«Геометрия» была опубликована в 1637 году как приложение к« Рассуждению о методе » , написанному Рене Декартом . В «Рассуждении» Декарт представляет свой метод достижения ясности по любому вопросу. «Геометрия» и два других приложения, также написанные Декартом, « Диоптрика » ( Оптика ) и «Метеорология» ( Метеорология ), были опубликованы вместе с « Дискурсом» , чтобы дать примеры успехов, которых он достиг, следуя своему методу [1] (а также, возможно, учитывая современный европейский социальный климат интеллектуальной конкуренции, чтобы немного похвастаться перед более широкой аудиторией).
Работа была первой, кто предложил идею объединения алгебры и геометрии в единый предмет [2] и изобрел алгебраическую геометрию, названную аналитической геометрией , которая предполагает сведение геометрии к форме арифметики и алгебры и перевод геометрических фигур в алгебраические уравнения . Для своего времени это был прорыв. Он также способствовал развитию математических идей Лейбница и Ньютона и, таким образом, сыграл важную роль в развитии исчисления.
Это приложение разделено на три «книги». [3]
Книга I называется «Задачи, которые можно построить только с помощью окружностей и прямых линий». В этой книге он вводит алгебраическую систему обозначений, которая используется до сих пор. Буквы в конце алфавита, а именно x , y , z и т. д., обозначают неизвестные переменные, а буквы в начале алфавита a , b , c и т. д. обозначают константы. Он вводит современную экспоненциальную запись степеней (за исключением квадратов, где он сохранил старую традицию написания повторяющихся букв, например, аа ). Он также порывает с греческой традицией связывания степеней с геометрическими референтами: 2 с площадью, 3 с объемом и т. д., и рассматривает их все как возможные длины отрезков прямой . Эти средства записи позволяют ему описывать ассоциации чисел с длинами отрезков линий, которые можно построить с помощью линейки и циркуля . Большую часть оставшейся части книги занимает решение Декарта «проблемы локуса Паппа ». [4] Согласно Паппу, при наличии трех или четырех прямых на плоскости задача состоит в том, чтобы найти место точки, которая движется так, чтобы произведение расстояний от двух фиксированных линий (вдоль заданных направлений) было пропорционально квадрат расстояния до третьей линии (в случае с тремя строками) или пропорционален произведению расстояний до двух других линий (в случае с четырьмя строками). Решая эти задачи и их обобщения, Декарт принимает два отрезка как неизвестные и обозначает их x и y . Известные отрезки линий обозначаются a , b , c и т. д. Зарождение идеи декартовой системы координат восходит к этой работе.
Во второй книге, названной « О природе кривых линий» , Декарт описал два вида кривых, названных им геометрическими и механическими . Геометрическими кривыми называются те, которые сейчас описываются алгебраическими уравнениями с двумя переменными, однако Декарт описывал их кинематически и существенной особенностью было то, что все их точки можно было получить путем построения из кривых более низкого порядка. Это представляло собой расширение того, что было разрешено конструкциями линейки и циркуля. [5] Другие кривые, такие как квадратриса и спираль , где можно было построить только некоторые точки, назывались механическими и не считались подходящими для математического исследования. Декарт также разработал алгебраический метод нахождения нормали в любой точке кривой, уравнение которой известно. Затем легко следует построение касательных к кривой, и Декарт применил эту алгебраическую процедуру для нахождения касательных к нескольким кривым.
Третья книга « О построении задач о твердом и сверхтвердом» носит скорее алгебраический, чем геометрический характер, и посвящена природе уравнений и способам их решения. Он рекомендует расположить все члены уравнения в одной стороне и установить равным 0, чтобы облегчить решение. Он указывает на факторную теорему для многочленов и дает интуитивное доказательство того, что многочлен степени n имеет n корней. Он систематически обсуждал отрицательные и мнимые корни [6] уравнений и явно использовал то, что сейчас известно как правило знаков Декарта .
Декарт написал «Геометрию» на французском языке, а не на латыни, на языке большинства научных публикаций того времени. Стиль его изложения был далеко не ясен, материал не был систематизирован, и он обычно лишь давал указания на доказательства, оставляя многие детали читателю. [7] О его отношении к писательству свидетельствуют такие часто встречающиеся высказывания, как «Я не брался сказать все» или «Мне уже надоело так много об этом писать». Декарт оправдывает свои упущения и неясности замечанием, что многое было упущено намеренно, «чтобы доставить другим удовольствие открыть [это] самостоятельно».
Декарту часто приписывают изобретение координатной плоскости, поскольку соответствующие концепции были у него в книге [8] , однако нигде в «Геометрии» не появляется современная прямоугольная система координат. Это и другие улучшения были добавлены математиками, которые взяли на себя задачу прояснить и объяснить работу Декарта.
Это усовершенствование работы Декарта было прежде всего осуществлено Франсом ван Скутеном , профессором математики в Лейдене и его студентами. Ван Скутен опубликовал латинскую версию «Геометрии» в 1649 году, за ней последовали еще три издания в 1659–1661, 1683 и 1693 годах. Издание 1659–1661 годов представляло собой двухтомный труд, более чем в два раза превышающий объем оригинала, наполненный пояснениями и примеры, предоставленные ван Скутеном и этими студентами. Один из этих студентов, Йоханнес Худде, предложил удобный метод определения двойных корней многочлена, известный как правило Худде , которое было сложной процедурой в методе касательных Декарта. Эти издания утвердили аналитическую геометрию в семнадцатом веке. [9]
Цитаты, связанные с «Геометрией», в Wikiquote