Выпуклые многогранники — это учебник математики для выпускников, посвященный выпуклым многогранникам , многомерным обобщениям трехмерных выпуклых многогранников . Он был написан Бранко Грюнбаумом при участии Виктора Клее , Михи Перлеса и Г.К. Шепарда и опубликован в 1967 году издательством John Wiley & Sons. [1] [2] [3] [4] Его издание вышло из печати в 1970 году. [5] [6] Второе издание, подготовленное при содействии Фолькера Кайбеля, Виктора Клее и Гюнтера М. Циглера , было опубликовано издательством Springer-Verlag в 2003 году в 221-м томе их серии книг « Тексты для выпускников по математике» . [5] [6] [7] [8]
Выпуклые многогранники были лауреатом премии Лероя П. Стила 2005 года за математическое изложение, присуждаемой Американским математическим обществом . [9] Комитет по основным спискам библиотек Американской математической ассоциации рекомендовал включить его в библиотеки по математике для студентов. [10]
В книге 19 глав. После двух глав, вводящих базовый материал по линейной алгебре, топологии и выпуклой геометрии , еще две главы дают основные определения многогранников в их двух двойственных версиях (пересечения полупространств и выпуклые оболочки конечных множеств точек), знакомят с диаграммами Шлегеля и приведите несколько основных примеров, включая циклические многогранники . В главе 5 представлены диаграммы Гейла , а в следующих двух главах они используются для изучения многогранников, число вершин которых лишь немного превышает их размерность, и соседних многогранников . [8] [5]
Главы с 8 по 11 изучают количество граней разных размерностей в многогранниках с помощью многогранной формулы Эйлера , уравнений Дена – Соммервилля и экстремальной комбинаторики числа граней в многогранниках. Глава 11 соединяет низкоразмерные грани вместе в скелет многогранника и доказывает теорему Ван Кампена – Флореса о невложимости скелетов в пространства меньшей размерности. В главе 12 изучается вопрос о том, когда скелет однозначно определяет многомерную комбинаторную структуру своего многогранника. Глава 13 дает полный ответ на эту теорему для трехмерных выпуклых многогранников с помощью теоремы Стейница , которая характеризует графики выпуклых многогранников комбинаторно и может использоваться, чтобы показать, что они могут быть реализованы как выпуклый многогранник только одним способом. Также затрагиваются мультимножества размеров граней, которые могут быть реализованы как многогранники ( теорема Эберхарда ), и комбинаторные типы многогранников, которые могут иметь вписанные сферы или описанные сферы . [8] [5]
В главе 14 рассматриваются соотношения, аналогичные уравнениям Дена – Соммервилля для сумм углов многогранников, и используются суммы углов для определения центральной точки, «точки Штейнера», для любого многогранника. В главе 15 изучаются сложение Минковского и сложение Бляшке — две операции, с помощью которых многогранники можно объединять для получения других многогранников. В главах 16 и 17 изучаются кратчайшие пути и гипотеза Хирша , длиннейшие пути и гамильтоновы циклы , а также показатель краткости многогранников. В главе 18 изучается расположение гиперплоскостей и их двойственное отношение к комбинаторной структуре зонотопов . Заключительная глава, глава 19, также включает материал по симметрии многогранников. [8] [5]
Упражнения в книге позволяют использовать ее в качестве учебника и содержат дополнительные ссылки на недавние исследования, а в последующих главах книги также перечисляются многие открытые исследовательские проблемы. [1] Второе издание книги сохраняет содержание, организацию и нумерацию страниц первого издания без изменений, добавляя в конце каждой главы примечания об обновлении материала в этой главе. [7] [8] Эти обновления включают в себя материал по теореме Мнева об универсальности и ее связи с реализуемостью многогранников из их комбинаторных структур, доказательство -гипотезы для симплициальных сфер и трехмерную гипотезу Калаи . [8] Второе издание также содержит улучшенную библиографию. [6]
Темы, важные для теории выпуклых многогранников, но недостаточно освещенные в книге « Выпуклые многогранники», включают третью проблему Гильберта и теорию инвариантов Дена . [8]
Несмотря на то, что книга написана на уровне аспирантуры, основными предпосылками для чтения книги являются линейная алгебра и общая топология , обе на уровне бакалавриата. [1]
В рецензии на первое издание книги Вернер Фенхель называет ее «замечательным достижением», «богатым материалом», «хорошо организованным и изложенным в ясном стиле». [2] Более 35 лет спустя, вручая Грюнбауму премию Стила за выпуклые многогранники , Американское математическое общество написало, что эта книга «служила одновременно стандартным справочником и источником вдохновения», что она в значительной степени ответственна за активно продолжающиеся исследования в области многогранной комбинаторики и что они остаются актуальными для этой области. [9] Рецензируя и приветствуя второе издание, Питер МакМаллен написал, что, несмотря на то, что книга «немедленно устарела» в результате исследований, которые она вызвала, она по-прежнему остается важным чтением для исследователей в этой области. [8]
