алгебра Витта

Алгебра мероморфных векторных полей на сфере Римана

В математике комплексная алгебра Витта , названная в честь Эрнста Витта , — это алгебра Ли мероморфных векторных полей, определенных на сфере Римана , которые голоморфны, за исключением двух фиксированных точек. Это также комплексификация алгебры Ли полиномиальных векторных полей на окружности и алгебра Ли дифференцирований кольца C [ z , z ⁻¹ ].

Существуют некоторые родственные алгебры Ли, определенные над конечными полями, которые также называются алгебрами Витта.

Комплексная алгебра Витта была впервые определена Эли Картаном (1909), а ее аналоги над конечными полями изучались Виттом в 1930-х годах.

Основа

Основу алгебры Витта составляют векторные поля для n в . ${\displaystyle L_{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Скобка Ли двух базисных векторных полей задается формулой

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}.}$

Эта алгебра имеет центральное расширение, называемое алгеброй Вирасоро , которая играет важную роль в двумерной конформной теории поля и теории струн .

Обратите внимание, что ограничение n до 1,0,-1 дает подалгебру. Взятая над полем комплексных чисел, это просто алгебра Ли группы Лоренца . Над действительными числами это алгебра sl (2,R) = su (1,1). И наоборот, su (1,1) достаточно, чтобы восстановить исходную алгебру в представлении. ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3,1)}$

Над конечными полями

Над полем k характеристики p > 0 алгебра Витта определяется как алгебра Ли дифференцирований кольца

к [ з ]/ з ^п

Алгебра Витта охватывается L _m для −1≤ m ≤ p −2.

Изображения

Смотрите также

• Алгебра Вирасоро
• алгебра Гейзенберга

Ссылки

1. D Fairlie, J Nuyts и C Zachos (1988). Phys Lett B202 320-324. doi :10.1016/0370-2693(88)90478-9

• Эли Картан , Группы преобразований continus, infinis, simples. Энн. наук. Эколь Норм. Как дела. 26, 93–161 (1909).
• «Алгебра Витта», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]