Неавтономная система (математика)

В математике автономная система — это динамическое уравнение на гладком многообразии . Неавтономная система — это динамическое уравнение на гладком расслоении над . Например, это случай неавтономной механики . ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Дифференциальное уравнение r -го порядка на расслоении волокон представлено замкнутым подрасслоением струйного расслоения . Динамическое уравнение на является дифференциальным уравнением, которое алгебраически решается относительно производных более высокого порядка. ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle J^{r}Q}$ ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$

В частности, динамическое уравнение первого порядка на расслоении является ядром ковариантного дифференциала некоторой связности на . При заданных координатах расслоения на и адаптированных координатах на струйном многообразии первого порядка динамическое уравнение первого порядка имеет вид ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (t,q^{i})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (t,q^{i},q_{t}^{i})}$ ${\displaystyle J^{1}Q}$

${\displaystyle q_{t}^{i}=\Gamma (t,q^{i}).}$

Например, это случай гамильтоновой неавтономной механики .

Динамическое уравнение второго порядка

${\displaystyle q_{tt}^{i}=\xi ^{i}(t,q^{j},q_{t}^{j})}$

на определяется как голономная связность на расслоении струй . Это уравнение также представлено связностью на аффинном расслоении струй . Ввиду канонического вложения оно эквивалентно геодезическому уравнению на касательном расслоении . Уравнение свободного движения в неавтономной механике является примером неавтономного динамического уравнения второго порядка. ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle J^{1}Q\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle J^{1}Q\to Q}$ ${\displaystyle J^{1}Q\to TQ}$ ${\displaystyle TQ}$ ${\displaystyle Q}$

Смотрите также

• Автономная система (математика)
• Неавтономная механика
• Уравнение свободного движения
• Релятивистская система (математика)

Ссылки

• Де Леон, М., Родригес, П., Методы дифференциальной геометрии в аналитической механике (Северная Голландия, 1989).
• Джакетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г. , Геометрическая формулировка классической и квантовой механики (World Scientific, 2010) ISBN  981-4313-72-6 ( arXiv :0911.0411).