Курс анализа

основополагающий учебник 1821 г.

Титульная страница

Курс анализа Королевской политехнической школы; Я вечеринка. «Анализ алгебры» (« Курс анализа » на английском языке) - это оригинальный учебник по исчислению бесконечно малых , опубликованный Огюстеном-Луи Коши в 1821 году. В описании своего содержания статья следует переводу Брэдли и Сандифера.

Введение

На первой странице «Введения » Коши пишет: «Говоря о непрерывности функций , я не мог обойтись без рассмотрения основных свойств бесконечно малых величин, свойств, которые служат основой исчисления бесконечно малых». Переводчики комментируют это в сноске: «Интересно, что Коши здесь также не упоминает пределы ».

Коши продолжает: «Что касается методов, я стремился придать им всю строгость , которую требуют от геометрии , чтобы никогда не приходилось полагаться на аргументы, вытекающие из общности алгебры ».

Предварительные сведения

На странице 6 Коши сначала обсуждает переменные величины, а затем вводит понятие предела в следующих терминах: «Когда значения, последовательно приписываемые определенной переменной, неограниченно приближаются к фиксированному значению таким образом, что в конечном итоге отличаются от него лишь на небольшую величину. по нашему желанию, это фиксированное значение называется пределом всех остальных значений».

На странице 7 Коши определяет бесконечно малую величину следующим образом: «Когда последовательные числовые значения такой переменной уменьшаются до бесконечности таким образом, что становятся ниже любого заданного числа, эта переменная становится тем, что мы называем бесконечно малой , или бесконечно малой величиной . " Коши добавляет: «Переменная такого типа имеет нулевой предел».

На странице 10 Брэдли и Сэндифер путают понятный косинус с покрытым синусом . Первоначально Коши определил зависимость синуса от ( версинуса ) как siv( θ ) = 1  − cos( θ ), а зависимость косинуса от (то, что теперь также известно как коверсинус ) как cosiv( θ ) = 1  − sin( θ ). Однако в переводе косинус против (и cosiv) неправильно ассоциируется с обратным косинусом (то, что теперь также известно как веркозин ), а не с покрытым синусом .

Обозначения

Лим

представлен на стр. 12. В сноске переводчики отмечают: «Обозначение «Lim». Термин «предел» впервые был использован Симоном Антуаном Жаном Л'Юилье (1750–1840) в [L'Huilier 1787, стр. 31]. Коши написал это как «lim». в [Коши 1821, стр. 13]. Точка исчезла к [Коши 1897, стр. 26]».

Глава 2

Эта глава имеет длинное название: «О бесконечно малых и бесконечно больших величинах и о непрерывности функций. Сингулярные значения функций в различных частных случаях». На странице 21 Коши пишет: «Мы говорим, что переменная величина становится бесконечно малой , когда ее числовое значение бесконечно уменьшается таким образом, что сходится к пределу нулю». На той же странице мы находим единственный явный пример такой переменной, найденный у Коши, а именно:

${\displaystyle {\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{7}},\ldots }$

На странице 22 Коши начинает обсуждение порядков бесконечно малых величин следующим образом: «Пусть будет бесконечно малой величиной, то есть переменной, числовое значение которой уменьшается бесконечно. Когда различные целые степени , а именно ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots }$

вступают в одно и то же вычисление, эти различные степени называются соответственно бесконечно малыми первого , второго , третьего порядка и т. д. Коши отмечает, что «общий вид бесконечно малых величин порядка n (где n представляет целое число ) будет

${\displaystyle k\alpha ^{n}\quad {}}$ или по крайней мере . ${\displaystyle {}\quad k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon )}$

На страницах 23–25 Коши представляет восемь теорем о свойствах бесконечно малых разных порядков.

Раздел 2.2

Этот раздел называется «Непрерывность функций». Коши пишет: «Если, начиная со значения х , находящегося между этими пределами, мы добавим к переменной х бесконечно малое приращение , то сама функция увеличится на разницу ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$"

и заявляет, что

«функция f ( x ) является непрерывной функцией x между заданными пределами, если для каждого значения x между этими пределами числовое значение разности бесконечно уменьшается с числовым значением ». ${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Коши далее дает выделенное курсивом определение непрерывности в следующих терминах:

« Функция f ( x ) непрерывна по x между заданными пределами, если между этими пределами бесконечно малое приращение переменной всегда приводит к бесконечно малому приращению самой функции » .

На странице 32 Коши формулирует теорему о промежуточном значении .

Теорема о суммах

В теореме I в разделе 6.1 (стр. 90 в переводе Брэдли и Сандифера) Коши представляет теорему о суммах в следующих терминах.

Когда различные члены ряда (1) являются функциями одной и той же переменной x, непрерывными по этой переменной в окрестности определенного значения, при котором ряд сходится, то сумма s ряда также является непрерывной функцией x в окрестности этого конкретного значения.

Здесь серия (1) появляется на стр. 86: (1) ${\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},u_{n+1},\ldots }$

Библиография

• Коши, Огюстен-Луи (1821). «Алгебрический анализ». Курс анализа Королевской политехнической школы . Том. 1. L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi . Проверено 7 ноября 2015 г.* Бесплатная версия на archive.org.
• Брэдли, Роберт Э.; Сандифер, К. Эдвард (14 января 2010 г.) [2009]. Бухвальд, Дж. З. (ред.). Курс анализа Коши: аннотированный перевод. Коши, Огюстен-Луи . Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО . стр. 10, 285. doi : 10.1007/978-1-4419-0549-9. ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN  2009932254. 1441905499, 978-1-4419-0549-9 . Проверено 9 ноября 2015 г.
• Грабинер, Джудит В. (1981). Истоки строгого исчисления Коши . Кембридж: MIT Press. ISBN 0-387-90527-8.