Случайная группа

В математике случайные группы — это определенные группы, полученные вероятностным построением . Они были введены Мишей Громовым для ответа на такие вопросы, как «Как выглядит типичная группа?»

Так получается, что как только дано точное определение, случайные группы удовлетворяют некоторым свойствам с очень высокой вероятностью, тогда как другие свойства не удовлетворяют с очень высокой вероятностью. Например, очень вероятно, что случайные группы являются гиперболическими группами . В этом смысле можно сказать, что «большинство групп являются гиперболическими».

Определение

Определение случайных групп зависит от вероятностной модели на множестве возможных групп. Различные такие вероятностные модели дают разные (но связанные) понятия случайных групп.

Любая группа может быть определена групповым представлением, включающим генераторы и отношения. Например, абелева группа имеет представление с двумя генераторами и , и отношением , или эквивалентно . Основная идея случайных групп состоит в том, чтобы начать с фиксированного числа групповых генераторов , и наложить отношения вида , где каждый является случайным словом, включающим буквы и их формальные обратные . Указать модель случайных групп — значит указать точный способ, которым выбираются , и случайные отношения . ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab=ba}$ ${\displaystyle aba^{-1}b^{-1}=1}$ ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{m}}$ ${\displaystyle r_{1}=1,\,r_{2}=1,\,\ldots ,\,r_{k}=1}$ ${\displaystyle r_{j}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r_{j}}$

После выбора случайных отношений результирующая случайная группа определяется стандартным для групповых представлений способом, а именно: является фактором свободной группы с образующими по нормальной подгруппе, порожденной отношениями, рассматриваемыми как элементы : ${\displaystyle r_{k}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{m}}$ ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{m}}$ ${\displaystyle R\subset F_{m}}$ ${\displaystyle r_{1}\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}}$ ${\displaystyle F_{m}}$

${\displaystyle G=F_{m}/\langle r_{1},\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}\rangle .}$

Модель случайных групп с малым числом реляторов

Простейшей моделью случайных групп является модель с малым числом реляторов . В этой модели фиксируется число генераторов и число отношений . Зафиксируем дополнительный параметр (длину отношений), который обычно берется очень большим. ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \ell }$

Тогда модель состоит в выборе отношений случайным образом, равномерно и независимо среди всех возможных сокращенных слов длины не более, включающих буквы и их формальные обратные значения . ${\displaystyle r_{1}\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}^{-1}}$

Эта модель особенно интересна, когда длина отношения стремится к бесконечности: с вероятностью, стремящейся к , поскольку случайная группа в этой модели является гиперболической и удовлетворяет другим полезным свойствам. ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \ell \to \infty }$

Дополнительные замечания

Определены более совершенные модели случайных групп.

Например, в модели плотности число связей может расти с длиной связей. Затем происходит резкое явление «фазового перехода»: если число связей больше некоторого порога, случайная группа «коллапсирует» (потому что связи позволяют показать, что любое слово равно любому другому), тогда как ниже порога результирующая случайная группа бесконечна и гиперболична.

Конструкции случайных групп также могут быть скручены определенным образом для построения групп с определенными свойствами. Например, Громов использовал эту технику для построения новых групп, которые являются контрпримерами к расширению гипотезы Баума–Конна .

Ссылки

• Михаил Громов . Гиперболические группы. Очерки по теории групп, 75–263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
• Михаил Громов . «Случайное блуждание в случайных группах». Геом. Функцион. Анал. , т. 13 (2003), 73–146.