Арифметика

Арифметика ( греч . Ἀριθμητικά ) — древнегреческий текст по математике, написанный математиком Диофантом (ок. 200/214 н. э. — ок. 284/298 н. э. ) в III веке н. э.^[1] Это сборник из 130 алгебраических задач, дающих численные решения определённых уравнений (тех, которые имеют единственное решение) и неопределённых уравнений .

Краткое содержание

Уравнения в книге в настоящее время называются Диофантовыми уравнениями . Метод решения этих уравнений известен как Диофантов анализ . Большинство задач Арифметики приводят к квадратным уравнениям .

В книге 3 Диофант решает задачи нахождения значений, которые одновременно превращают два линейных выражения в квадраты или кубы. В книге 4 он находит рациональные степени между заданными числами. Он также заметил, что числа вида не могут быть суммой двух квадратов. Диофант также, по-видимому, знает, что каждое число можно записать в виде суммы четырех квадратов . Если бы он действительно знал этот результат (в смысле доказательства, а не просто предположения), его достижение было бы поистине замечательным: даже Ферма, который сформулировал результат, не смог предоставить его доказательство, и он не был решен, пока Жозеф Луи Лагранж не доказал его, используя результаты Леонарда Эйлера . $4n+3$

Первоначально «Арифметика» была написана в тринадцати книгах, но греческие рукописи, сохранившиеся до наших дней, содержат не более шести книг. ^[2] В 1968 году Фуат Сезгин нашел четыре ранее неизвестные книги «Арифметики» в святилище имама Резы в священном исламском городе Мешхед на северо-востоке Ирана. ^[3] Считается, что эти четыре книги были переведены с греческого на арабский язык Кустой ибн Лукой (820–912). ^[2] Норберт Шаппахер писал:

[Четыре пропавшие книги] вновь появились около 1971 года в библиотеке Астан Кудс в Мешхеде (Иран) в копии 1198 года нашей эры. Она не была каталогизирована под именем Диофанта (но под именем Куста ибн Лука ), поскольку библиотекарь, по-видимому, не смог прочитать главную строку титульного листа, где имя Диофанта появляется в геометрической куфической каллиграфии . ^[4]

Арифметика стала известна математикам исламского мира в десятом веке ^[5], когда Абу-ль-Вефа перевел ее на арабский язык. ^[6]

Синкопированная алгебра

Диофант был эллинистическим математиком, который жил около 250 г. н. э., но неопределенность этой даты настолько велика, что она может быть больше, чем на столетие. Он известен тем, что написал «Арифметику» , трактат, который изначально состоял из тринадцати книг, но из которых сохранились только первые шесть. ^[7]

Arithmetica — самая ранняя из сохранившихся работ, в которой решались арифметические задачи с помощью алгебры. Однако Диофант не изобрел метод алгебры, который существовал до него. ^[8] Алгебра практиковалась и распространялась устно практикующими специалистами, а Диофант подхватил технику решения задач по арифметике. ^[9]

В современной алгебре многочлен Лорана — это линейная комбинация некоторых переменных, возведенных в целые степени, которая ведет себя при умножении, сложении и вычитании. Алгебра Диофанта, подобная средневековой арабской алгебре, представляет собой совокупность объектов разных типов без каких-либо операций ^[10]

Например, многочлен Лорана, записанный в современной нотации, Диофант записал как «6 4 ′ обратных степеней, 25 степеней, недостающих 9 единиц», или «совокупность объектов одного вида с 25 объектами второго вида, которым недостает 9 объектов третьего вида, без какой-либо операции» ^{[11] .} $6{\tfrac {1}{4}}x^{-1}+25x^{2}-9$ $6{\tfrac {1}{4}}$

Подобно средневековой арабской алгебре, Диофант использует три этапа решения задачи с помощью алгебры:

1) Называется неизвестное и составляется уравнение.

2) Уравнение упрощается до стандартной формы (аль-джабр и аль-мукабала на арабском языке)

3) Решается упрощенное уравнение ^[12]

Диофант не дает классификации уравнений на шесть типов, как Аль-Хорезми в сохранившихся частях Арифметики. Он говорит, что позже даст решение трехчленных уравнений, так что эта часть работы, возможно, просто утеряна ^[9]

В «Арифметике » Диофант первым использовал символы для неизвестных чисел, а также сокращения для степеней чисел, отношений и операций; ^[13] таким образом, он использовал то, что сейчас известно как синкопированная алгебра . Главное различие между диофантовой синкопированной алгеброй и современной алгебраической нотацией заключается в том, что в первой отсутствовали специальные символы для операций, отношений и экспонент. ^[14] Так, например, то, что было бы записано в современной нотации как , можно переписать как , что было бы записано в синкопированной нотации Диофанта как $x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,$ $\left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,$

\mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon } {\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;

ἴ

\sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}

где символы представляют следующее: ^[15]^[16]

В отличие от современной нотации, коэффициенты идут после переменных, а сложение представлено сопоставлением членов. Буквальный перевод синкопированного уравнения Диофанта в современное символическое уравнение будет следующим: ^[16] где для ясности, если используются современные скобки и плюс, то приведенное выше уравнение можно переписать как: ^[16] Однако Джеффри Оукс и Жан Кристианидис считают устаревшим различие между «риторической алгеброй», «синкопированной алгеброй» и «символической алгеброй». Задачи решались на доске с использованием некоторой нотации, в то время как в книгах решения были написаны в «риторическом стиле». ^[17] ${x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5$ $\left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5$

Арифметика также использует тождества: ^[18] ${\begin{alignedat}{4}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&=(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}\\&=(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}\\\end{alignedat}}$

Смотрите также

Цитаты

^ "Диофант Александрийский (греческий математик)". Encyclopaedia Britannica . Получено 11 апреля 2013 г. .
^ ab Magill, Frank N., ред. (1998). Словарь мировых биографий. Том 1. Salem Press. стр. 362. ISBN 9781135457396.
^ Hogendijk, Jan P. (1985). "Обзор J. Sesiano, Books IV to VII of Diophantus' Arithmetica" . Получено 6 июля 2014 г. Только шесть из тринадцати книг Arithmetica Диофанта (ок. 250 г. н. э.) сохранились на греческом языке. Остальные книги считались утерянными, пока не был обнаружен средневековый арабский перевод четырех из оставшихся книг в рукописи в библиотеке святилища в Мешхеде в Иране (см. каталог [Gulchin-i Ma'ani 1971-1972, стр. 235-236]. Рукопись была обнаружена в 1968 г. Ф. Сезгиным).
^ Шаппахер, Норберт (апрель 2005 г.). «Дифант Александрийский: текст и его история» (PDF) . п. 18 . Проверено 9 октября 2015 г.
^ (Boyer 1991, «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 234) «Обратите внимание на отсутствие Диофанта и Паппа, авторов, которые, очевидно, поначалу не были известны в Аравии, хотя «Диофантова арифметика» стала известна еще до конца десятого века».
^ (Boyer 1991, «Возрождение и упадок греческой математики» стр. 239) «Абу-ль-Вефа был способным алгебраистом, а также тригонометристом. Он прокомментировал « Алгебру » аль-Хорезми и перевел с греческого один из последних великих классических трудов — «Арифметику» Диофанта».
^ (Boyer 1991, «Возрождение и упадок греческой математики» стр. 178) «Неопределенность относительно жизни Диофанта настолько велика, что мы не знаем наверняка, в каком веке он жил. Обычно предполагается, что он жил около 250 г. н. э., но иногда предлагаются даты на столетие или более раньше или позже [...] Если эта загадка исторически точна, Диофант дожил до восьмидесяти четырех лет. [...] Главным известным нам произведением Диофанта является « Арифметика» , трактат, первоначально состоявший из тринадцати книг, из которых сохранились только первые шесть».
^ Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан. Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии . п. 80.
^ аб Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2013). «Практика алгебры в поздней античности: решение проблем Диофанта Александрийского». История математики . 40 (2): 158–160. дои : 10.1016/j.hm.2012.09.001 .
^ Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2013). «Практика алгебры в поздней античности: решение проблем Диофанта Александрийского». История математики . 40 : 150.
^ Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2023). Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии . стр. 51–52.
^ Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2021). Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии . стр. 53–66.
^ (Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" pp. 180-182) "В этом отношении ее можно сравнить с великими классиками ранней Александрийской эпохи; однако она практически не имеет ничего общего с ними или, по сути, с любой традиционной греческой математикой. Она представляет собой по сути новую ветвь и использует другой подход. Будучи отделенной от геометрических методов, она во многом напоминает вавилонскую алгебру. Но в то время как вавилонские математики были заняты в основном приближенными решениями определенных уравнений вплоть до третьей степени, Арифметика Диофанта (такая, какой она есть у нас) почти полностью посвящена точному решению уравнений, как определенных , так и неопределенных . [...] На протяжении шести сохранившихся книг Арифметики систематически используются сокращения для степеней чисел, а также для отношений и операций. Неизвестное число представлено символом, напоминающим греческую букву (возможно, для последней буквы arithmos). [...] Вместо этого это сборник из примерно 150 задач, все разработанные в терминах конкретных числовых примеров, хотя, возможно, подразумевалась общность метода. Нет никакой разработки постулатов, и не делается попытки найти все возможные решения. В случае квадратных уравнений с двумя положительными корнями дается только больший из них, а отрицательные корни не распознаются. Не проводится четкого различия между определенными и неопределенными задачами, и даже для последних, для которых число решений, как правило, неограниченно, дается только один ответ. Диофант решал задачи, включающие несколько неизвестных чисел, искусно выражая все неизвестные величины, где это возможно, через только одно из них. $\zeta$
^ (Бойер 1991, «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 178) «Главное различие между диофантовой синкопой и современной алгебраической записью заключается в отсутствии специальных символов для операций и отношений, а также экспоненциальной записи».
^ (Кук 1997, «Математика в Римской империи» стр. 167-168)
^ abc (Дербишир 2006, «Отец алгебры» стр. 35-36)
^ Oaks, Jeffrey; Christianidis, Jean (2023). The Arithmetica of Diophantus A Complete Translation and Commentary . pp. 78–79. В этой трихотомии есть два основных недостатка. Во-первых, язык, на котором написаны книги, не всегда является языком, на котором решались задачи. На арабском языке задачи часто решались в нотации на доске или какой-либо другой временной поверхности, а затем для включения в книгу составлялась риторическая версия. Кроме того, из-за двумерного характера арабской нотации она должна была быть написана и прочитана визуально, независимо от реальной или воображаемой речи. Таким образом, она прекрасно вписывается в «символическую» категорию Нессельмана. С другой стороны, риторическая версия той же работы была отнесена к категории «риторической». Эти два способа записи алгебры не отражают два этапа развития алгебры, а являются разными способами выражения одних и тех же идей. Во-вторых, Нессельман не знал о концептуальных различиях между досовременной и современной алгеброй, и поэтому он не мог оценить скачок, совершенный во времена Виета и Декарта, который включал радикальный сдвиг в интерпретации обозначений.
^ (Бойер 1991, «Европа в Средние века», стр. 257) «В книге часто используются тождества [...], которые появились у Диофанта и широко использовались арабами».

Ссылки

Бойер, Карл Б. (1991). История математики (второе издание). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
Кристианидис, Жан; Оукс, Джеффри А. (2023). Арифметика Диофанта: полный перевод и комментарии . Абингдон, Оксон, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Рутледж. ISBN 1138046353.
Кук, Роджер (1997). История математики: краткий курс . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3.
Дербишир, Джон (2006). Неизвестная величина: реальная и воображаемая история алгебры . Joseph Henry Press. ISBN 0-309-09657-X.
Хит, сэр Томас Л. (2009). Диофант Александрийский: Исследование по истории греческой алгебры . Книги Мартино Файн. ISBN 978-1-57898-754-2.
Katz, Victor J.; Parshall, Karen Hunger (2014). Укрощение неизвестного: История алгебры от античности до начала двадцатого века . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14905-9.
Сезиано, Жак (2011). Книги с IV по VII «Арифметики» Диофанта в арабском переводе, приписываемом Кусте ибн Луке . Нью-Йорк Гейдельберг Берлин: Springer-Verlag. ISBN 1461381762.

Внешние ссылки

Диофант Александриний, Пьер де Ферма, Клод Гаспар Баше де Мезириак, Диофант Александрини Arithmeticorum libri 6, et De numeris ultangulis liber unus . Кончи, общение. C(laude) G(aspar) Бачети и наблюдение P(ierre) де Ферма. Акк. doctrinae Analyticale Inventum Novum, Col. ex variis eiu. Толосаэ 1670, номер документа : 10.3931/e-rara-9423.