«Кардинальные и порядковые числа» — книгапольского математика Вацлава Серпинского о трансфинитных числах . Он был опубликован в 1958 году издательством Państwowe Wydawnictwo Naukowe как 34-й том серии Monografie Matematyczne Института математики Польской академии наук . [1] [2] Серпинский писал на ту же тему ранее, в своей книге 1928 года Leçons sur les nombres transfinis , но его книга 1958 года по этой теме была полностью переписана и значительно длиннее. [1] Второе издание книги « Кардинальные и порядковые числительные» было опубликовано в 1965 году. [2] [3]
После пяти вводных глав, посвященных наивной теории множеств и теоретико-множественной системе обозначений, а также шестой главы, посвященной аксиоме выбора , в книге есть четыре главы, посвященные кардинальным числам , их арифметике, а также рядам и произведениям кардинальных чисел, занимающие около 50 страниц. После этого четыре более длинные главы (всего около 180 страниц) охватывают упорядочение множеств, типы порядков , правильные порядки , порядковые числа , порядковую арифметику и парадокс Бурали-Форти, согласно которому совокупность всех порядковых чисел не может быть набором. Три заключительные главы посвящены числам алефов и гипотезе континуума , утверждениям, эквивалентным аксиоме выбора, и последствиям аксиомы выбора. [1] [2]
Второе издание вносит лишь незначительные изменения в первое, за исключением добавления сносок, касающихся двух более поздних разработок в этой области: доказательства Пола Коэна независимости гипотезы континуума и построения Робертом М. Соловеем модели Соловея , в которой все множества действительных чисел измеримы по Лебегу . [2]
Серпинский был известен своим значительным вкладом в теорию трансфинитных чисел; [1] [3] рецензент Рубен Гудстейн называет свою книгу «золотой жилой результатов», [3] и аналогичным образом Леонард Гиллман пишет, что она очень ценна «как сборник интересной математической информации, представленной тщательно и ясно». И Гиллман, и Джон К. Окстоби называют стиль письма «неторопливым» и «неторопливым», [1] [2] , и хотя Гиллман критикует перевод более ранней польскоязычной рукописи на английский как неотшлифованный и указывает на несколько ошибок в библиографию, он не считает написание текста книги проблематичным. [2]
В тексте Стивена Уилларда «Общая топология» 1970 года Уиллард называет эту книгу одним из пяти «стандартных справочников» по теории множеств . [4]