В музыкальной настройке и гармонии Тоннец (по-немецки «тональная сеть») представляет собой концептуальную решетчатую диаграмму , представляющую тональное пространство, впервые описанную Леонардом Эйлером в 1739 году. [1] Различные визуальные представления Тоннеца могут использоваться для демонстрации традиционных гармонических отношений в Европейская классическая музыка.
Тоннец первоначально появился в произведении Леонарда Эйлера « Tentamen novae theoriae musicae ex certissismisharmoniae principiis dilucid expositae» 1739 года . «Тоннец» Эйлера , изображенный слева, показывает триадные отношения идеальной квинты и мажорной терции: вверху изображения находится нота F, а слева внизу — C (идеальная квинта выше F), а справа — нота F. - это A (большая треть выше F). Готфрид Вебер, Versuch einer geordneten Theorie der Tonsetzkunst , обсуждает отношения между ключами, представляя их в сети, аналогичной Tonnetz Эйлера , но показывая ключи, а не примечания. [2] Сам Тоннец был заново открыт в 1858 году Эрнстом Науманом в его «Системе гармонии в дуальном Entwickelung » . [3] и был распространен в трактате Артура фон Эттингена 1866 года . Эттинген и влиятельный музыковед Хьюго Риман (не путать с математиком Бернхардом Риманом ) исследовали способность пространства отображать гармонические движения между аккордами и модуляцию между тональностями. Подобное понимание Тоннеца появилось в работах многих немецких теоретиков музыки конца XIX века. [4]
Эттинген и Риман считали, что отношения в диаграмме определяются только интонацией , в которой используются чистые интервалы. Можно бесконечно растягивать один из горизонтальных рядов Тоннеца , образуя бесконечную последовательность идеальных квинт: FCGDAEBF♯-C♯-G♯-D♯-A♯-E♯-B♯-F𝄪-C 𝄪-G𝄪- (и т. д.) Начиная с F, после 12 идеальных квинт доходит до E♯. Идеальные квинты в простой интонации немного больше, чем компромиссные квинты, используемые в системах настройки равной темперации, более распространенных в настоящее время. Это означает, что если сложить 12 квинт, начиная с F, то E♯, к которому мы придем, не будет на семь октав выше F, с которого мы начали. Таким образом, Тоннец Эттингена и Римана простирался бесконечно во всех направлениях, фактически не повторяя ни одной высоты звука. В двадцатом веке композиторы-теоретики, такие как Бен Джонстон и Джеймс Тенни, продолжали разрабатывать теории и приложения, связанные с только что произнесенным Тоннетце .
Привлекательность Тоннеца для немецких теоретиков XIX века заключалась в том, что он позволяет пространственно представить тоновые расстояния и тональные отношения. Например, если посмотреть на темно-синюю ля-минорную трезвучность на рисунке в начале статьи, ее параллельная мажорная трезвучность (AC♯-E) представляет собой треугольник прямо внизу, имеющий общие вершины A и E. Относительная мажорная ля-минорная трезвучность , До мажор (CEG) — это смежный треугольник в правом верхнем углу, имеющий общие вершины C и E. Доминирующее триада ля минор, ми мажор (EG♯-B) проходит по диагонали через вершину E и не имеет общих других вершин. Важным моментом является то, что каждая общая вершина пары треугольников является общим шагом между хордами: чем больше общих вершин, тем больше общих шагов будет иметь хорда. Это обеспечивает визуализацию принципа экономного голосового ведения, при котором движения между аккордами считаются более плавными, когда меняется меньше высоты звука. Этот принцип особенно важен при анализе музыки композиторов конца XIX века, таких как Вагнер, которые часто избегали традиционных тональных отношений. [4]
Недавние исследования теоретиков неоримановой музыки Дэвида Левина , Брайана Хайера и других возродили Тоннец для дальнейшего изучения свойств звуковых структур. [4] Теоретики современной музыки обычно строят Тоннец, используя равную темперацию , [4] и используя классы высоты звука, которые не делают различий между октавными транспозициями высоты звука. При равном темпераменте бесконечная серия восходящих квинт, упомянутая ранее, превращается в цикл. Неоримановы теоретики обычно предполагают энгармоническую эквивалентность (другими словами, A♭ = G♯), и поэтому двумерная плоскость циклов Тоннца 19-го века зацикливается на себе в двух разных направлениях и математически изоморфна тору . Теоретики изучили структуру этой новой циклической версии с помощью математической теории групп .
Неоримановские теоретики также использовали Тоннец для визуализации нетональных триадных отношений. Например, диагональ, идущая вверх и влево от C на диаграмме в начале статьи, образует деление октавы на три основные трети : CA♭-EC (на самом деле E — это F♭, а финальная C — C). D♭♭). Ричард Кон утверждает, что, хотя последовательность трезвучий, построенных на этих трех тонах (до мажор, ля мажор и ми мажор), не может быть адекватно описана с использованием традиционных концепций функциональной гармонии, этот цикл имеет плавное голосовое ведение и другие важные групповые свойства, которые можно легко наблюдать на Тоннеце . [5]
Раскладка нот гармонической таблицы — это раскладка нот, топологически эквивалентная Tonnetz , которая используется на нескольких музыкальных инструментах, позволяющих играть мажорные и минорные аккорды одним пальцем.
Тоннец можно наложить на макет ноты Вики-Хейдена , где основная секунда находится посередине основной терции.
Тоннец является двойственным графиком карты регионов Шенберга [ 6 ] и , конечно , наоборот . Исследования музыкального познания показали, что человеческий мозг использует «диаграмму регионов» для обработки тональных отношений. [7]