La Géométrie была опубликована в 1637 году как приложение к Discours de la méthode ( Рассуждение о методе ), написанному Рене Декартом . В « Рассуждении » Декарт представляет свой метод достижения ясности по любому вопросу. La Géométrie и два других приложения, также написанные Декартом, La Dioptrique ( Оптика ) и Les Météores ( Метеорология ), были опубликованы вместе с «Рассуждением», чтобы привести примеры успехов, которых он достиг, следуя своему методу [1] (а также, возможно, учитывая современный европейский социальный климат интеллектуальной конкуренции, чтобы немного похвастаться перед более широкой аудиторией).
Работа была первой, в которой была предложена идея объединения алгебры и геометрии в один предмет [2] и была изобретена алгебраическая геометрия, называемая аналитической геометрией , которая включает в себя сведение геометрии к форме арифметики и алгебры и перевод геометрических фигур в алгебраические уравнения . Для своего времени это было новаторским. Она также внесла вклад в математические идеи Лейбница и Ньютона и, таким образом, сыграла важную роль в развитии исчисления.
Это приложение разделено на три «книги». [3]
Книга I называется «Задачи, которые можно построить только с помощью окружностей и прямых линий». В этой книге он вводит алгебраическую нотацию, которая используется и по сей день. Буквы в конце алфавита, а именно x , y , z и т. д., обозначают неизвестные переменные, в то время как буквы в начале алфавита, a , b , c и т. д., обозначают константы. Он вводит современную экспоненциальную нотацию для степеней (за исключением квадратов, где он сохранил старую традицию написания повторяющихся букв, например, aa ). Он также порывает с греческой традицией связывать степени с геометрическими референтами, a2 с площадью, a3 с объемом и т. д., и рассматривает их все как возможные длины отрезков линий. Эти устройства нотации позволяют ему описывать связь чисел с длинами отрезков линий, которые можно построить с помощью линейки и циркуля . Большая часть оставшейся части этой книги занята решением Декартом «задачи о месте точек Паппа ». [4] Согласно Паппу, для данных трех или четырех прямых на плоскости задача состоит в том, чтобы найти место точек точки, которая движется так, чтобы произведение расстояний от двух фиксированных прямых (вдоль указанных направлений) было пропорционально квадрату расстояния до третьей прямой (в случае трех прямых) или пропорционально произведению расстояний до двух других прямых (в случае четырех прямых). При решении этих задач и их обобщений Декарт берет два отрезка в качестве неизвестных и обозначает их x и y . Известные отрезки обозначаются a , b , c и т. д. Зародышевая идея декартовой системы координат может быть прослежена до этой работы.
Во второй книге, названной «О природе кривых линий» , Декарт описал два вида кривых, названных им геометрическими и механическими . Геометрические кривые — это те, которые теперь описываются алгебраическими уравнениями с двумя переменными, однако Декарт описал их кинематически, и существенной особенностью было то, что все их точки могли быть получены путем построения из кривых низшего порядка. Это представляло собой расширение за пределы того, что допускалось построениями с помощью линейки и циркуля. [5] Другие кривые, такие как квадратриса и спираль , где только некоторые из точек которых могли быть построены, назывались механическими и не считались подходящими для математического изучения. Декарт также разработал алгебраический метод для нахождения нормали в любой точке кривой, уравнение которой известно. Затем легко следует построение касательных к кривой, и Декарт применил эту алгебраическую процедуру для нахождения касательных к нескольким кривым.
Третья книга, «О построении проблем твердых и сверхтвердых тел» , является скорее алгебраической, чем геометрической, и касается природы уравнений и того, как их можно решить. Он рекомендует, чтобы все члены уравнения были помещены на одну сторону и приравнены к 0, чтобы облегчить решение. Он указывает на теорему о факторах для многочленов и дает интуитивное доказательство того, что многочлен степени n имеет n корней. Он систематически обсуждал отрицательные и мнимые корни [6] уравнений и явно использовал то, что сейчас известно как правило знаков Декарта .
Декарт написал «La Géométrie» на французском языке, а не на языке, который использовался для большинства научных публикаций того времени, — на латыни. Его стиль изложения был далеко не ясен, материал не был организован систематически, и он, как правило, давал только указания на доказательства, оставляя многие детали читателю. [7] Его отношение к письму выражается такими утверждениями, как «Я не брался сказать все» или «Мне уже надоело так много писать об этом», которые встречаются часто. Декарт оправдывает свои упущения и неясности замечанием, что многое было намеренно опущено, «чтобы дать другим удовольствие открыть [это] самим».
Декарту часто приписывают изобретение координатной плоскости, поскольку в его книге были соответствующие концепции, [8] однако нигде в «La Géométrie» не появляется современная прямоугольная система координат. Это и другие усовершенствования были добавлены математиками, которые взяли на себя задачу прояснить и объяснить работу Декарта.
Это усовершенствование работы Декарта было в первую очередь выполнено Франсом ван Схутеном , профессором математики в Лейдене, и его учениками. Ван Схутен опубликовал латинскую версию La Géométrie в 1649 году, а затем последовало три других издания в 1659–1661, 1683 и 1693 годах. Издание 1659–1661 годов представляло собой двухтомный труд, более чем в два раза превышающий объем оригинала, наполненный объяснениями и примерами, предоставленными ван Схутеном и его учениками. Один из этих учеников, Иоганнес Хадде, предоставил удобный метод определения двойных корней многочлена, известный как правило Хадде , которое было сложной процедурой в методе касательных Декарта. Эти издания установили аналитическую геометрию в семнадцатом веке. [9]
Цитаты, связанные с «Геометрией», в Wikiquote