stringtranslate.com

О равновесии плоскостей

«О равновесии плоскостей» ( древнегреч . Περὶ ἐπιπέδων ἱσορροπιῶν , романизирован .  perí epipédōn isorropiôn ) — трактат Архимеда в двух книгах. Первая книга содержит доказательство закона рычага и завершается предложениями о центре тяжести треугольникаи трапеции . [ 1] [2] Вторая книга, содержащая десять предложений , исследует центры тяжести параболических сегментов. [1]

По словам Паппа Александрийского , работа Архимеда над рычагами и его понимание механического преимущества заставили его сказать: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю» (древнегреческий: δός μοί ποῦ στῶ καὶ κινῶ τὴν γῆν , романизированный:  dṓs moi poû stṓ kaí kinô tḗn gên ), хотя другие древние свидетельства неоднозначны относительно контекста высказывания. [3] [4]

Обзор

Рычаг и его свойства были уже хорошо известны до времен Архимеда, и он не был первым, кто дал анализ задействованного принципа. [5] Более ранние «Механические проблемы» , когда-то приписываемые Аристотелю , но, скорее всего, написанные одним из его последователей, содержат свободное доказательство закона рычага без использования концепции центра тяжести. Существует еще одна короткая работа, приписываемая Евклиду, под названием «О весах» , которая также содержит математическое доказательство закона, снова без обращения к центру тяжести. [6]

Напротив, в трудах Архимеда концепция центра тяжести имеет решающее значение. [7] В трактате «О равновесии плоскостей I», содержащем семь постулатов и пятнадцать предложений, для обоснования закона рычага используется центр тяжести как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин, хотя некоторые приводят неудовлетворительные доводы. [2] Затем Архимед переходит к определению центра тяжести параллелограмма и треугольника , завершая первую книгу доказательством центра тяжести трапеции .

Книга «О равновесии плоскостей II» посвящена той же теме, что и первая книга, но, скорее всего, была написана позднее. Она содержит десять предложений, касающихся исключительно центра тяжести параболических сегментов, и исследует эти сегменты, заменяя их прямоугольниками равной площади. Этот обмен стал возможным благодаря результатам, полученным в «Квадратуре параболы» , трактате, который, как полагают, был опубликован после первой книги « О равновесии плоскостей» . [1] [2]

Содержание

Книга первая

Первая часть первой книги посвящена основным свойствам равновесия и закону рычага, в то время как вторая и более длинная часть фокусируется на центре тяжести основных плоских фигур. Аргумент, который позволяет Архимеду установить закон рычага и определить центр тяжести многих фигур, — это шестой постулат: если величины на определенных длинах находятся в равновесии, то другие (величины), равные им, также будут находиться в равновесии на тех же длинах . [8] В предложениях 4 и 5 Архимед доказывает, что центр тяжести любой системы, состоящей из четного числа равных грузов, равномерно распределенных, будет расположен в средней точке между двумя центральными грузами. Затем Архимед использует эти теоремы для доказательства закона рычага в предложении 6 (для соизмеримых случаев) и предложении 7 (для несоизмеримых случаев).

Теорема

Грузы и рычаг в соотношении 4:3.

Говоря современным языком, если взять два неравных, но соизмеримых груза и плечо рычага, разделенное на две неравные, но соизмеримые части (см. рисунок напротив), то если величины A и B приложены к точкам E и D соответственно, то система будет находиться в равновесии в точке C, если грузы обратно пропорциональны длинам:

Доказательство

Предположим, что линии и веса построены так, чтобы подчиняться правилу, используя общую меру (или единицу) n и в соотношении 4:3. Теперь удвойте длину ED , продублировав более длинное плечо слева и более короткое плечо справа.

Для наглядности переставьте строки так, чтобы CD оказалась рядом с LE (две красные линии вместе), и сопоставьте с оригиналом (как показано ниже):

Ясно, что обе линии в два раза длиннее исходной линии ED , что LH имеет свой центр в E , а HK имеет свой центр в D . Обратите внимание, кроме того, что EH (которая равна CD ) несет общую меру (или единицу) n точное число раз, как и EC и, в более широком смысле, CH . Остается доказать, что A, приложенная в E , и B , приложенная в D , будут иметь свой центр тяжести в C .

Поэтому, поскольку отношение LH к HK удвоило исходные длины CD и EC , аналогичным образом разделите величины A и B в соотношении 8:6 (преобразование, которое сохраняет их исходное соотношение 4:3) и выровняйте их так, чтобы единицы A (красные) были центрированы на E , а единицы B (синие) — на D.

Теперь, поскольку четное число равных грузов, равномерно распределенных, имеет свой центр тяжести между двумя средними грузами, A фактически прикладывается к E , а B к D , как того требует предложение. Далее, вся система состоит из четного числа равных грузов, равномерно распределенных, и, следовательно, следуя тому же принципу, C должен быть центром тяжести всей системы. Таким образом, система не наклоняется, а находится в равновесии на длинах, обратно пропорциональных весам или соотношению 3:4. [1]

Книга вторая

Основной целью второй книги « О равновесии плоскостей» является определение центра тяжести любой части параболического сегмента, как показано в предложении 8.

Книга начинается с более простого доказательства закона рычага в предложении 1, ссылаясь на результаты, найденные в Квадратуре параболы . Архимед доказывает следующие семь предложений, объединяя концепцию центра тяжести и свойства параболы с результатами, ранее найденными в О равновесии плоскостей I. В частности, он делает вывод, что две параболы, которые равны по площади, имеют свой центр тяжести, равноудаленный от некоторой точки, и позже заменяет их площади прямоугольниками равной площади. [1]

Последние два предложения, предложения 9 и 10, довольно тупые, но они фокусируются на определении центра тяжести фигуры, отсеченной от любого параболического сегмента усеченной пирамидой . [ 9]

Наследие

Механические работы Архимеда, включая «О равновесии плоскостей» , были известны, но мало читались в древности. И Герон , и Папп ссылаются на Архимеда в своих работах по механике, в основном в своих рассуждениях относительно центра тяжести и механического преимущества . Несколько римских авторов, таких как Витрувий , по-видимому, также имели некоторое представление о работе Архимеда. [8] [10]

В Средние века некоторые арабские авторы были знакомы с трудами Архимеда о весах и центре тяжести и расширили их; однако на латинском Западе эти идеи были практически неизвестны, за исключением нескольких ограниченных случаев. [11] [12] Только в эпоху позднего Возрождения результаты, найденные в «О равновесии плоскостей», начали широко распространяться. Математический подход Архимеда к физике , в частности, стал образцом для последующих ученых, таких как Гвидобальдо дель Монте , Бернардино Бальди , Симон Стевин и Галилео Галилей . [13] [14]

Концепция центра тяжести достигла высокого уровня сложности в первой половине семнадцатого века , особенно в работах Эванджелиста Торричелли и Христиана Гюйгенса , и сыграла ключевую роль в развитии рациональной механики . [15] [16]

Критика

Ряд исследователей указали на несоответствия в первой книге « О равновесии плоскостей» . [2] [17] Берггрен ставит под сомнение подлинность почти половины первой книги, отмечая, например, избыточность предложений 1–3 и 11–12. Однако он следует за Дейкстерхёйсом , отвергая критику Маха предложения 6, которое действительно доказывает, что «если система грузов, подвешенных на коромысле, находится в равновесии, когда поддерживается в определенной точке, то любое перераспределение этих грузов, сохраняющее их общий центр тяжести, также сохраняет равновесие». [2] [9]

Кроме того, Предложение 7 первой книги в его нынешнем виде представляется неполным, так что, строго говоря, Архимед в первой книге демонстрирует закон рычага только для соизмеримых величин. [1] [2] Вторая книга « О равновесии плоскостей» не затронута этими недостатками, поскольку, за исключением первого предложения, рычаг вообще не рассматривается. [9] Кроме того, нигде в сохранившихся работах Архимеда нет определения центра тяжести, что, по мнению некоторых ученых, затрудняет отслеживание (или обоснование) логической структуры некоторых его аргументов в «О равновесии плоскостей» . [5] [7]

Ссылки

  1. ^ abcdef Хит, TL (1897). «Работы Архимеда (1897). Несокращенная работа в формате PDF (19 МБ)». Cambridge University Press. Архивировано из оригинала 6 октября 2007 г. Получено 06.01.2013 .
  2. ^ abcdef Берггрен, Дж. Л. (1976). «Ложные теоремы в «Равновесии плоскостей» Архимеда, книга I». Архив для History of Exact Sciences . 16 (2): 87–103. doi :10.1007/BF00349632. ISSN  1432-0657. S2CID  119741769.
  3. ↑ Цитируется Паппом Александрийским в Synagoge , Book VIII, стр. 1060 в изд. Hultsch
  4. ^ Берриман, С. (2020). «Как Архимед предложил передвинуть Землю». Isis . 111 (3): 562–567. doi :10.1086/710317. ISSN  0021-1753. S2CID  224841008.
  5. ^ ab Goe, G. (1972). «Теория рычага Архимеда и критика Маха». Исследования по истории и философии науки Часть A. 2 ( 4): 329–345. Bibcode :1972SHPSA...2..329G. doi :10.1016/0039-3681(72)90002-7. ISSN  0039-3681.
  6. ^ Ренн Дж., Дамероу П. и Маклафлин П. (2003). Аристотель, Архимед, Евклид и происхождение механики: взгляд на историческую эпистемологию. В JL Montesinos Sirera (ред.), Symposium Arquímedes Fundación Canaria Orotava de Historia de la Ciencia (стр. 43–59). http://www.mpiwg-berlin.mpg.de/Preprints/P239.PDF.
  7. ^ ab Magnaghi, CP; Assis, AKT (2012-05-07). «Вычисление центра тяжести конуса с использованием метода Архимеда». European Journal of Physics . 33 (3): 637–646. Bibcode : 2012EJPh...33..637M. doi : 10.1088/0143-0807/33/3/637. hdl : 20.500.12733/1666778 . ISSN  0143-0807. S2CID  54012592.
  8. ^ ab Assis, AKT (2010). Архимед, центр тяжести и первый закон механики (2-е изд.). C. Roy Keys Incorporated. ISBN 9780986492648.
  9. ^ abc Dijksterhuis, EJ (1987). Архимед . Издательство Принстонского университета, Принстон. ISBN 0-691-08421-1.
  10. ^ Drachmann, AG (1968). «Архимед и наука физика». Centaurus . 12 (1): 1–11. Bibcode : 1968Cent...12....1D. doi : 10.1111/j.1600-0498.1968.tb00074.x. ISSN  0008-8994.
  11. ^ Клэгетт, М. (1959). «Влияние Архимеда на средневековую науку». Isis . 50 (4): 419–429. doi :10.1086/348797. ISSN  0021-1753. JSTOR  226426. S2CID  145737269.
  12. ^ Хёйруп, Дж. (2019), Хёйруп, Дж. (ред.), «(Статья I.16.) Архимед – Знания и предания от латинской античности до уходящего европейского Возрождения», Избранные эссе о до- и ранней современной математической практике , Cham: Springer International Publishing, стр. 459–477, doi : 10.1007/978-3-030-19258-7_17, ISBN 978-3-030-19258-7, S2CID  193706291
  13. ^ Palmieri, P. (2008). «Разрывая круг: возникновение архимедовой механики в конце Ренессанса». Архив History of Exact Sciences . 62 (3): 301–346. doi :10.1007/s00407-007-0012-8. ISSN  1432-0657. S2CID  121698785.
  14. ^ Мели, Д. (2010). «Аксиоматическая традиция в механике семнадцатого века». Рассуждение о новом методе: оживление брака истории и философии науки . Открытый суд. С. 23–41. ISBN 978-0-8126-9662-2.
  15. ^ Пизано, Р.; Буссотти, П.; Буссотти, Паоло; Буссотти, Паоло (2014). «Заметки о механике и математике у Торричелли как физико-математические отношения в истории науки». Проблемы образования в XXI веке . 61 : 88–97. doi : 10.33225/pec/14.61.88 . ISSN  1822-7864.
  16. ^ Ван Дейк, М. (2020), «Механическая философия: наука механики», Энциклопедия ранней современной философии и наук , Springer, стр. 1–11, hdl :1854/LU-8678741, ISBN 978-3-319-20791-9
  17. ^ Мах, Э. (1907). Наука механика: критический и исторический отчет о ее развитии. Открытый суд, Чикаго.Переизданный перевод оригинала 1883 года Томаса Дж. МакКормака . Изд. 3, ред.