В геометрии треугольная мозаика или треугольная тесселяция — одна из трех правильных мозаик евклидовой плоскости и единственная мозаика, где составляющие фигуры не являются параллелограммами . Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60 градусам, шесть треугольников в точке занимают полные 360 градусов. Треугольная мозаика имеет символ Шлефли {3,6}.
Английский математик Джон Конвей назвал его deltille , названным по треугольной форме греческой буквы delta (Δ). Треугольная мозаика может также называться kishextille с помощью операции kis , которая добавляет центральную точку и треугольники для замены граней hextille .
Это одна из трех правильных мозаик плоскости . Две другие — это квадратная мозаика и шестиугольная мозаика .
Существует 9 различных однородных раскрасок треугольной мозаики. (Название цветов осуществляется индексами 6 треугольников вокруг вершины: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Три из них могут быть получены из других путем повторения цветов: 111212 и 111112 из 121213 путем объединения 1 и 3, в то время как 111213 уменьшается из 121314. [1]
Существует один класс архимедовых раскрасок , 111112 (отмеченный *), который не является 1-однородным, содержащим чередующиеся ряды треугольников, где каждый третий окрашен. Показанный пример является 2-однородным, но существует бесконечно много таких архимедовых раскрасок, которые можно создать произвольными горизонтальными сдвигами рядов.
+
+
Расположение вершин треугольной мозаики называется решеткой A2 . [ 2] Это двумерный случай симплектических сот .
А*
2решетка (также называемая A3
2) может быть построена путем объединения всех трех решеток A2 и эквивалентна решетке A2 .
++= двойственное из
=Вершины треугольной мозаики являются центрами максимально плотной упаковки кругов . [3] Каждый круг соприкасается с 6 другими кругами в упаковке ( число контакта ). Плотность упаковки составляет π ⁄ √ 12 или 90,69%. Ячейка Вороного треугольной мозаики является шестиугольником , и поэтому мозаика Вороного , шестиугольная мозаика, имеет прямое соответствие упаковкам кругов.
Треугольные мозаики могут быть сделаны с эквивалентной топологией {3,6}, как и обычная мозаика (6 треугольников вокруг каждой вершины). С идентичными гранями ( гране-транзитивность ) и вершинно-транзитивностью , есть 5 вариаций. Симметрия задана, предполагая, что все грани одного цвета. [4]
Плоские мозаики связаны с многогранниками . Размещение меньшего количества треугольников на вершине оставляет зазор и позволяет сложить ее в пирамиду . Их можно расширить до Платоновых тел : пять, четыре и три треугольника на вершине определяют икосаэдр , октаэдр и тетраэдр соответственно.
Эта мозаика топологически связана как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3,n}, продолжающейся в гиперболическую плоскость .
Он также топологически связан как часть последовательности каталонских тел с конфигурацией граней Vn.6.6, а также продолжается в гиперболическую плоскость.
Подобно однородным многогранникам, существует восемь однородных мозаик , которые могут быть основаны на правильной шестиугольной мозаике (или двойственной треугольной мозаике).
Если раскрасить плитки красным цветом на исходных гранях, желтым — на исходных вершинах и синим — вдоль исходных ребер, то получится 8 форм, 7 из которых топологически различны. ( Усеченная треугольная плитка топологически идентична шестиугольной плитке.)
Существует 4 правильных комплексных апейрогона , разделяющих вершины треугольной мозаики. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и ребра, где ребра могут содержать 2 или более вершин. Правильные апейрогоны p { q } r ограничены: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Ребра имеют p вершин, а вершинные фигуры являются r -угольными. [5]
Первый состоит из 2-х граней, следующие два — из треугольных граней, а последний имеет перекрывающиеся шестиугольные грани.
Существуют также три мозаики Лавеса, состоящие из треугольников одного типа:
