В теории игр битва полов — это координационная игра для двух игроков , которая также включает элементы конфликта. Игра была представлена в 1957 году Р. Дунканом Люсом и Говардом Райффой в их классической книге «Игры и решения» . [1] Некоторые авторы предпочитают избегать назначения пола игрокам и вместо этого используют Игроков 1 и 2, а некоторые называют игру « Бах» или «Стравинский» , используя два концерта в качестве двух событий. [2] Описание игры здесь следует оригинальной истории Люса и Райффы.
Представьте себе, что мужчина и женщина надеются встретиться этим вечером, но у них есть выбор между двумя мероприятиями: призовым боем и балетом . Мужчина предпочтет пойти на призовой бой. Женщина предпочтет балет. Оба предпочтут пойти на одно и то же мероприятие, а не на разные. Если они не могут общаться, куда им пойти?
Матрица выплат, озаглавленная «Битва полов (1)», показывает выплаты, когда мужчина выбирает строку, а женщина выбирает столбец. В каждой ячейке первое число представляет выплату мужчины, а второе число — женщины.
Это стандартное представление не учитывает дополнительный вред, который может возникнуть не только из-за посещения разных мест, но и из-за посещения не того места (например, мужчина идет на балет, а женщина идет на призовой бой, не удовлетворяя ни того, ни другого). Чтобы учесть это, игра будет представлена в виде «Битвы полов (2)», где в правом верхнем поле каждый игрок получает выигрыш 1, потому что он, по крайней мере, может посетить свои любимые мероприятия.
В этой игре есть два равновесия Нэша в чистой стратегии , одно из которых заключается в том, что оба игрока идут на призовой бой, а другое — в том, что оба идут на балет. Существует также равновесие Нэша в смешанной стратегии , в котором игроки рандомизируются, используя определенные вероятности. Для выплат, перечисленных в Битве полов (1), в равновесии смешанной стратегии мужчина идет на призовой бой с вероятностью 3/5, а женщина — на балет с вероятностью 3/5, поэтому они оказываются вместе на призовом бое с вероятностью 6/25 = (3/5)(2/5) и вместе на балете с вероятностью 6/25 = (2/5)(3/5).
Это представляет собой интересный случай для теории игр , поскольку каждое из равновесий Нэша в некотором роде неполноценно. Два равновесия Нэша в чистой стратегии несправедливы: один игрок постоянно играет лучше другого. Равновесие Нэша в смешанной стратегии неэффективно: игроки будут несогласованно действовать с вероятностью 13/25, оставляя каждому игроку ожидаемый доход 6/5 (меньше, чем выигрыш 2 от равновесия чистой стратегии каждого). Остается неясным, как сформируются ожидания, которые приведут к воспроизведению определенного равновесия.
Одно из возможных решений этой трудности заключается в использовании коррелированного равновесия . В простейшей форме, если игроки игры имеют доступ к обычно наблюдаемому рандомизирующему устройству, то они могут решить коррелировать свои стратегии в игре на основе результата устройства. Например, если бы игроки могли подбросить монету перед выбором своих стратегий, они могли бы согласиться коррелировать свои стратегии на основе подбрасывания монеты, скажем, выбрав балет в случае выпадения орла и призовой бой в случае выпадения решки. Обратите внимание, что после того, как результаты подбрасывания монеты раскрываются, ни у одного из игроков нет стимулов изменять свои предлагаемые действия, если они считают, что другой этого не сделает. Результатом является то, что идеальная координация всегда достигается, и до подбрасывания монеты ожидаемые выигрыши для игроков в точности равны. Однако остается верным, что даже если есть коррелирующее устройство, равновесия Нэша , в которых игроки его игнорируют, сохранятся; коррелированные равновесия требуют как наличия коррелирующего устройства, так и ожидания, что оба игрока будут использовать его для принятия своего решения.