Музыкальный изоморфизм

Изоморфизм между касательными и кокасательными расслоениями многообразия.

В математике — точнее, в дифференциальной геометрии — музыкальный изоморфизм (или канонический изоморфизм ) — это изоморфизм между касательным расслоением и кокасательным расслоением риманова или псевдориманова многообразия, индуцированный его метрическим тензором . Аналогичные изоморфизмы существуют на симплектических многообразиях . Термин музыкальный относится к использованию символов музыкальной нотации (бемоль) и (диез) . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$ ${\displaystyle \flat }$ ${\displaystyle \sharp }$

В обозначениях исчисления Риччи эта идея выражается как повышение и понижение индексов .

В некоторых специализированных приложениях, например, на многообразиях Пуассона , это отношение может не быть изоморфизмом в особых точках , и поэтому для этих случаев технически является только гомоморфизмом.

Мотивация

В линейной алгебре конечномерное векторное пространство изоморфно своему двойственному пространству , но не канонически изоморфно ему. С другой стороны, конечномерное векторное пространство, наделенное невырожденной билинейной формой , канонически изоморфно своему двойственному. Канонический изоморфизм задается формулой ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V\to V^{*}}$

${\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }$.

Невырожденность означает, что указанное выше отображение является изоморфизмом. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Примером может служить , где , а — скалярное произведение . ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Музыкальные изоморфизмы являются глобальной версией этого изоморфизма и его обратным для касательного расслоения и кокасательного расслоения (псевдо-)риманова многообразия . Они являются каноническими изоморфизмами векторных расслоений , которые в любой точке p являются указанным выше изоморфизмом, примененным к касательному пространству M в точке p, снабженному скалярным произведением . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g_{p}}$

Поскольку каждое паракомпактное многообразие может быть (неканонически) снабжено римановой метрикой, музыкальные изоморфизмы показывают, что векторное расслоение на паракомпактном многообразии (неканонически) изоморфно своему двойственному.

Обсуждение

Пусть ( M , g ) — (псевдо)риманово многообразие. В каждой точке p отображение g _p является невырожденной билинейной формой на касательном пространстве T _p M . Если v — вектор в T _p M , его плоскость — ковектор

${\displaystyle v^{\flat }=g_{p}(v,\cdot )}$

в Т^∗
_пM . Поскольку это гладкое отображение, сохраняющее точку p , оно определяет морфизм гладких векторных расслоений . В силу невырожденности метрикиимеет обратноев каждой точке, характеризующееся ${\displaystyle \flat :\mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}$ ${\displaystyle \flat }$ ${\displaystyle \sharp }$

${\displaystyle g_{p}(\alpha ^{\sharp },v)=\alpha (v)}$

для α в T^∗
_пM и v в T _p M . Векторназывается диезом α .Диезное отображение является гладким расслоенным отображением . ${\displaystyle \alpha ^{\sharp }}$ ${\displaystyle \sharp :\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}$

Плоский и острый являются взаимно обратными изоморфизмами гладких векторных расслоений, следовательно, для каждого p в M существуют взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств между T _p M и T^∗
_пМ .

Плоские и острые карты можно применять к векторным полям и ковекторным полям, применяя их к каждой точке. Следовательно, если X — векторное поле, а ω — ковекторное поле,

${\displaystyle X^{\flat }=g(X,\cdot )}$

и

${\displaystyle g(\omega ^{\sharp },X)=\omega (X)}$.

В движущейся рамке

Предположим, что _{ ei } — это подвижный касательный фрейм (см. также гладкий фрейм ) для касательного расслоения T M с, в качестве дуального фрейма (см. также дуальный базис ), подвижным кофреймом ( подвижным касательным фреймом для кокасательного расслоения ; см. также кофрейм ) { ei } . Тогда псевдориманова метрика , которая является симметричным и невырожденным 2 -ковариантным тензорным полем, может быть локально записана ^в терминах этого кофрейма как g = g _ij e ⁱ ⊗ e ^j с использованием обозначения суммирования Эйнштейна . ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$

Если задано векторное поле X = X ⁱ e _i и обозначено g _ij X ⁱ = X _j , то его плоскость равна

${\displaystyle X^{\flat }=g_{ij}X^{i}\mathbf {e} ^{j}=X_{j}\mathbf {e} ^{j}}$.

Это называется понижением индекса .

Точно так же, если задано ковекторное поле ω = ω _i e ⁱ и обозначено g ^ij ω _i = ω ^j , его резкость равна

${\displaystyle \omega ^{\sharp }=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j}}$,

где g ^ij — компоненты обратного метрического тензора (заданные элементами обратной матрицы к g _ij ). Возведение в степень ковекторного поля называется повышением индекса .

Расширение до тензорных произведений

Музыкальные изоморфизмы могут быть также распространены на расслоения $${\displaystyle \bigotimes ^{k}{\rm {T}}M,\qquad \bigotimes ^{k}{\rm {T}}^{*}M.}$$

Какой индекс должен быть поднят или опущен, должно быть указано. Например, рассмотрим (0, 2) -тензорное поле X = X _ij e ⁱ ⊗ e ^j . Поднимая второй индекс, получаем (1, 1) -тензорное поле $${\displaystyle X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}}^{i}\otimes {\rm {e}}_{k}.}$$

Расширение док-векторы ик-формы

В контексте внешней алгебры расширение музыкальных операторов может быть определено на ⋀ V и его двойственном ⋀^∗
V , которые с небольшой ошибкой в ​​обозначениях могут быть обозначены одинаково, и снова являются взаимно обратными: ^[3] определяются как $${\displaystyle \flat :{\bigwedge }V\to {\bigwedge }^{*}V,\qquad \sharp :{\bigwedge }^{*}V\to {\bigwedge }V,}$$ $${\displaystyle (X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },\qquad (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.}$$

В этом расширении, в котором ♭ отображает p -векторы в p -ковекторы, а ♯ отображает p -ковекторы в p -векторы, все индексы полностью антисимметричного тензора одновременно повышаются или понижаются, и поэтому указывать индекс не требуется: $${\displaystyle Y^{\sharp }=(Y_{i\dots k}\mathbf {e} ^{i}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} ^{k})^{\sharp }=g^{ir}\dots g^{kt}\,Y_{i\dots k}\,\mathbf {e} _{r}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{t}.}$$

Векторные пучки с метриками пучков

В более общем смысле музыкальные изоморфизмы всегда существуют между векторным расслоением, наделенным метрикой расслоения , и его двойственным.

След тензора через метрический тензор

Для тензорного поля типа (0, 2) X = X _ij e ⁱ ⊗ e ^j определим след X через метрический тензор g следующим образом: $${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij}\,{\bf {e}}^{i}\otimes {\bf {e}}_{k})=g^{ij}X_{ij}.}$$

Обратите внимание, что определение следа не зависит от выбора индекса, который необходимо возвести, поскольку метрический тензор симметричен.

Смотрите также

• Двойственность (математика)
• Повышение и понижение индексов
• Двойственное пространство § Билинейные произведения и двойственные пространства
• Ходж-звезда оператор
• Векторный пакет
• Бемоль (музыка) и Диез (музыка) о знаках ♭ и ♯

Цитаты

1. Ли 2003, Глава 11.
2. Ли 1997, Глава 3.
3. Ваз и да Роша 2016, стр. 48, 50.

Ссылки

• Ли, Дж. М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Springer Graduate Texts in Mathematics. Том 218. ISBN 0-387-95448-1.
• Ли, Дж. М. (1997). Римановы многообразия – Введение в кривизну . Springer Graduate Texts in Mathematics. Том 176. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Ваз, Джейме; да Роча, Ролдан (2016). Введение в алгебры и спиноры Клиффорда . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-878-292-6.