}$ ${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$

Рисунок 11a: Вращательно-когерентные мезомасштабные границы вихрей в океане в момент времени t0 = 11 ноября 2006 г., идентифицированные по спутниковым поверхностным скоростям с использованием времени интегрирования t1-t0=90 дней. Границы идентифицированы как самые внешние замкнутые контуры LAVD с небольшим дефицитом выпуклости. На заднем плане также показан контурный график поля LAVD для справки. (Изображение: Алиреза Хаджигасем) ^[34]

Рисунок 11b: Материально переносимые вращательно-когерентные мезомасштабные границы вихрей и центры вихрей в океане, а также репрезентативные инерционные траектории частиц, инициализированные на границах вихрей. Центры вихрей получаются как локальные максимумы поля LAVD. Как можно доказать математически, тяжелые частицы (голубые) сходятся к центрам антициклонических (по часовой стрелке) вихрей. Легкие частицы (черные) сходятся к центрам циклонических (по часовой стрелке) вихрей. (Фильм: Алиреза Хаджигасем) ^[34]

Альтернатива классическому полярному разложению обеспечивает разрешение как проблемы необъективности, так и проблемы динамической несогласованности. В частности, динамическое полярное разложение (DPD) ^[33] градиента деформации также имеет вид

$${\displaystyle \nabla F_{t_{0}}^{t}=O_{t_{0}}^{t}M_{t_{0}}^{t}=N_{t_{0}}^{t}O_{t_{0}}^{t},}$$

где собственный ортогональный тензор — это динамический тензор вращения , а несингулярные тензоры — это левый динамический тензор растяжения и правый динамический тензор растяжения соответственно. Так же, как и классическое полярное разложение, DPD справедливо в любой конечной размерности. Однако, в отличие от классического полярного разложения, динамические тензоры вращения и растяжения получаются из решения линейных дифференциальных уравнений, а не из матричных манипуляций. В частности, — это градиент деформации чисто вращательного потока ${\displaystyle O_{t_{0}}^{t}}$ ${\displaystyle M_{t_{0}}^{t},N_{t_{0}}^{t}}$ ${\displaystyle O_{t_{0}}^{t}=\nabla _{a_{0}}a(t)}$

$${\displaystyle {\dot {a}}=W\left(x(t;x_{0}),t\right)a,}$$

и - градиент деформации чисто деформационного течения ${\displaystyle M_{t_{0}}^{t}=\nabla _{b_{0}}b(t)}$

$${\displaystyle {\dot {b}}=O_{t}^{t_{0}}S\left(x(t;x_{0}),t\right)O_{t_{0}}^{t}b.}$$.

Динамический тензор вращения можно далее разложить на два градиента деформации: один для пространственно однородного (твердого тела) вращения и один, который отклоняется от этого равномерного вращения: ${\displaystyle O_{t_{0}}^{t}}$

$${\displaystyle O_{t_{0}}^{t}=\Phi _{t_{0}}^{t}\Theta _{t_{0}}^{t}.}$$

Как пространственно независимое вращение твердого тела, собственный ортогональный тензор относительного вращения является динамически согласованным, выступая в качестве градиента деформации потока относительного вращения. ${\displaystyle \Phi _{t_{0}}^{t}=\partial _{\alpha _{0}}\alpha (t)}$

$${\displaystyle {\dot {\alpha }}=\left[W\left(x(t;x_{0}),t\right)-{\bar {W}}\left(t\right)\right]\alpha .}$$

Напротив, правильный ортогональный тензор среднего вращения представляет собой градиент деформации потока среднего вращения ${\displaystyle \Theta _{t_{0}}^{t}=D_{\beta _{0}}\beta (t)}$

$${\displaystyle {\dot {\beta }}=\Phi _{t}^{t_{0}}{\bar {W}}\left(t\right)\Phi _{t_{0}}^{t}\beta .}$$Динамическая согласованность подразумевает, что полный угол, охватываемый вокруг собственной оси вращения, динамически согласован. Этот внутренний угол вращения также является объективным и оказывается равным половине отклонения завихренности, усредненного по Лагранжу ( LAVD ). ^[34] LAVD определяется как усредненная по траектории величина отклонения завихренности от ее пространственного среднего значения. С учетом завихренности и ее пространственного среднего значение LAVD за временной интервал принимает вид ^[34] ${\displaystyle \Phi _{t_{0}}^{t}}$ ${\displaystyle \Phi _{t_{0}}^{t}}$ ${\displaystyle \psi _{t_{0}}^{t}(x_{0})}$ ${\displaystyle \omega (x,t)=\nabla \times v(x,t)}$ $${\displaystyle {\bar {\omega }}(t)={\frac {\int _{U(t)}\omega (x,t)\,dV}{\mathrm {vol} \,(U(t))}},}$$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ $${\displaystyle \mathrm {LAVD} _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0}):=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left|\omega (x(s;x_{0}),s)-{\bar {\omega }}(s)\right|\,ds,}$$

с обозначением (возможно, изменяющейся во времени) области определения поля скорости . Этот результат применим как в двух, так и в трех измерениях и позволяет вычислить четко определенный, объективный и динамически согласованный угол поворота материала вдоль любой траектории. ${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle v(x,t)}$

Рисунок 11c: Вращательно-когерентный мезомасштабный вихрь (желтый) в океанической модели Southern Ocean State Estimate (SOSE) в момент времени t0 = 15 мая 2006 г., рассчитанный как трубчатая поверхность уровня LAVD за период времени t1-t0=120 дней. Также показаны близлежащие поверхности уровня LAVD для иллюстрации вращательной некогерентности за пределами вихря. (Изображение: Алиреза Хаджигасем) ^[34]

Самые внешние сложные трубчатые кривые уровня LAVD определяют начальные положения вращательно-когерентных границ материальных вихрей в двумерных нестационарных потоках (см. рис. 11а). По конструкции эти границы могут демонстрировать поперечную филаментацию, но любая развивающаяся нить продолжает вращаться вместе с границей, без глобального поперечного отклонения от материального вихря. (Исключением являются невязкие потоки, где такое глобальное отклонение поверхностей уровня LAVD от вихря возможно, поскольку элементы жидкости сохраняют свою материальную скорость вращения для всех времен ^[34] ). Примечательно, что центры вращательно-когерентных вихрей (определяемые локальными максимумами поля LAVD) могут быть доказаны как наблюдаемые центры притяжения или отталкивания для движения частиц конечного размера (инерционного) в геофизических потоках (см. рис. 11б). ^[34] В трехмерных потоках трубчатые поверхности уровня LAVD определяют начальные положения двумерных вихревых граничных поверхностей (см. рис. 11c), которые остаются вращательно когерентными в течение времени intcenter|erval (см. рис. 11d). ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$

Рис. 11c Материальная адвекция вращательно-когерентного лагранжева вихря и его ядра в наборе данных трехмерной модели SOSE. (Анимация: Алиреза Хаджигасем) ^[34]

Когерентность на основе растяжения с использованием локального вариационного подхода: поверхности сдвига

Локальная вариационная теория эллиптических LCS нацелена на материальные поверхности, которые локально максимизируют материальный сдвиг в течение конечного интервала времени, представляющего интерес. Это означает, что в начальной точке каждой точки эллиптического LCS касательное пространство является плоскостью, вдоль которой локальный лагранжев сдвиг максимален (ср. рис. 7). ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {M}}(t_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(t)}$ ${\displaystyle T_{x_{0}}{\mathcal {M}}(t_{0})}$ ${\displaystyle \sigma _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})}$

Введение в двумерное векторное поле сдвига и трехмерное векторное поле нормали сдвига $${\displaystyle \eta ^{\pm }(x_{0}):={\sqrt {\frac {\lambda _{2}(x_{0})-1}{\lambda _{2}(x_{0})-\lambda _{1}(x_{0})}}}\xi _{1}(x_{0})\pm {\sqrt {\frac {1-\lambda _{1}(x_{0})}{\lambda _{2}(x_{0})-\lambda _{1}(x_{0})}}}\xi _{2}(x_{0}),}$$ $${\displaystyle n_{\pm }(x_{0})={\sqrt {\frac {\sqrt {\lambda _{1}(x_{0})}}{{\sqrt {\lambda _{1}(x_{0})}}+{\sqrt {\lambda _{3}(x_{0})}}}}}\xi _{1}(x_{0})\pm {\sqrt {\frac {\sqrt {\lambda _{3}(x_{0})}}{{\sqrt {\lambda _{1}(x_{0})}}+{\sqrt {\lambda _{3}(x_{0})}}}}}\xi _{3}(x_{0}),}$$

критерии для двух- и трехмерных эллиптических LCS можно суммировать следующим образом: ^{[30] [35]}

Для 3D-потоков, как и в случае гиперболических LCS, решения уравнения Фробениуса в частных производных можно избежать. Вместо этого можно построить пересечения трубчатого эллиптического LCS с выбранными 2D-плоскостями и численно подогнать поверхность к большому количеству этих кривых пересечения. Как и для гиперболических LCS выше, обозначим единичную нормаль 2D-плоскости как . Опять же, кривые пересечения эллиптических LCS с плоскостью нормальны как и к единичной нормали LCS. Как следствие, кривая пересечения удовлетворяет приведенному сдвиговому ОДУ, траектории которого мы называем приведенными линиями сдвига . ^[30] (Строго говоря, приведенное сдвиговое ОДУ не является обыкновенным дифференциальным уравнением, учитывая, что его правая часть является не векторным полем, а полем направлений, которое, как правило, не является глобально ориентируемым). Пересечения трубчатых эллиптических LCS с являются предельными циклами приведенного сдвигового ОДУ. Определение таких предельных циклов в гладком семействе соседних плоскостей, а затем подгонка поверхности к семейству предельных циклов дает численное приближение для 2D поверхности сдвига. Трехмерный пример этого локального вариационного вычисления эллиптической LCS показан на рис. 11. ^[30] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle n_{\Pi }}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle n_{\Pi }}$ ${\displaystyle n_{\pm }(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}(s)}$ $${\displaystyle x_{0}^{\prime }=n_{\pm }(x_{0})\times n_{\Pi },}$$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$

Рисунок 11: Эллиптическая Лагранжева Когерентная Структура (или LCS, в зеленом, слева) и ее адвективное положение под картой потока (справа) хаотически вынужденного потока ABC. Также зеленым показан круг начальных условий, размещенный вокруг LCS (слева), адвектированный в течение того же времени (справа). Изображение: Daniel Blazevski.

Когерентность на основе растяжения из глобального вариационного подхода: лямбда-линии

Рисунок 13. Вложенное семейство эллиптических LCS, полученных как -линии, образующие транспортные барьеры вокруг Большого Красного Пятна (БКП) Юпитера. Эти LCS были идентифицированы в двумерном нестационарном поле скоростей, реконструированном из видеозаписи Юпитера. ^[36] Цвет указывает на соответствующие значения параметра . Также показана идеально когерентная ( -линия), ограничивающая ядро ​​БКП, а также самая внешняя эллиптическая LCS, служащая границей лагранжева вихря БКП. Изображение: Алиреза Хаджигасем. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =1}$

Как отмечено выше в отношении гиперболических LCS, глобальный вариационный подход был разработан в двух измерениях для описания эллиптических LCS как замкнутых стационарных кривых функционала деформации Лагранжа, усредненного по материальной линии. ^{[4] [37]} Такие кривые оказываются замкнутыми нулевыми геодезическими обобщенного семейства тензоров деформации Грина–Лагранжа , где — положительный параметр (множитель Лагранжа). Можно показать, что замкнутые нулевые геодезические совпадают с предельными циклами семейства полей направлений ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(C_{t_{0}}^{t_{1}}-\lambda I)}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

$${\displaystyle \eta _{\lambda }^{\pm }(x_{0}):={\sqrt {\frac {\lambda _{2}(x_{0})-\lambda ^{2}}{\lambda _{2}(x_{0})-\lambda _{1}(x_{0})}}}\xi _{1}(x_{0})\pm {\sqrt {\frac {\lambda ^{2}-\lambda _{1}(x_{0})}{\lambda _{2}(x_{0})-\lambda _{1}(x_{0})}}}\xi _{2}(x_{0}),}$$

Отметим, что при поле направлений совпадает с полем направлений для линий сдвига, полученным выше из локальной вариационной теории ЛСК. ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle \eta _{\lambda }^{\pm }(x_{0}}$ ${\displaystyle \eta ^{\pm }(x_{0}}$

Траектории называются -линиями. Примечательно, что они являются начальными положениями материальных линий, которые бесконечно мало равномерно растягиваются под картой потока . В частности, любое подмножество -линии растягивается с коэффициентом между временами и . В качестве примера на рис. 13 показаны эллиптические LCS, идентифицированные как замкнутые -линии внутри Большого Красного Пятна Юпитера. ^[36] ${\displaystyle \eta _{\lambda }^{\pm }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle F_{t_{0}}^{t_{1}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Параболические LCS

Параболические LCS — это несдвиговые материальные поверхности, которые очерчивают ядра наборов траекторий типа струи. Такие LCS характеризуются как низким растяжением (потому что они находятся внутри нерастягивающейся структуры), так и низким сдвигом (потому что сдвиг материала минимален в ядрах струи).

Диагностический подход: траншеи конечных показателей Ляпунова (FTLE)

Поскольку и сдвиг, и растяжение максимально малы вдоль параболической LCS, можно искать начальные положения таких материальных поверхностей как траншеи поля FTLE . ^{[38] [39]} Геофизический пример параболической LCS (обобщенного ядра струи), выявленного как траншея поля FTLE, показан на рис. 14а. ${\displaystyle FTLE_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})}$

Глобальный вариационный подход: гетероклинические цепи нуль-геодезических

В двух измерениях параболические LCS также являются решениями глобального вариационного принципа без сдвига, описанного выше для гиперболических LCS. ^[31] Как таковые, параболические LCS состоят из линий сжатия и линий растяжения, которые представляют геодезические метрического тензора Лоренца . Однако, в отличие от гиперболических LCS, параболические LCS удовлетворяют более надежным граничным условиям: они остаются стационарными кривыми функционала сдвига, усредненного по материальной линии, даже при изменениях их конечных точек. Это объясняет высокую степень надежности и наблюдаемости, которую демонстрируют ядра струй при смешивании. Это следует противопоставлять высокочувствительному и исчезающему следу гиперболических LCS вдали от сильно гиперболических областей в диффузионных трассерных моделях. ${\displaystyle D_{t_{0}}^{t_{1}}}$

При переменных граничных условиях конечной точки начальные положения параболических LCS оказываются чередующимися цепочками линий сжатия и линий растяжения, которые соединяют сингулярности этих линейных полей. ^{[4] [31]} Эти сингулярности возникают в точках, где , и, следовательно, не происходит бесконечно малой деформации между двумя моментами времени и . На рис. 14b показан пример параболических LCS в атмосфере Юпитера, обнаруженный с помощью этой вариационной теории. ^[36] Формы шевронного типа, образующиеся из круглых материальных капель, расположенных вдоль ядра струи, характерны для деформации трассера вблизи параболических LCS. ${\displaystyle \lambda _{1}(x_{0})=\lambda _{2}(x_{0})}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$

Рисунок 14b: Параболические LCS, описывающие нестационарные ядра лагранжевых струй в атмосфере Юпитера. ^[36] Также показана эволюция эллиптической LCS, отмечающей границу Большого Красного Пятна. Видео: Алиреза Хаджигасем.

Пакеты программ для расчетов LCS

Расчет адвекции частиц и конечного показателя Ляпунова:

• ManGen ^[40] (исходный код)
• LCS MATLAB Kit ^[41] (исходный код)
• FlowVC ^[42] (исходный код)
• cuda_ftle ^[43] (исходный код)
• CTRAJ ^[44]
• Ньюман ^[45] (исходный код)
• FlowTK ^[46] (исходный код)

Блокноты Jupyter, которые проведут вас по методам, используемым для извлечения адвективных, диффузионных, стохастических и активных транспортных барьеров из дискретных данных о скорости.

• TBarrier ^[47] (исходный код)

Смотрите также

• Турбулентность
• Теория хаоса
• Теория динамических систем
• Спектральное подмногообразие
• Эйлерова когерентная структура
• Когерентная турбулентная структура

Ссылки

1. Haller, G. (2023). Транспортные барьеры и когерентные структуры в потоковых данных. Cambridge University Press. ISBN 9781009225199.
2. Халлер, Г.; Юань, Г. (2000). «Лагранжевы когерентные структуры и перемешивание в двумерной турбулентности». Physica D: Nonlinear Phenomena . 147 (3–4): 352. Bibcode :2000PhyD..147..352H. doi :10.1016/S0167-2789(00)00142-1.
3. Пикок, Т.; Халлер, Г. (2013). «Лагранжевы когерентные структуры: скрытый скелет потоков жидкости». Physics Today . 66 (2): 41. Bibcode : 2013PhT....66b..41P. doi : 10.1063/PT.3.1886.
4. Haller, G. (2015). «Лагранжевы когерентные структуры». Annual Review of Fluid Mechanics . 47 (1): 137–162. Bibcode :2015AnRFM..47..137H. doi :10.1146/annurev-fluid-010313-141322.
5. Бозоргмагхам, AE; Росс, SD; Шмейл, DG (2013). «Прогнозирование в реальном времени атмосферных лагранжевых когерентных структур на основе данных прогноза: применение и анализ ошибок». Physica D: Nonlinear Phenomena . 258 : 47–60. Bibcode : 2013PhyD..258...47B. doi : 10.1016/j.physd.2013.05.003.
6. Бозоргмагхам, AE; Росс, SD (2015). «Атмосферные лагранжевы когерентные структуры с учетом неразрешенной турбулентности и неопределенности прогноза». Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 22 (1–3): 964–979. Bibcode : 2015CNSNS..22..964B. doi : 10.1016/j.cnsns.2014.07.011.
7. Оласкоага, М. Дж.; Халлер, Г. (2012). «Прогнозирование внезапных изменений в моделях загрязнения окружающей среды». Труды Национальной академии наук . 109 (13): 4738–4743. Bibcode : 2012PNAS..109.4738O. doi : 10.1073/pnas.1118574109 . PMC 3323984. PMID  22411824 . 
8. Nencioli, F.; d'Ovidio, F.; Doglioli, AM; Petrenko, AA (2011). "Surface coastal circular patterns by in-situ detection of Lagrangian coherent structures". Geophysical Research Letters . 38 (17): n/a. Bibcode : 2011GeoRL..3817604N. doi : 10.1029/2011GL048815 .
9. Оласкоага, MJ; Берон-Вера, Ф.Дж.; Халлер, Г.; Триньянес, Дж.; Искандарани, М.; Коэльо, ЭФ; Хаус, БК; Хантли, HS; Джейкобс, Г.; Кирван, AD; Липпхардт, БЛ; Озгёкмен, ТМ; хм Ренье, Эй Джей; Валле-Левинсон, А. (2013). «Движение дрифтера в Мексиканском заливе, ограниченное высотными лагранжевыми когерентными структурами». Письма о геофизических исследованиях . 40 (23): 6171. Бибкод : 2013GeoRL..40.6171O. дои : 10.1002/2013GL058624 .
10. Huhn, F.; von Kameke, A.; Pérez-Muñuzuri, V.; Olascoaga, MJ; Beron-Vera, FJ (2012). "Влияние адвективного переноса противотечением Южного Индийского океана на цветение планктона на Мадагаскаре". Geophysical Research Letters . 39 (6): n/a. Bibcode : 2012GeoRL..39.6602H. doi : 10.1029/2012GL051246 .
11. Пэн, Дж.; Петерсон, Р. (2012). «Притягивающие структуры при переносе вулканического пепла». Атмосферная среда . 48 : 230–239. Bibcode : 2012AtmEn..48..230P. doi : 10.1016/j.atmosenv.2011.05.053.
12. Таллапрагада, П.; Росс, С.Д.; Шмейл, Д.Г. (2011). «Лагранжевы когерентные структуры связаны с флуктуациями в популяциях микробов, находящихся в воздухе». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 21 (3): 033122. Bibcode : 2011Chaos..21c3122T. doi : 10.1063/1.3624930. hdl : 10919/24411 . PMID  21974657.
13. Али, С.; Шах, М. (2007). «Подход динамики частиц Лагранжа для сегментации потоков толпы и анализа устойчивости». Конференция IEEE 2007 года по компьютерному зрению и распознаванию образов . стр. 1. CiteSeerX 10.1.1.63.4342 . doi :10.1109/CVPR.2007.382977. ISBN  978-1-4244-1179-5. S2CID  8190391.
14. Халлер, Г. (2001). «Лагранжевы структуры и скорость деформации в разбиении двумерной турбулентности». Физика жидкостей . 13 (11): 3365–3385. Bibcode : 2001PhFl...13.3365H. doi : 10.1063/1.1403336.
15. Халлер, Г. (2005). «Объективное определение вихря». Журнал механики жидкости . 525 : 1–26. Bibcode : 2005JFM...525....1H. doi : 10.1017/S0022112004002526. S2CID  12867087.
16. Халлер, Г. (2001). «Различные материальные поверхности и когерентные структуры в трехмерных потоках жидкости». Physica D: Nonlinear Phenomena . 149 (4): 248–277. Bibcode :2001PhyD..149..248H. CiteSeerX 10.1.1.331.6383 . doi :10.1016/S0167-2789(00)00199-8. 
17. Матур, М.; Халлер, Г.; Пикок, Т.; Рупперт-Фелсот, Дж.; Суинни, Х. (2007). «Раскрытие лагранжева скелета турбулентности». Physical Review Letters . 98 (14): 144502. Bibcode : 2007PhRvL..98n4502M. doi : 10.1103/PhysRevLett.98.144502. PMID  17501277.
18. Haller, G. (2002). "Лагранжевы когерентные структуры из приближенных данных о скорости". Physics of Fluids . 14 (6): 1851–1861. Bibcode : 2002PhFl...14.1851H. doi : 10.1063/1.1477449.
19. Kasten, J.; Petz, C.; Hotz, I.; Hege, HC; Noack, BR; Tadmor, G. (2010). «Извлечение лагранжевых характеристик следа цилиндра». Physics of Fluids . 22 (9): 091108–091108–1. Bibcode :2010PhFl...22i1108K. doi : 10.1063/1.3483220 .
20. Сандерсон, AR (2014). «Альтернативная формулировка показателей Ляпунова для вычисления когерентных структур Лагранжа». Симпозиум IEEE Pacific Visualization 2014. С. 277–280. CiteSeerX 10.1.1.657.3742 . doi :10.1109/PacificVis.2014.27. ISBN  978-1-4799-2873-6. S2CID  7716670.
21. Shadden, SC; Lekien, F.; Marsden, JE (2005). "Определение и свойства лагранжевых когерентных структур из конечных показателей Ляпунова в двумерных апериодических потоках". Physica D: Nonlinear Phenomena . 212 (3–4): 271–304. Bibcode :2005PhyD..212..271S. doi :10.1016/j.physd.2005.10.007.
22. Lekien, F.; Shadden, SC; Marsden, JE (2007). "Лагранжевы когерентные структуры в n-мерных системах" (PDF) . Журнал математической физики . 48 (6): 065404. Bibcode :2007JMP....48f5404L. doi :10.1063/1.2740025.
23. Shadden, SC (2005). "LCS Tutorial". Архивировано из оригинала 2012-07-23.
24. Липински, Д.; Мохсени, К. (2010). «Алгоритм отслеживания гребня и оценка ошибки для эффективного вычисления когерентных структур Лагранжа». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 20 (1): 017504. Bibcode :2010Chaos..20a7504L. doi :10.1063/1.3270049. PMID  20370294.
25. Norgard, G.; Bremer, PT (2012). "Вторые производные хребты являются прямыми линиями и их значение для вычисления когерентных структур Лагранжа". Physica D: Nonlinear Phenomena . 241 (18): 1475. Bibcode : 2012PhyD..241.1475N. doi : 10.1016/j.physd.2012.05.006.
26. Шиндлер, Б.; Пайкерт, Р.; Фукс, Р.; Тайзель, Х. (2012). "Концепции хребта для визуализации лагранжевых когерентных структур". Топологические методы в анализе и визуализации данных II . Математика и визуализация. стр. 221. doi :10.1007/978-3-642-23175-9_15. ISBN 978-3-642-23174-2.
27. Haller, G. (2011). "Вариационная теория гиперболических лагранжевых когерентных структур". Physica D: Nonlinear Phenomena . 240 (7): 574–598. Bibcode :2011PhyD..240..574H. doi :10.1016/j.physd.2010.11.010.
28. Farazmand, M.; Haller, G. (2012). "Erratum and addendum to "A Variational theory of hyperbolic Lagrangian coherent structures" [Physica D 240 (2011) 574–598]". Physica D: Nonlinear Phenomena . 241 (4): 439. Bibcode :2012PhyD..241..439F. doi : 10.1016/j.physd.2011.09.013 .
29. Фаразманд, М.; Халлер, Г. (2012). «Вычисление когерентных структур Лагранжа из их вариационной теории». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 22 (1): 013128. Bibcode :2012Chaos..22a3128F. doi :10.1063/1.3690153. PMID  22463004.
30. Блазевски, Д.; Халлер, Г. (2014). «Гиперболические и эллиптические транспортные барьеры в трехмерных нестационарных потоках». Physica D: Nonlinear Phenomena . 273–274: 46–62. arXiv : 1306.6497 . Bibcode :2014PhyD..273...46B. doi :10.1016/j.physd.2014.01.007. S2CID  44079483.
31. Farazmand, M.; Blazevski, D.; Haller, G. (2014). "Безсдвиговые транспортные барьеры в нестационарных двумерных потоках и отображениях". Physica D: Nonlinear Phenomena . 278–279: 44–57. arXiv : 1308.6136 . Bibcode :2014PhyD..278...44F. doi :10.1016/j.physd.2014.03.008. S2CID  44141020.
32. Фаразманд, Мохаммад; Халлер, Джордж (2016). «Угол полярного вращения определяет эллиптические острова в нестационарных динамических системах». Physica D: Nonlinear Phenomena . 315 : 1–12. arXiv : 1503.05970 . Bibcode :2016PhyD..315....1F. doi :10.1016/j.physd.2015.09.007. S2CID  44190280.
33. Haller, George (2016). «Динамические тензоры вращения и растяжения из динамического полярного разложения». Журнал механики и физики твердого тела . 86 : 70–93. arXiv : 1510.05367 . Bibcode :2016JMPSo..86...70H. doi :10.1016/j.jmps.2015.10.002. S2CID  44073994.
34. Haller, George; Hadjighasem, Alireza; Farazmand, Mohammad; Huhn, Florian (2016). «Определение когерентных вихрей объективно из завихренности». Journal of Fluid Mechanics . 795 : 136–173. arXiv : 1506.04061 . Bibcode : 2016JFM...795..136H. doi : 10.1017/jfm.2016.151. S2CID  44191318.
35. Халлер, Г.; Берон-Вера, Ф.Дж. (2012). «Геодезическая теория транспортных барьеров в двумерных потоках». Physica D: Nonlinear Phenomena . 241 (20): 1680. Bibcode : 2012PhyD..241.1680H. doi : 10.1016/j.physd.2012.06.012.
36. Хаджигасем, А.; Халлер, Г. (2016). «Геодезические транспортные барьеры в атмосфере Юпитера: анализ на основе видео». Обзор SIAM . 58 (1): 69–89. arXiv : 1408.5594 . doi : 10.1137/140983665. S2CID  31876317.
37. Халлер, Г.; Берон-Вера, Ф.Дж. (2013). «Когерентные лагранжевы вихри: черные дыры турбулентности». Журнал механики жидкости . 731 : R4. arXiv : 1308.2352 . Bibcode : 2013JFM...731R...4H. doi : 10.1017/jfm.2013.391. S2CID  119570289.
38. Beron-Vera, FJ; Olascoaga, MAJ; Brown, MG; KoçAk, H.; Rypina, II (2010). "Инвариантно-тороподобные лагранжевы когерентные структуры в геофизических потоках". Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science . 20 (1): 017514. Bibcode : 2010Chaos..20a7514B. doi : 10.1063/1.3271342. PMID  20370304.
39. Beron-Vera, FJ; Olascoaga, MAJ; Brown, MG; Koçak, H. (2012). «Зональные струи как меридиональные транспортные барьеры в субтропической и полярной нижней стратосфере». Журнал атмосферных наук . 69 (2): 753. Bibcode : 2012JAtS...69..753B. doi : 10.1175/JAS-D-11-084.1 .
40. Лекиен, Франсуа; Куллиетт, Чад. "ManGen 1.4.4". Архивировано из оригинала 2009-01-07.
41. Дабири, Джон О. «Комплект LCS MATLAB».
42. Шадден, Шон С. «FlowVC».
43. Хименес, Рэймонд; Ванкершавер, Йорис. "cuda_ftle". Архивировано из оригинала 2011-05-17.
44. Миллс, Питер. «CTRAJ».
45. Дю Туа, Филип С. "Ньюман". Архивировано из оригинала 2010-06-13.
46. Амели, Сиаваш; Десаи, Йогин; Шадден, Шон К. (2014). «Разработка эффективного и гибкого конвейера для вычисления когерентной структуры Лагранжа» (PDF) . В Пир-Тимо Бремер; Ингрид Хотц; Валерио Паскуччи; Рональд Пейкерт (ред.). Топологические методы в анализе и визуализации данных III . Математика и визуализация. Springer . стр. 201–215. doi :10.1007/978-3-319-04099-8_13. ISBN 978-3-319-04099-8. ISSN  1612-3786. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-10-06.
47. Энсинас Бартос, Алекс Пабло; Касас, Балинт; Халлер, Джордж. «ТБарьер». Гитхаб .

Дальнейшее чтение

• Salman, H.; Hesthaven, JS; Warburton, T.; Haller, G. (2006). «Предсказание переноса с помощью лагранжевых когерентных структур с использованием метода высокого порядка». Теоретическая и вычислительная гидродинамика . 21 (1): 39–58. Bibcode :2007ThCFD..21...39S. doi :10.1007/s00162-006-0031-0. S2CID  11159109.
• Грин, МА; Роули, К. В.; Халлер, Г. (2007). «Обнаружение когерентных структур Лагранжа в трехмерной турбулентности». Журнал механики жидкости . 572 : 111–120. Bibcode : 2007JFM...572..111G. CiteSeerX  10.1.1.506.7756 . doi : 10.1017/S0022112006003648. S2CID  1074531.