В прекрасной и ужасной книге Вейля «Классические группы » [ W ] можно выделить две основные темы: во-первых, изучение полиномиальных инвариантов для произвольного числа (контравариантных или ковариантных) переменных для стандартного классического группового действия; во-вторых, изотипическое разложение полной тензорной алгебры для такого действия.
1 Большинство людей, которые знают книгу, считают, что материал в ней замечательный. Многие также считают, что подача ужасна. (Автор не входит в число последних.)
Хоу (1989, стр.539)
«Классические группы: их инварианты и представления» — математическая книга Германа Вейля (1939), описывающая классическую теорию инвариантов в терминах теории представлений . Она в значительной степени ответственна за возрождение интереса к теории инвариантов, которая была почти убита решением ее основных проблем Давидом Гильбертом в 1890-х годах.
Вейль (1939a) выступил с неформальной речью о теме своей книги. В 1946 году вышло второе издание.
В главе I определяются инварианты и другие основные идеи, а также описывается связь с Эрлангенской программой Феликса Клейна в геометрии.
Глава II описывает инварианты специальной и общей линейной группы векторного пространства V на многочленах по сумме копий V и его двойственного . Она использует тождество Капелли для нахождения явного набора генераторов для инвариантов.
В главе III изучается групповое кольцо конечной группы и его разложение в сумму матричных алгебр .
В главе IV обсуждается двойственность Шура–Вейля между представлениями симметрических и общих линейных групп.
Главы V и VI распространяют обсуждение инвариантов полной линейной группы из главы II на ортогональные и симплектические группы , показывая, что кольцо инвариантов порождается очевидными инвариантами.
В главе VII описывается формула Вейля для характеров представлений классических групп .
Глава VIII, посвященная теории инвариантов, доказывает теорему Гильберта о том, что инварианты специальной линейной группы конечно порождены.
Главы IX и X дают некоторые дополнения к предыдущим главам.